重教材，讲通法，揭本质

杨阳

［摘  要］ 为了提高复习课堂的有效性，教师要用好教材，善于通过教材改编来揭示数学本质，巩固学生的“四基”，提升学生的思维品质. 同时，在教学过程中，教师要坚持“以生为主”，关注学生的思维发展，暴露学生的思维形成，进而通过有效引导和点拨，帮助学生建构完善的认知体系，以此提升学生的数学学习品质，提高学生的数学学习能力.

［关键词］ 用好教材；数学本质；思维形成

在高三复习教学中，部分教师为了追求“多、新、难”常将学生引入茫茫“题海”，忽视了学生“四基”的培养. 要知道，重复的、机械的练习容易造成思维定式，限制学生思维能力的发展，得不偿失. 教学中教师要从学生实际出发，善于通过“少而精”的问题来揭示数学本质，激活学生的数学思维，提升学生的解题效率.

椭圆是高考的重点考查内容之一，而椭圆中的最值和取值范围问题因其考查的视角宽、灵活多变而成了高考的热点问题. 此类问题有一定难度，对学生的能力要求比较高，一直是教学难点. 为了突破这一教学难点，在复习教学中，教师要“以生为主”，重视回归课本，重视展示思维过程，关注揭示问题本质，以此让学生学懂吃透. 现笔者结合具体教学，谈一谈对此类专题的几点认识，若有不足，请指正.

[?]教学过程

1. 课前热身

为了解学生掌握基础知识的情况，课前教师以教材为依托，为学生精心设计了课前导学问题，问题如下：

（1）如图1所示，已知F，F分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，点M的坐标为（6，4），则PM+PF的最大值为______.

（2）已知点P（x，y）是椭圆+=1上的任意一点，则t=x+y的最大值为______.

（3）如图2所示，椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，点P是椭圆上的任意一点，∠FPF取最大值时点P的坐标为______.

设计意图：将例题进行有效改编和整合，使知识点融于小题训练中，继而通过练习唤起学生的记忆. 同时，“小而精”的问题可以降低思维的难度，提升学生解题的信心. 另外，这些“小而精”的问题能引导学生从不同视角体验椭圆中的最值和取值范围等问题，有助于更好地考查和巩固学生的“四基”，为继续探究埋下伏笔.

2. 交流反馈

上课时，教师预留时间让学生进行互动交流，并在交流中适时地进行追问：你是怎么想的？这么做的理由是什么？还有其他方法吗？

设计意图：通过交流，启迪学生思维，增长智慧；通过追问，充分展示学生的思维过程，了解学生在解题中存在的不足，从而为课堂上开展有针对性的教学活动提供素材.

3. 归纳梳理

交流反馈后，教师应引导学生进行知识归纳和梳理，从而逐渐完善个体认知体系，为接下来的拓展训练做好铺垫.

师：通过课前热身，我们解决了几个具有代表性的问题，通过解题你有哪些收获？谈一谈你的心得体会. （师生共同总结归纳）

设计意图：通过小结，帮助学生回顾椭圆中最值和取值范围问题所考查的常见示例，并通过解题过程回顾提炼处理方法，为接下来的综合探究提供思考的路径.

4. 例题解析

有了前面的鋪垫，学生对椭圆中的最值和取值范围问题已经有了清晰的认识，接下来教师精心设计问题，通过交流反馈，逐渐揭示问题本质，以此提升学生分析和解决问题的能力.

例1 如图4所示，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，点P是椭圆上的任意一点，·的取值范围是［2，3］.

（1）求椭圆方程；

（2）设椭圆左、右顶点分别为A，B，直线l是椭圆的右准线，直线AP交准线l于点M（点M在x轴上方），记直线FP的斜率为k，直线BM的斜率为k，求kk的取值范围.

问题给出后，教师先让学生独立思考，然后进行交流点评. 对于第（1）问，大多数学生都能顺利求解，最终得到椭圆方程为+=1，然后重点探究椭圆中的最值和取值范围问题.

师：对于第（2）问，谁来说一说，你是怎么求解的？

生1：因为点M在x轴上方，所以直线AP的斜率存在. 设AP的斜率为k，且k>0，直线AP的方程为y=k（x+2），将其代入椭圆方程+=1，化简得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，由根与系数的关系得xAxP=-2x=，所以P

，

，M（4，6k）. 由此可得k=，k=3k，则kk==-9+. 又9-4k2∈（-∞，0）∪（0，9），所以kk∈（-∞，-9）∪（0，+∞）.

师：解题思维清晰，解题过程完整，展示了超强的运算能力，现在请简述一下你的解题思路.

