围绕知识核心开展教学设计的探讨

杨发宁

［摘  要］ “相似三角形的性质”是苏教版九年级下册的章节内容，是几何知识体系构建的关键. 教学中需要深刻解读知识定理，围绕核心知识设置教学环节. 引导学生论证性质，内化吸收，获得思维的提升. 文章立足知識核心，开展教学设计的探讨.

［关键词］ 相似三角形；性质；教学设计

“相似三角形的性质”是初中几何重要的探究内容，关于线段和图形面积的性质定理是教学的重点. 实际教学需要深刻解读性质，基于学情进行教学引导，下面围绕“相似三角形的性质”开展教学设计的探讨.

核心知识解读，教学设计探讨

1. 关于定理核心的解读

相似三角形的性质定理内容较为丰富，但总体上可以归纳为两点：一是对应线段的比等于相似比，二是面积比等于相似比的平方. 对于“对应线段的比等于相似比”，课标大纲提出了具体的要求，不能将其中的“线段”简单理解为相似三角形的边长，而应延伸到三角形中的一些特殊线段上，如对应边上的高、中线、角平分线以及三角形的周长等. 即性质定理中的“对应线段”是对三角形属性线段的概括. 而性质定理中的“面积比等于相似比的平方”实则表述的是面积比与相似比的关系，学生在理解上容易出现错误. 教学中要立足三角形的面积公式，开展相似三角形面积比的代数推导，明确相似三角形的边、边上的高是同时缩放这一核心知识.

2. 关于教学设计的探讨

关于“相似三角形的性质”的教学设计，应遵循性质定理的探究思路，从知识、技能、过程、方法等方面来提升学生的学习能力. 故对于相似三角形的两大性质定理的教学，建议采用过程引导、知识探究的方式，即围绕核心知识，设计探究活动，让学生自主探究，在实践操作、猜想思考、验证归纳中掌握新知. 同时，性质定理探究需要注意以下几点：

（1）性质定理全方位覆盖，核心定理重点突出. 教学引导中，要使学生掌握性质定理的全内容，尤其是上述所阐述的两大内容，针对性质定理内容分别设计探究环节，突出性质定理的关键点，如线段比例以直观图形来呈现，而周长、面积比例则突出代数推导过程.

（2）自主思考、合作探究融合并行. 性质定理的探究实践中要将学生独立思考与小组合作探究的方式有机结合，给学生留足思考空间的同时，又能在信息共享中激发思维，拓展视野. 尤其是性质定理中关于“相似三角形对应线段”的内容，可采用知识衍生的方式，引导学生联想，自主证明猜想.

（3）过程探究渗透数学思想，在性质定理探究中知识与方法是不相分离的，即性质定理探究的同时需要渗透数学思想，利用科学思想有序探究. 如采用数形结合的方式引导学生感知性质，完成验证；采用特殊到一般的思想，引导学生猜想，归纳结论.

过程环节思考，活动引导探究

基于上述知识解读与设计探究，开展教学实践时需要分两大环节逐一探究性质定理的内容，并且根据内容采用不同的方式，培养学生的思维能力.

1. 对应线段的性质探究

关于相似三角形对应线段的性质探究，建议整体上采用数形结合的探究方式，引导学生直观感知、探究论证. 同时，注意激发学生的创造性思维，根据已学知识进行关联思考，分析发现归纳，生成外延知识. 以相似三角形的对应边上的高的比例关系为引，设计探究活动，生成性质结论，然后引导学生思考，衍生出关于其他“线段”的性质. 活动设计链如下：相似三角形高的比→中线的比→角平分线的比；同时环节设计方式为：直观感知→衍生探究→启发思考.

活动设计1：直观感知.

如图1所示，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，分别作出两三角形底边BC和B′C′上对应的高，设为AD和A′D′，试分析高AD和A′D′的比.

设问①：请用边长表述相似比k，可以表示为什么形式？

设问②：请采用测量的方式求k的值，再量取AD和A′D′的长度，计算其比值，可以得出什么猜想？

设问③：若采用几何证明的方式，如何来证明猜想？

教学中采用测量猜想与几何证明相结合的方式，多层次引导学生探究性质，将直观感知、测量猜想、几何推理相融合，充分调动学生的思维.

活动设计2：衍生探究.

完成相似三角形对应边的高之比的探究论证后. 可以采用知识衍生、类比分析的方式来探究对应边的中线、对应角的角平分线的比.

衍生过程构建动点，引导学生从动态角度进行分析，若拖点D和D′分别在线段BC和B′C′上运动，设定其运动位置.

