重视设计 引领探究

陈帅

［摘  要］ 高三数学课堂时间有限，而复习面广量大，因此提高教学效率自然成了高三数学复习课堂的首要任务. 为了提高复习课教学效率，教师要根据不同阶段的教学目标精心设计课堂教学，通过精讲精练、多解拓展、变式强化等方式提高学生综合分析、综合应用等能力，提高学生的解题效率以及数学素养.

［关键词］ 教学效率；精心设计；数学素养

提高高三复习课教学效率，提升学生数学能力和数学思维品质，是高三数学教师的共同追求. 为了实现这一追求，教师要在不同阶段制定不同的教学目标. 第一阶段侧重“双基”，通过系统梳理帮助学生完善知识体系，便于学生更加系统、更加全面地掌握基础知识，促进知识迁移. 然在此阶段，部分教师常用画图标、总结概况等方式来帮助学生完成知识梳理，教师独占课堂，课堂上缺乏学生独立思考和主动探究，教师讲得斗志昂扬，而学生却听得无精打采，学生学习的积极性难以激发. 第二阶段侧重专项复习，注重数学思想方法的提炼和技能的提升. 但是在此阶段，部分教师常选取一个典型例题揭示数学思想方法后，立即给出一个相应的习题让学生进行练习，其目的虽然是帮助学生进行知识强化，然因缺乏自主探究过程，使得学生对知识点的理解不够深入，因此解题时常模仿和套用，出现了“会而不懂”的现象. 第三阶段侧重通过模拟考试的方式提升学生的应试能力，同时通过习题的测试反馈及时进行查漏补缺. 然在此阶段，部分教师在试卷评讲时不重视试卷分析，对涉及相同知识点的内容也不进行分类，只是就题论题、逐一讲解. 这样的试卷评讲单一、低效，不仅浪费宝贵的高三复习时间，而且容易让学生产生厌烦情绪，教师的主导和学生的主体地位都难以得到有效发挥.

如何提高高三复习有效性一直是高三数学教学的热点话题，笔者结合“函数性质”的复习，谈几点自己在教学中的心得体会，仅供参考！

[?]提出问题

高三可谓是数学成绩提升的关键期. 为了能够快速提高成绩，大多数师生习惯应用“题海战术”，然高三数学涉及的知识面广，题型多变，学生即使刷了很多题，收益也甚微. 其实在复习教学中，教师应该认真研究教学、研究考纲、研究学生，坚持“以生为主”，鼓励学生积极思考、自主反思，并在教学过程中充分展示学生的思维过程，这样既能调动学生参与学习的积极性，又能充分暴露学生存在的问题，为复习教学提供有效的课堂资源，从而提升教学的有效性.

例1 已知函数f（x）=x2+4x，x≥0，

4x-x2，x<0， 若f（2-a2）>f（a），则实数a的取值范围是________.

生1：例1可以采用分类讨论的方法求解，当x∈［0，+∞）时，函数f（x）为单调增函数；当x∈（-∞，0）时，函数f（x）也为单调增函数. 所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2-a2）>f（a）?2-a2>a，这样实数a的取值范围可以轻松求得了.

师：对于生1的解题过程，大家有不同的意见吗？

生2：根据函数f（x）在相应区间内递增就认为其在R上是增函数显然是存在问题的，还应满足第一段上的f（0）不小于第二段上的f（0）.

师：补充得很好，这样既揭示了分段函数单调性的判断方法，又给出了注意事项，思维严谨，思路清晰. 不过在解决这类问题时，一定要分类讨论吗？

生3：本题可以直接画出函数图像，运用数形结合的思路求解.

师：说一说你的解题过程.

生3：由函数的图像可知，f（x）在R上为增函数，同时函数f（x）也是奇函数，所以f（2-a2）>f（a）?2-a2>a.

师：很好. 在解决此类问题时，运用图像的直观性更易于理解，因此解题时要习惯应用数形结合法求解. 不过绘制图像可能需要较长的时间，因此解题方法要根据实际情况进行分析和选择. 但无论应用哪种解题方法，解决此类问题时一定要抓住函数的单调性这一核心要素.

教师充分展示了学生的思维过程，发现学生利用函数单调性解决问题时还存在一些不足，思维存在一定的局限性，因此教师引导学生应用不同方法进行探究，以此丰富学生的解题经验，提高学生的解题效率.

[?]解决问题

基于上面存在的問题，教师没有急于讲解，而是通过相似练习引导学生继续探究，在检测学生能力的同时，帮助学生将“函数单调性”这一知识点学懂吃透.