生1：根据已知设出直线AP的斜率k，利用方程思想方法求出点M和点P的坐标，进而将目标kk用k表示出来，这样问题就转化成了关于k的函数取值问题.

师：很好的思路，立足函数思想，通过设元得到目标函数，继而运用求函数取值范围的思路解决问题. 大家还有没有其他的方法呢？

生2：设点P（x，y），可以借助点P的坐标表示点M，再表示kk.

生3：设点M（4，m），从点M的坐标出发，用m表示点P，再表示kk.

生4：也可以设直线MB的斜率，然后用直线MB的斜率表示点M，P，再表示kk.

师：很好，分析以上几种解决方法，你得到了什么启示？

生5：设点或设斜率都可以完成转化，顺利解决问题.

师：还有吗？（学生陷入沉思）

生6：虽然形式有所不同，但是其本质是相同的，都是通过设元表示目标函数，然后运用求函数取值范围的思路解决问题.

师：若从直线FP的斜率入手是否行得通呢？

生7：应该可以，不过这样设元，联立方程后表示点P的坐标会比较复杂，所以还是上面几种方法较好.

师：确实，对于同一问题往往有多种解法，尤其对于设元问题，更是灵活多变. 如本题就可以设关键点P或M的坐标，也可以设关键直线MB，AP的斜率等. 但是不同设元法的运算量会有所不同，因此设元时，要从整体思路出发，对计算过程进行充分预设，继而优化解题过程，提升运算效率.

师：因时间关系，这里就不一一展示各种方法的具体求解过程了，请大家在课后用不同的方法试一试，交流一下，相信你们一定有不同的收获.

师：通过以上的交流分析，你有哪些收获？

生8：其实这类问题看似复杂，但解题思路并不难，通过设元表示出目标后，将其转化为目标函数即可迎刃而解.

师：确实，在研究椭圆中的最值与取值范围问题时，大多通过合理设元，表示出目标后，再借助函数的性质来解决问题.

设计意图：在此环节中，教师先让学生独立思考，形成解题思路后再合作交流，从而充分发挥个体优势，培养思维的多样性. 教学中，学生给出了具体的解题过程，教师让学生对解题过程进行提炼，继而形成解题的一般思路. 同时，教师鼓励学生从不同的角度进行分析，尝试应用不同的方案来解决问题，以此丰富学生的认知、发散学生的思维. 解题后，通过反思逐渐抽象出问题的本质属性，形成解题通法，培养学生的思维深刻性，建构学生完善的认知.

为了进一步强化学生认识，提升学生的解题能力，在例1的基础上，教师设计了以下这个问题：

例2 如图5所示，已知椭圆E：+=1，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，过原点O的直线l与椭圆相交于C，D两点，求四边形ACBD面积S的最大值.

同样，教师给出问题后，让学生先尝试独自解题，再交流点评.

师：结合例1的解题经验，说一说你的解题思路.

生9：先设元，再转化，表示出四边形ACBD面积S后，求其最值.

师：应该如何表示四边形ACBD的面积S呢？

生10：需要将四边形ACBD分解成△ACD和△BCD.

师：为什么要分解呢？不能直接表示吗？如果要分解，那么一定要这样分吗？

生11：四边形的面积很难直接表示，拆分后比较方便，除了分解成△ACD和△BCD外，还可以分解成△ABC和△BAD.

师：可以如何设元呢？

生12：可以设直线CD的斜率为k.

生13：也可以设点C的坐标为（x，y）.

师：很好，设点的坐标和设直线的斜率都是我们常用的方法，在不计算的情况下，请推演一下过程，你认为如何设元会使解题过程更简洁呢？（学生积极思考、交流）

生14：设点C（x，y），将四边形ACBD分解成△ABC和△BAD，以AB为底边，C，D到直线AB的距离为高来求解更简洁.

师：大家试一试，看看还有没有其他的发现.

学生积极练习，教师选取了典型做法，投影展示，并展开互动点评. 在交流中发现，有学生给出了其他方法，教师点名让学生板书展示.

生15：将四边形ACBD拆分成△AOD，△AOC，△BOD，△BOC，由于C，D关于点O对称，则△AOD和△AOC的面积相等，△BOD和△BOC的面积相等. 设C（x，y），则S=2（S△AOC+S△BOC）=2

··x+·2·y

=x+2y.

师：非常好. 今后再面对难以表征的目标时，我们可以如何处理呢？

学生齐声答：分解.

师：回顾以上求解过程，你认为如何分解更简洁呢？

此时，学生一致认为将四边形ACBD拆分成△AOD，△AOC，△BOD，△BOC更简洁、方便.

