高中数学教学中的数学表征初探

郁银霞

[摘  要] 学生的数学学习过程到底是一个什么样的过程？这个问题是非常有意义的. 要回答这个问题，高中数学教师需要研究一个更为根本的问题，即数学表征问题. 只有知道了在学生学习数学的过程中，数学知识是如何得以表征的，才能知道学生具体的学习过程是怎样的;也只有知道了学生的学习过程遵循着什么样的脉络，教师教学时才能更好地做到有的放矢. 数学表征研究可以为教师的教学研究开辟一个切入点，从而将数学教学研究牢牢扎根在学生的学习过程上;数学表征研究可以面向学生的学习开辟一个切入点，从而为数学知识的建构，以及数学学科核心素养的发展奠定基础.

[关键词] 数学表征;问题解决;数学学科核心素养

对于相当一部分高中数学教师来说，对数学学科教学的认识可能就停留在“教师教给学生相应的数学知识，学生在数学知识学习的过程中形成相应的解题能力”上. 这样的认识符合经验，因为日常教学所遵循的就是这样一个脉络. 但是如果换一个视角，就会发现这样的认识还显得有些粗放，因为这样的认识不能回答一个根本的问题，那就是学生的数学学习过程到底是一个什么样的过程？

首先要指明的是，这个问题是非常有意义的，因为从最现实的应试角度来看，可以说每一个高中数学教师，都想要获得高效的数学教学效果，每一个学生也都希望能够提升自己的数学学习成绩，而要实现这些都需要学生能够有效记忆学习过的数学知识，更需要高中数学教师仔细分析数学知识是怎样在学生的记忆中得以表征的. 换句话说，高中数学教师需要研究一个更为根本的问题，即数学表征问题. 只有知道了在学生学习数学的过程中，数学知识是如何得到表征的，才能知道学生具体的学习过程是怎样的;也只有知道了学生的学习过程遵循着什么样的脉络，教师教学时才能更好地做到有的放矢. 而这样不仅能够提高学生的应试能力，还可以在此过程中捕捉到更多的数学学科核心素养的培育时机，从而让传统的应试需求与当下的核心素养培育需求都能够得到满足.

考虑到问题解决是数学教学中的一个重要环节，因此本文就以数学问题解决为例，来探究高中数学教学中的数学表征.

[?]数学表征研究是关注学生学习过程的具体表现

所谓数学表征，实际上是表征的下位概念. 什么是表征呢？表征就是通过某一个物理的或者心理的形式，将一种事、物、想法或者知识表现出来. 相应的数学表征就是借助具体的数学符号（包括文字符号、图形符号、数学模型等），来表现数学概念或者数学关系的过程. 从功能上来看，数学表征具有表达交流、操作转换、建模应用三种功能，而进一步的研究结果则表明数学表征的功能会随着课程标准的变化而变化，并且三种表征功能的侧重点和相互关联性在不同学段也有不同的特点. 相比较而言，表达交流功能在小学阶段依赖于建模应用，而在初高中阶段依赖于操作转换，操作转换功能在三个学段均处于主导地位[1]. 由此可见，作为面向高中生的数学教学，应当重视数学表征研究，因为只有通过这一研究，才能知道学生的具体学习过程有着什么样的表现. 對此，笔者的理解是这样的：

首先，数学表征研究可以为教师的教学研究开辟一个切入点，从而将数学教学研究牢牢扎根在学生的学习过程上.

如果说传统的数学教学研究，关注更多的是学生对知识的掌握和运用，那么数学表征研究实际上就是将研究点提前了，其关注的是学生在学习过程中如何表征所学到的数学知识. 当然这里有一个客观与主观的视角问题，一般认为数学表征是一个客观的过程，其对应着准确的数学知识与问题;而学生在学习的过程当中，由于主动建构过程的存在，有可能会出现一些曲折甚至是谬误，但是这样的情形并不影响科学表征的结果，反而可以让教师更全面地掌握学生的学习情况，从而保证教学研究的有效性.

其次，数学表征研究可以面向学生学习开辟一个切入点，从而为数学知识的建构，以及数学学科核心素养的发展奠定基础.

今日的高中数学教学特别重视核心素养的发展，作为一种目标实现，其必然伴随着学生的学习过程，数学表征可以让教师对学生学习过程的掌握更加清晰，因此也就能够获得更多知识的高效建构以及核心素养发展的空间.