师：通过例1的探究，我们知道借助数形结合法可以更加直观地解决函数单调性问题，那么请大家思考一下，下面这个问题该如何求解？（教师用PPT展示例2）

例2 已知函数f（x）=-x2+2x，x≤1，

2ax-5，x>1， 若存在x，x∈R，且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，则实数a的取值范围是______.

问题给出后学生积极探究，经过一番争论，给出了两种解题方法：

方法1：数形结合法. 如图1所示，当x≤1时，f（x）=-x2+2x是单调增函数，最大值为1. 当a≤0时，满足条件；当a>0时，要使x，x∈R，且x≠x，f（x）=f（x）成立，则点B必须在点A的下面，则2a-5<1，即a<3.

方法2：补集思想. 由题意可知，在定义域内f（x）不是单调函数，当x≤1时，f（x）=-x2+2x是单调增函数；若f（x）在R上是单调增函数，则2a-5≥1，即a≥3. 因为f（x）不是单调函数，所以a<3.

通过对比发现，在解决此类问题时，应用数形结合法更为高效，借助“形”的直观性，有利于学生快速做出判断，准确解题.

为了引导学生多角度分析，教师给出了变式题目和模拟题让学生继续探究：

变式1：已知函数f（x）=-x2+ax，x≤1，

2ax-5，x>1，若存在x，x∈R，且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，则实数a的取值范围是_____.

变式2：已知函数f（x）=-x2+ax，x≤1，

2ax-5，x>1，若对任意非零实数x，存在唯一的非零实数x（x≠x），使得f（x）=f（x）成立，则实数a的取值范围是.

模拟题：

已知函数f（x）=k2x+k（1-a2），x≥0，

x2+（a2-4a）x+（3-a）2，x<0，且a∈R，若对任意非零实数x，存在唯一的非零实数x（x≠x），使得f（x）=f（x）成立，求实数k的最小值.

高考题看似复杂多变，新颖别致，然仔细分析后容易发现其重点考查的知识点和数学思想方法往往相同，因此在复习教学中教师要善于将多题归一，即将涉及同一知识点或同一方法的问题以题组的方式呈现给学生，这样通过多角度分析和强化有助于揭示问题的本质属性，有助于学生掌握解决此类问题的通法，有助于实现知识和方法的迁移，实现知识的融会贯通.

这样在教师的精心预设下，打造了一节生动的复习探究课. 在本课教学中以探究为主线，将课堂还给学生，充分展示了学生的思维过程，使学生的“学”变得更加主动积极. 教学中，教师不要急于求成将结果展示给学生，那样容易出现思维定式的情形，不利于学生解题能力的提升. 同时，在实际教学中，师生不要满足于现成的结论和解题方法，而应给学生充分的时间和空间去反思、去展示，让学生从不同角度、不同侧面去思考和解决问题，以便学生能在探究和解决问题的过程中挖掘出问题的实质，从而在提高学生解题能力的同时，锻炼学生的创新能力.

[?]几点认识

高三复习阶段复习的内容和侧重点有所不同，因此其课型也有所不同，第一阶段为习题课，侧重于提高学生的“双基”；第二阶段为专题课，侧重于提升学生的解题技能；第三阶段为套卷评讲课，侧重于对知识的总体把握和有针对性地查漏补缺.

1. 关于习题课

习题课并不是简单问题的罗列，也不是机械的、重复的练习，而是需要教师结合教学实际，将问题进行改编，将知识与技能通过串联，叠合成更加系统、更加全面的问题，从而便于“双基”的巩固和知识的系统化建构.

例3 已知关于x的二次方程x2-kx+k+1=0，

（1）若方程有根，求k的取值范围；

（2）若方程有两个正根，求k的取值范围；

（3）若方程有两个大于1的根，求k的取值范围；

（4）若方程的两根一正一负，求k的取值范围；

（5）若方程有两根，一根小于1，另一根大于1，求k的取值范围；

（6）若方程一根属于（0，1），另一根属于（2，3），求k的取值范围.

对于问题（1），学生利用根的判别式便可轻松求解. 对于问题（2），大多数学生利用方程的根与系数的关系得到了关于k的不等式组，进而求出了k的取值范围. 虽然利用这种方法可以求解，但是面对接下来的几个问题时，显然该解题方法行不通，因此其并非最优解题方法，此时教师可以诱导学生联想函数，进而将方程的根和二次函数图像与x轴的交点关联起来，运用函数与方程的思想将问题转化为交点的分布，这样借助二次函数图像求k的取值范围更具普适性.

