借题发挥 以导促探 提升素养

吴景峰

［摘  要］ 新课标强调，教師在数学教学中要关注学生的思维过程，关注学生是否会用数学的语言表达世界.“说数学”作为重要的数学交流方式之一，受很多高中数学教师重视. 在教学中，教师找准契机鼓励学生“说数学”常能带来惊喜，文章以案例研究法对一次“说数学”实践的意外收获进行探讨.

［关键词］ 说数学；案例研究；数学素养

[?]问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学要提倡学生独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展［1］. 由此可见，教师在教学过程中，要多鼓励学生进行生成性输出，并善于发现学生的闪光点.

“说数学”是“数学交流”的重要方式之一，受到很多高中数学教师的重视.“说数学”包括四种方式，分别为①“说知识”：个体对数学知识的口头表达；②“说异见”：个体对某数学问题不同看法的口头表达；③“说过程”：个体对某数学问题探究过程的口头表达；④“说体会”：个体把探究某数学问题后的情感进行口头表达［2］.

在实践中，找准契机鼓励学生“说数学”常能带来惊喜，本文以案例研究法对一次“说数学”实践的意外收获进行探讨.

[?]案例描述

学生Y思维活跃，喜欢钻研各类问题，并常与同学或老师讨论，成绩较好却不稳定，数学解题书写常跳步或粗心.一天，解三角形的复习课下课后，Y有了新发现，兴奋地拿着草稿纸来找教师：“老师，我发现你在课堂上归纳的三角形面积公式S△ABC=absinC（边角边），可写成S△ABC=

sinC的向量形式，这也是‘边角边的形式，然后可以化成S△ABC=·……”教师培养学生要大胆表达自己的想法，抓住机会让学生“说数学”，本想打住，但忍住了，点点头让Y继续说. Y接着说道：“如果我已知这两边对应向量的坐标，=（x，y），=（x，y），就能得到S△ABC=（xx+yy），坐标形式啊！是课本上没有的新大陆！”教师看Y兴致勃勃，微笑着说：“值得表扬！探究的角度很好！很有创意！你从三角形面积公式的几何形式，通过向量推导其坐标形式. 但数学是一门严谨的学科，你推导的每一步都必须是正确的，所以你在探究时，应自查一下推导过程，看看有没有粗心大意的地方.”Y认真检查后发现了错误，原来把向量的数量积公式记错了，顿时非常失落.教师接着说道：“说一下你的体会是什么.”Y说：“自己推导时没有经过检查，不够严谨，以后要注意.”教师看Y失落的样子，接着问：“那你就放弃了吗？”Y默默地点点头，本以为就这样结束了，教师发现这或许是一个契机，说道：“虽然出现了失误，但新大陆发现的过程本来就是曲折的，你的探究角度和思路都很好，公式改写后，形式上也与向量数量积公式相似，那你就类比当时探究向量数量积的思路，坚持下去，我相信你一定会有新的发现.”Y受到鼓舞后重拾信心，表示要把这个探究任务作为课后作业继续钻研下去.

第二天的数学课前，教师提前到了课室，学生Y兴冲冲地来到讲台，说要把研究的成果拿给教师看，以下是Y研究的成果.

问题：已知空间中任意三点A，B，C（不共线），在这三点的所在平面建立平面直角坐标系，如图1所示，若已知三点的坐标分别为A（x，y），B（x，y），C（x，y），求△ABC的面积.

解：由已知得=（x-x，y-y），=（x-x，y-y），令x-x=a，y-y=b，x-x=m，y-y=n，则=（a，b），=（m，n），所以S△ABC=

·

·sinA=··. 又cosA==，所以S△ABC=··=·=，所以S△ABC=an-bm=

（x-x）·（y-y）-（y-y）（x-x）

. （*）

当教师看Y的解法时，引来了很多学生的围观，教师看完后，对着Y微笑着说：“恭喜你！你发现新大陆了！”其他学生都发出了赞叹的声音，这时上课铃声响了，学生都回到了自己的座位，教师对着全班学生说道：“昨天我们的数学课复习了解三角形中三角形的面积公式，也是昨天，有一位同学进一步探究了这条面积公式，虽然遭遇到了挫折，但他没有放弃，经过不断努力，终于推导出了一条全新的三角形面积公式，非常厉害！大家想不想也看看这条公式？”全班学生异口同声地回答道：“想！”教师接着说：“好！大家以热烈的掌声邀请Y上黑板介绍他最新的研究成果！”