[?]基于数学表征去培养高中生的问题解决能力

著名教育家哈尔莫斯曾经提出过一个观点，即“问题是数学的心脏”. 美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中也明确提出，“学习数学的主要目的在于问题解决”. 基于这个观点，该机构把解决问题能力列为十项基本技能之首. 由此可以得出的一个基本结论就是：学习怎样解决问题，是学习数学的根本原因. 因此，培养和提高学生分析、解决问题的能力就成了中学数学教学的首要任务. 关于数学问题解决与数学表征之间的关系，20世纪80年代以来，安德森等人在数学问题解决的研究领域，对知识分类的研究取得了丰富的成果，在此基础上人们开始以数学学科知识为例，进行问题表征理论和数学问题解决研究，从而为数学问题解决的表征研究提供理论依据[2]. 有了这种坚实的理论基础，那么对于高中数学一线教师而言，在实践中进行研究也就有了底气.

例如，在“指数函数”这一知识的学习过程中，要探究出指数函数的性质以及图像并得到巩固与运用，那就涉及一些基本的问题解决过程. 比如有这样的问题：你能指出指数函数y=2x和y=（1/2）^x的图像的公共点吗？你能判断出指数函数y=a^x（a>0，a≠1）一定经过哪个点吗？

学生解决这些问题时，大脑中会有一个比较详细的思考过程，即无法真正看到学生的这一思考过程，只能根据学生的数学表征过程来判断. 那么在教学的过程中，就需要放大学生的数学表征过程. 笔者在课堂上通过观察、询问与交流，有这样一些发现：解决第一个问题时，有学生的第一反应是画出两个图像，然后去判断交点的坐标，不少学生还会在自己的草稿纸上进行尝试;另有部分学生的反应则是将这两个函数解析式组成一个方程组，然后去求解，并且也会在草稿纸上进行尝试. 不同思路的背后对应着不同的思维，前者是形象思维，因为其加工对象是图像;后者是抽象思维，因为其思维对象是公式. 当然这不是绝对的，因为形象思维与抽象思维通常是穿插在一起的. 但是知道了学生的这种主要表征方式，对学生的思维方式就有了一个准确的判断，这为后续教学打下了基础.

同样，解决第二个问题时，有些学生比较聪明，他们从问题的表述上，发现指数函数的定义域是R，于是就从中选出x=0来判断，得出（0，1）这个点. 这实际上是一般思维中的特殊思维，代表着学生思维的敏感性，而在实际教学中注意培养学生的这种思维敏感性，也是非常有好处的. 从核心素养发展的角度来看，如果学生的形象思维与抽象思维得到平衡与协调，如果学生思维的敏感性得到培养，那么包括数学抽象、逻辑推理以及数学建模在内的数学学科核心素养都能够得到发展.

[?]数学表征是高中数学教学（素养）评价的重要抓手

一个完整的教学必然包括评价，评价需要从结果上进行，也需要从过程上进行. 传统的教学评价侧重前者、忽视后者，而数学表征恰好给了教师一个评价学生学習过程的空间，因此成为数学教学评价包括素养评价的重要抓手.

说到底，无论是在问题解决的过程中，还是在其他的数学知识学习过程中，问题表征都是指向问题或任务在解决者头脑中是如何呈现、如何表现出来的. 相关的教育心理学研究表明，问题表征依赖人的知识经验，也受到注意、记忆和思维的影响. 通常认为中学生在问题解决过程中的数学表征，常常处于三个不同水平，即程序性表征、发展的表征、概念性表征[3]. 基于这样的分类，教师可以紧扣学生在数学知识学习或者运用的过程中，是如何进行概念表征的，其表征的发展水平如何，在陈述性知识和程序性知识建构的过程中又有怎样的具体表征. 这些都是解析数学表征的有效工具，同时也是数学教学评价以及数学学科核心素养评价的载体. 在前面已经强调过，学生的数学学习过程是内隐的，因此教师唯一有效的抓手就是学生的数学表征过程，从这个角度来看，研究数学表征显得非常重要. 当然其中有一个重要的原则，那就是在数学表征研究的过程中，根据学生的学习表现判断学生内在的思维，既需要经验也需要理论，要特别注意不能凭想象，这是数学表征通向准确判断最重要的原则.

参考文献：

[1]  沈阳，张晋宇，李娜，鲍建生. 20世纪以来中国数学课程标准中算术与代数表征功能的变化及启示[J]. 数学教育学报，2019，28（03）：12-17.

[2]  张卫明. 中学生数学问题解决的表征研究[J]. 中学数学，2016（18）：61-64.

[3]  程龙海，黄兴丰. 中学生数学解题表征的一次调查测试[J]. 数学教育学报，2003（02）：63-65.