师：解题时经常会遇到一些难以表征的对象，若能巧妙地分解，定能获得柳暗花明的效果. 值得注意的是，在分解和计算时要善于结合几何特征，避免盲目分、盲目算，只有这样才能优化解题过程，提升解题效率.

师：我们得到了目标函数S=x+2y，接下来该如何求最值呢？

学生提出了多种解题思路，有的学生认为可以联立方程，通过根的判别式求最值；有的学生认为可以利用基本不等式求最值；还有学生提出了几何法、参数法等求最值. 教师鼓励学生尝试应用不同方法求最值，并在解后进行交流和反思，以此丰富学生的解题经验，提升学生的解题信心.

设计意图：借助练习进一步强化学生的已有知识和已有经验，以此深化学生对通性通法的理解，继而实现知识与方法的融会贯通. 本题重在体现如何建立目标函数及函数求最值的方法. 在具体的练习中，教师鼓励学生应用多种方法解题，通过对不同解法的对比分析，以此优化解题过程，减少运算量，提升解题准确率. 另外，解题后教师组织学生进行交流和小结，继而培养学生思维的多样性，丰富学生的原认知，提炼学生的数学思想方法，揭示问题本质.

5. 练习及课堂小结

略.

[?]教学思考

1. 以教材为依托，建构并完善认知体系

教材是教学之本，是课堂教学的必要素材，教学中教师只有认真研读教材，切身掌握教材编排者的真正意图，才能通过合理设计、巧妙引导帮助学生学懂吃透. 但在实际教学中，尤其在复习教学中，部分教师认为教材内容是学过的，难以吸引学生的注意力，因此在教学中常常以教辅内容为主，忽视了教材的核心价值，使得教学偏离了原来的轨迹，不仅增加了学生的课业负担，而且影响了学生的积极性和学习信心，学习得不偿失. 因此在复习教学中，尤其是高三一轮复习，教师必须回归教材，通过对教材的挖掘帮助学生厘清知识发生的本原，揭示数学本质，帮助学生建构完善的知识脉络，提升学生的知识迁移能力，提高学生的解题效率. 在本节课教学中，教师结合课堂标准对教材内容进行了改编，将其转化为基础训练题，通过“小而精”的问题帮助学生梳理知识、总结方法，构建知识网络，有效发展了学生的思维能力，提升了学生的解题信心.

2. 关注思维的形成，建构并完善知识体系

在复习课堂上，教师为了追求“大容量、高速度”，常常是大包大揽，习惯将教师的知识和经验强加给学生，忽视了学生思维的形成，影响了学生思维能力的提高. 在复习教学中，应多给学生一些展示的机会，充分暴露思维过程，这样才能更好地了解学生，从而为教学活动的开展提供宝贵的生成性资源. 数学知识具有一定的关联性，在新授课阶段因受认知水平的限制，许多相同或相似的问题可能散落在不同的章节中，因此在一轮复习时，先要将这些散落的知识点连成线、织成网，形成一个完整的知识体系，这样学生在解题时才能灵活调取相关的知识和方法. 而且复习课堂除了唤醒学生的记忆、完善学生知识结构外，还要重视思想方法的渗透，关注学生思维能力的发展. 比如在本节课教学中，通过前期回顾形成了解题思路后，教师引导学生从不同角度出发，尝试运用不同方法解题，力求通过多解让学生掌握解决一类问题的一般方法. 另外，教学中教师通过有效追问，启迪学生思维，充分暴露了学生的思维过程，让不同学生获得了不同程度的发展.

3. 关注通性通法，揭示问题本质

在数学学习中，学生只有抓住问题的本质，才能灵活运用数学知识解决问题. 因此，在揭示问题本质的阶段，教师要下狠功夫. 对于椭圆的最值问题的本质就是借助函数思想方法，將几何问题转化为函数最值问题进行处理. 为了揭示问题的本质，教学的各个环节都应围绕这一目标展开. 例如在课前自测阶段，教师从不同视角呈现椭圆中的最值问题、取值范围问题，归纳后不难发现，最终都转化成了函数最值问题、函数取值范围问题. 又如在例题展现环节，教师鼓励学生应用不同方法求解，但解后反思发现，多种解法的本质是相同的，继而揭示了问题的本质，提炼出了解决问题的通法，优化了学生的认知结构.

总之，在复习教学中，教师要关注学生的思维发展，重视揭示问题的本质，关注学生认知的系统化建构，以此提升学生的学习品质，提高学生的解题能力.