Y拿着他的草稿纸，略显紧张地走上讲台. 他先把图画在黑板上，接着一口气把他的问题和推导过程也写在黑板上，最后简单地进行讲解，语气略欠通顺，教师及时对其进行肯定和表扬，并询问其他同学是否有疑问. 学生X举手问道：“你是怎样想到这个向量的方法进行推导的呢？”Y回答道：“其实是源于自己的一个失误.”说完，教师鼓励Y把错误的推导过程也写在黑板上，然后Y接着说道：“就是误把余弦记为正弦，我本想着放弃，但在老师的鼓励下，我后来想明白了，既然

a

·

b

·cosθ能有这么简洁的坐标运算形式，那么

a

·

b

·sinθ也一定会有，于是我就坚持用坐标形式进行推导，不出所料，让我推导出来了！”教师再次对Y的表现进行表扬和点评，并指出学无止境：“同学们可以进一步研究此公式的推导及应用，一定会有收获.”然后教师把Y的研究成果贴在了课室的数学角（数学角的功能主要是张贴学生优秀的数学作业、优秀的数学测验卷或考试卷等），以供学生学习与讨论.

这次的“说数学”在班里掀起了一阵数学讨论潮，让教师惊喜的是，第二天数学角又贴出了新的研究成果，原来这是Y与其他同学讨论后，对面积公式又有了新的理解，以下是部分学生的代表性成果.

成果1：已知任意一个三角形，我们可以从三角形中的一个锐角的顶点出发，必定能把三角形补全为一个矩形，如图2所示，使三角形的另外两个顶点分别落在矩形不同的两条边上. 命名三角形为△ABC，其中A为锐角，矩形为AFED，其中AD=n，CD=m，AF=a，BF=b，a>m>0，n>b>0，求△ABC的面积.

解：因为S=an，S△ACD=mn，S△AFB=ab，S△BCE=（a-m）（n-b），所以S△ABC=an-［mn+ab+（a-m）（n-b）］=an-（an+mb）=（an-mb）. 所以，三角形面积公式的坐标形式（*），归根到底就是初中的“割补法”.

成果2：如图2所示，由向量的投影公式得

·cosA=，类比投影公式得

·sinA==，所以S△ABC=

·

·sinA=

=，把=（a，b），=（m，n）代入上式，即可得到式子（*）.

成果3：可以引入行列式的概念，于是（*）的形式可以大大简化，即

S△ABC=

an-bm

=

a  b

m  n

，即S△ABC=

（x2-x1）（y3-y1）-（y2-y1）（x3-x1）

=

1  1  1

x1 x2 x3

y1 y2 y3.

教师对学生的研究成果及时进行点评，表扬了学生的钻研精神. 在数学课上，教师鼓励这些学生一一走上讲台，以“说数学”的形式把研究成果、发现过程分享给大家.最后“说体会”时，有学生感叹道：“与同学们探讨和推导公式，太有趣了！数学的学习没有止境！”此后，有学生提出此公式在高考中该如何应用，教师对此开展了研究，在解析几何单元复习后，以“三角形面积的计算”为主题组织了一次单元教学.

[?]案例分析

1. 核心素养视角下的分析

“核心素养是学生在接受相应学段教育的过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格、关键能力和价值观念.”［3］对高中数学而言，数学学科核心素养具体包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六要素. 因此，为培养学生的数学学科核心素养，教师要从传统的“学科教学”观转向“学科教育”观，这是从“知识核心时代”走向“核心素养时代”的必然要求［3］. 本案例中，“说数学”作为一种通过语言输出的数学交流形式，对提高学生的数学核心素养有独特作用［4］.

首先，由“章节教学”转向“单元教学”，在主题单元下融合多个关键能力，促进学生数学核心素养水平提高.本案例的内容是解三角形章节中的三角形面积公式，它属于解三角形的单元内容，往往用几何关系即可推导出来；但由于学生失误，巧合地与向量内容融合在一起，于是教师借此机会，让学生在课堂上“说数学”，打破了原单元教学的限制，将三角形面积公式的探讨和推导作为一个新的单元任务，激发学生的自主能动性进行研究. 学生从三角形面积抽象出与向量的关系进行类比，又从几何角度重新进行解释，甚至用到了行列式对公式进行简化. 在这些过程中，融合了數学抽象、逻辑推理、数学运算等多个数学核心素养.