解题时教师要引导学生不要局限于一种方法，应多观察、多分析，注重挖掘问题间的内在联系，善于跳出原有思维的束缚，寻找更为广阔的解题方法. 解题后教师要继续追问，引导学生将特殊问题转化为一般问题，便于学生认清问题的本质. 如顺利求解问题（3）后，可以将问题推广至“若方程的两根均大于（或小于）m，求k的取值范围”；又如顺利求解问题（4）后，继续追问“若方程的两根分布在m的两侧，求此时k的取值范围”. 这样不仅可以引导学生深化理解，而且可以拓宽学生的思维. 可见，在习题教学中，除了培养学生的“双基”外，教师还应有意识地引导学生去拓展、去联想、去发现，注重数学思想方法的总结和提炼，逐步培养学生的创新意识.

2. 关于专题课

专题强化的目的就是将相关、相似的问题进行系统化、有序化的梳理、综合和应用，从而有效帮助学生完善知识网络. 专题训练时不要將目光着眼于解题，而应该重视知识的梳理、归纳，重视数学思想方法的提炼，从而让学生可以更深层地理解问题、理解数学.

例4 已知x，y≥0，且x+y=1，求x2+y2的取值范围.

求解例4的方法有很多，教师鼓励学生多角度观察和探究，同时通过合作交流，尽量采用不同的解决方案来解决问题，进而充分调动原有认知，发散数学思维，培养思维的灵活性. 学生通过合作探究给出了以下几种常用的解题方法.

方法1：函数思想. 由x+y=1得y=1-x，则x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2

x-

+. 由于x∈［0，1］，根据二次函数的图像与性质可知x2+y2的取值范围为

，1.

方法2：三角换元法. 由于x，y≥0，且x+y=1，可设x=cos2θ，y=sin2θ，其中θ∈0

，，则x2+y2=cos4θ+sin4θ=+cos4θ，进而求得x2+y2的取值范围为

，1.

以上两种方法看似并无关联，然其本质相同，都是通过函数思想的运用来求最值的.

方法3：运用基本不等式. 由于x，y≥0，且x+y=1，则xy≤=，从而0≤xy≤，于是x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，所以x2+y2的取值范围为

，1.

方法4：数形结合法. 如图2所示，设x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以原点O为圆心，半径为r的动圆. 问题转化为动圆与线段x+y=1，

x≥0，y≥0有公共点，求r的取值范围.

用几何直观来思考代数问题，往往可以帮助学生更好地把握问题的本质，从而快速解决问题. 在专项训练中既可以通过一题多解来发散学生的思维，提高学生思维的灵活性，也可以通过一题多变来强化解题方法和解题技巧. 本题顺利求解后，教师又给出了以下变式和推广：

变式1：已知x，y≥0，且x+y=1，求x4+y4的最值.

变式2：已知x，y≥0，且x+y=1，你能求x8+y8的最值吗？

变式3：已知x，y≥0，且x+y=1，你能比较，xn+yn，1的大小吗？

这样从一个低起点的、特殊的问题入手，有效消除了学生的畏难情绪，提升了学生解题的信心. 另外，通过多角度分析培养了学生数学综合分析能力；同时，数形结合思想、函数思想、转化思想等重要的数学思想方法的渗透，有效强化了学生的数学思维，培养了学生的数学综合运用能力，提高了教学的有效性. 在高三数学复习教学中，教师要充分挖掘这些典型的例习题，这样不仅可以进一步强化学生的“双基”，而且能够激发学生的探究欲；同时，典型的例习题更易于激发师生共鸣，更易于激发学生思维活力，从而提高高三复习的有效性.

3. 关于套卷评讲课

模拟考试是高三数学复习的重要一环，通过模拟考试可以更加全面地检测学生的知识掌握水平和应试能力. 考后教师不要急于评讲，而是根据试卷反馈的解题思路、運算过程、书写规范等问题做好统计和分析，同时筛选出典型问题进行“精讲”；另外，对一些典型问题要进行一定的拓展和延伸，帮助学生彻底扫除知识结构中的盲点，将相关的知识点学懂吃透；不仅如此，教师还要引导学生进行反思和总结，让学生充分认识到自己的不足，及时进行查漏补缺.

例5 已知函数f（x）=是奇函数，则k=________.

因为定义域是R，解得f（0）=0?k=-1.

变式：已知函数f（x）=是奇函数，则k=________.

因为奇函数的定义f（x）+f（-x）=0，解得k=±1.

解题时发现，多数学生容易将问题想得过于复杂，从而误入歧途，因此在教学中，教师要选择一些典型问题，带领学生回归问题的本源，总结归纳出解决问题的一般方法.

总之，要提高高三复习教学的有效性，师生都要知道每节课要做什么、怎么做、为什么这么做、做到什么程度. 教师只有充分做好课前预设，并制定明确的教学目标，才能让学生每节课都有新的体会、新的收获，才能不断激发学生的潜力，获得更好的教学效果.