设问①：当点D和D′分别运动到线段BC和B′C′的中点时，试分析的比值，是否等于k？

设问②：当点D和D′分别运动到使得AD和AD′为两个三角形的角平分线时，的比值是否等于k？

教学中引导学生类比探究高的比值方法，把握线段AD和AD′的特性，构建相似三角形，利用相似关系来推导线段比值. 虽然线段属性不同，但说理证明的思路是一致的，教学中要启发学生思考，开展定理衍生.

2. 周长比和面积比的探究

“相似三角形的周长比和面积比”同样是相似三角形性质的核心内容，与线段比通过提取相似三角形论证的方法不同的是，周长比和面积比的探究论证需要注重其中的代数推导，将对应的比值转化为线段的和或乘积，可分别设计如下的探究活动.

活动设计1：周长比的探究.

问题：如图3所示，两三角形为相似关系，相似比为k，探究两三角形周长的相似比.

设问①：如何表示两三角形的周长？

设问②：可以得出怎样的结论？

教学中引导学生分三步进行探究：

第一步，用线段表示三角形的周长，即C=AB+BC+AC，C=A′B′+B′C′+A′C′，则研究的是的比值；

第二步，根据相似三角形对应边之比构建线段关系，即AB=k·A′B′，BC=k·B′C′，AC=k·A′C′.

第三步，利用線段关系转化为周长比，即===k，则相似三角形的周长比等于相似比.

活动设计2：面积比的探究.

对于面积比的探究，需要引导学生分为作图和代算两步进行，必要时可以将其拓展到四边形中，具体如下：

问题：如图4所示，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，探究两三角形的面积比.

设问①：分别作BC和B′C′边上的高，设垂足为D和D′，则两三角形对应的高AD，A′D′的比为多少？

设问②：参考探究周长比的方式，分析两三角形的面积比.

教学中引导学生作三角形底边上的高，构建两三角形的面积模型，将面积比转化为线段乘积的比，即=，结合相似三角形的性质推导得==k2，从而得出相似三角形的面积比等于相似比的平方.

拓展探究：如图5所示，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为k，参考上述相似三角形的面积比的探究方式，分小组讨论两四边形的面积比.

多变探究引导，知识应用强化

相似三角形的性质定理的应用极为广泛，通过应用可以强化知识，提升学生思维的灵活性，帮助学生积累知识经验. 而应用教学需要注意两点：一是设置多变的探究问题；二是引导学生体验解题的思维过程.

1. 几何题探究

问题设置建议以常规的三角形为背景，以巩固学生的知识基础，应用探究引导，实现知识强化. 具体如下：

问题：如图6所示，在△ABC和△DEF中，已知AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，且△ABC的周长为24，面积为12，试求△DEF的周长和面积.

教学引导过程为：证明两三角形为相似关系→求两三角形的相似比→回顾相似三角形的性质定理→直接求△DEF的周长和面积. 故教学中要合理设问，关注两三角形的关系，利用相似三角形的性质定理进行推导.

2. 变式问题探究

该环节需要设置复合图形，引导学生提取图形中的相似三角形，进而开展推理探究. 具体如下：

问题：如图7所示，ABCD为平行四边形，点E是边AB的延长线上一点，已知AB=4BE，连接DE，与BC的交点设为F.

（1）试求的值；

（2）如果S=2，试求四边形ABCD的面积.

关于第（1）问的引导过程如下：关注平行四边形的性质→提取相似三角形→求线段比；而第（2）问则需要引入三角形的高，将三角形的面积关系转化为线段关系：推导△DCF的面积→构建△DCF和四边形ABCD的面积模型→推导高的比→构建面积关系.

3. 实际问题探究

另外，建议结合生活实际设置问题，利用几何知识求解，培养学生解决实际问题的能力.

问题：如图8所示，一条河的两岸是平行的，站在距离南岸15 m的点P处看北岸，看到两电线杆A和B刚好被南岸的两棵树C和D遮挡. 已知A和B相距50 m，C和D相距20 m，请同学们想方法测算河的宽度.

教学中需要引导学生抽象问题模型，构建相似三角形，利用相似三角形的性质定理求线段的长. 故思维引导为：构建模型→提取相似图形→由性质定理构建线段比→求河的宽度.

总之，“相似三角形的性质”属于性质定理探索章节，深刻解读性质，实现知识与思想的融合是教学设计的前提. 教学实践则应围绕知识核心精设环节，让学生体验探究过程，深刻理解性质定理. 同时设置灵活多变的问题，引导学生探究应用，帮助学生巩固新知，积累解题经验.