其次，由“知识中心”转向“素养中心”，重视知识生成的过程，有助于提升学生的数学素养. 本案例中，教师即便预料到学生Y推导的面积公式是错误的，但没有中途打断、指出错误后结束了事，而是让学生继续“说数学”，充分暴露其思维过程，目的就是找出学生思维过程中的闪光点，这与发现学生的错误同样重要.在一些知识生成的过程中，一旦发现错误，生成过程很有可能就会中断，但如果思维过程是正确的，教师及时给予充分肯定，那么学生中断的地方就有了转化的可能，这是在学生的研究过程中恰当合理的教学方法，而学生这种不懈追求的学习态度也是其坚定意志的体现. 在平时的教学中，教师重视学生这方面精神的培养，必然有助于提升学生的数学素养.

最后，由“教师中心”转向“学生中心”，教师看准时机给学生搭建平台，充分发挥学生的能动性，有助于提高学生的核心素养. 本案例中，教师多次给学生“说数学”的机会，还利用“数学角”对学生的“研究成果”进行展示，给学生搭建好了平台. 学生所说的三角形面积公式是教师还没有教给学生的，而是学生自主发现的，这点大大激发了学生学习的兴趣，因为这是属于他们自己的东西，即便这些公式在一些文章或其他教辅上已发表过，但这并不影响学生的积极性. 他们通过交流，思维碰撞，发现了新的几何角度去解释三角形面积公式坐标形式的内涵，还发现了新的推导方法和表达形式，这些都是教师充分发挥学生能动性的意外收获. 在这样的教学过程中，提高了学生的交流能力和探索精神，充分发挥了数学的育人价值，达到了提高学生核心素养的目的.

2. 建构主义视角下的分析

建构主义认为，学习者的知识并非被动接受的，而是通过主动建构生长出来的. 学习是在原有知识经验的基础上，对新信息进行加工处理、意义生成、建构理解的过程，而此过程往往是在社会文化互动中完成的. 本案例中，教师先引导Y从推导过程中发现错误并及时纠正，鼓励Y坚持研究思路，积极探索，激发了Y的主动性. 然后，当Y探索出三角形面积公式的新形式后，教师抓住契机让Y上台“说”自己的“研究成果”. 通过“说数学”，教师和其他学生都能更好地了解Y是“如何建构自己对数学的理解”的，而Y的“说”，体现了Y对新发现的数学问题的“加工处理、意义生成和建构理解”，也体现了在数学课堂中学生的主体地位. 最后，教师利用“数学角”，进一步激发了其他学生主动建构，得出了系列“研究成果”，体现了不同学生对相同命题有不同的理解. 由此可见，“说数学”促使学生与教师能更好地进行数学交流，正是这种“社会文化互动”，促进数学高效课堂的建立.

3. 深度学习视角下的分析

深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程［5］. 这是对深度学习性质的一种界定. 本案例中，首先，学生Y在复习课上受到教师启发，通过对教师“说”，发现了自己的错误，课下继续研究问题……这个过程中，教师只是起了引导作用，并没有直接把结论告诉给学生Y. 其次，学生Y通过进一步研究问题，使得教学活动突破了课堂的限制. 再次，学生Y发现三角形面积公式（旧知识）与向量知识有关联，得到三角形面积公式的坐标形式（新知识），将课堂上的“说数学”分享给其他学生后，学生Y接着此“研究成果”进一步推导出了一些新结论，这样的学习过程才是“有意义的学习”.

深度学习的目的与任务，是让学生“掌握学科的核心知识，理解学习过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观”［5］. 本案例中，新推导的面积公式其实并不在教师计划的教学范围内，但教师以学生的一个巧合发现为契机，通过学生“说数学”，把新公式的发现转化为学生的主动活动，引起了学生的激烈讨论，激发了学生的精神力量和发展能力. 这是由“说数学”引发的一次深度学习，也说明了“说数学”可以大大激发学生的潜能，这是其价值所在.

[?]结束语

在高中数学教学中，无论是课堂教学还是课下答疑，教师抓准时机引导学生“说数学”，或许会有意外收获，能带给教师在教学过程中不一样的思考. 因此，如何在高中数学教学中有效开展“说数学”，是一个很有研究价值的课题.

参考文献：

［1］  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］  钟进均. 基于语言学视角的“说数学”探究［J］. 数学通报，2013，52（03）：11-14+17.

［3］  李志敏. 怎样教好高中数学［M］. 长春：东北师范大学出版社，2020.

［4］  钟进均. 对一则高中“说数学”案例的探讨［J］. 教学月刊（中学版），2008（11）：41-42.

［5］  刘月霞. 深度学习：走向核心素养［M］. 北京：教育科学出版社，2018.