磁致负刚度电涡流惯质阻尼器力学性能试验与仿真

尹光照， 汪志昊， 程志鹏， 郑梦斐， 刘 洋

(华北水利水电大学 土木与交通学院，郑州 450045)

随着现代社会经济的高速发展，高耸建筑和大跨度桥梁等大型土木工程结构数量逐渐增多，极易在风、地震等外界激励作用下产生有害振动[1-3]。发展简单高效的结构振动控制技术逐渐成为土木工程学科的研究热点，其中结构被动控制技术因具有无需外部能源输入、成本低等优势而备受瞩目[4]。以传统黏滞阻尼器(viscous damper,VD)为代表的一元被动减振装置在工程结构减振领域已得到广泛应用，但VD的耗能效率及其对大型土木工程结构的减振效果仍亟待提升[5-6]。

受结构主动和半主动控制负刚度特性可实现结构减振增效的启发，Sarlis等[7]通过合理布置预压弹簧、间隙弹簧及枢轴板的位置，提出了一种适用于结构减震的负刚度控制装置；Zhou等[8]在传统VD的基础上并联预压弹簧，提出了一种适用于斜拉索减振的预压弹簧式负刚度阻尼器；Shi等[9]基于磁致作用力效应提出了一种磁致负刚度阻尼器。研究表明，相对传统一元被动减振装置，负刚度阻尼器作为一种典型的二元被动减振装置体现出更好的减振效果。然而，现有负刚度阻尼器均呈现典型的位移相关型特征，一方面带来结构减振设计的不便；另一方面也未能充分发挥负刚度对结构减振的耗能增效作用。

近年来，机械领域的“Inerter”(惯容-两节点惯质单元)[10]的引入为提升结构被动控制效果提供了新的潜在手段。惯容元件可实现远大于自身物理质量的表观质量[11]，其实现形式主要有滚珠丝杠式惯容[12-13]、齿轮齿条式惯容[14]、液压式惯容[15]等。惯容类阻尼器在结构振动控制领域的研究主要涉及斜拉索减振[16-17]、结构耗能减震[18-19]、结构吸能减振[20]和桥梁风致振动控制[21]等方面。研究表明：惯容类阻尼器呈现出频率相关型负刚度特征，也有助于实现结构减振(震)增效。陈政清等[22-23]提出并发展的电涡流阻尼三元被动控制理论与技术，其轴向电涡流阻尼器融合了电涡流阻尼无摩擦与工作流体及耐久性好等优点[24-26]，在结构振动控制领域具有广阔的发展与应用前景。

鉴于三元被动减振装置在工程结构振动控制领域的显著优势，本文融合磁致负刚度单元、旋转式电涡流阻尼单元与滚珠丝杠两节点惯质单元(刚度-阻尼-惯质)，研发了一种新型三元被动减振装置-磁致负刚度电涡流惯质阻尼器(magnetic negative stiffness eddy-current inertia damper，MNSEID)。综合理论分析、三维电磁场有限元仿真以及样机力学性能测试，阐述了MNSEID的轴向出力特征及设计方法，可为MNSEID的工程应用提供参考。

1 MNSEID样机构造与力学模型

1.1 MNSEID样机构造及工作原理

MNSEID的整体构造如图1所示，其主要由磁致负刚度单元、旋转式电涡流阻尼单元与滚珠丝杠两节点惯质单元并联而成。磁致负刚度单元由1#永磁体、1#、2#导磁钢板、滑轴以及套在滑轴上的直线轴承组成，其中上、下导磁钢板固定于立柱，中间导磁钢板可随套筒、滚珠螺母及滑轴做同步直线运动，永磁体按同一磁极方向均匀布置在导磁钢板表面，在同一块导磁钢板上沿阻尼器轴向投影重合的永磁体为一组。旋转式电涡流阻尼单元包括3#导磁钢板、2#永磁体和导体铜板，永磁体沿上、下导磁钢板表面均匀对称布置，上、下对应相吸的两块永磁体为一组，导体铜板可随传动轴做同步旋转运动，而磁致负刚度单元的直线运动通过滚珠丝杠幅转化为电涡流阻尼单元的旋转运动。滚珠丝杠两节点惯质单元包括导体铜板等旋转构件。

图1 MNSEID样机构造示意Fig.1 Configuration sketch of the MNSEID

当大小相等、方向相反的力沿轴向施加于MNSEID上、下两端连接点时，阻尼器两端连接点之间就会产生相对轴向运动，首先带动MNSEID的2#导磁钢板及布置在其表面的1#永磁体做同步轴向运动，进而通过MNSEID的滚珠丝杠传动系统转化为导体铜板等旋转构件的高速旋转运动。导磁钢板及其表面永磁体的轴向运动产生轴向磁致负刚度力，导体铜板等旋转构件的旋转运动产生的转动惯性矩、导体铜板切磁感线产生的电涡流阻尼力矩经滚珠丝杠传动系统进一步放大分别形成轴向惯性力和电涡流阻尼力。MNSEID总出力为

Fd=Fm+Fe+Fa+f0sign(v)

(1)

式中：Fm,Fe和Fa分别为MNSEID的磁致负刚度力、电涡流阻尼力和惯性力；f0为摩擦力幅值；sign(·)为符号函数；v为滚珠丝杠与滚珠螺母间相对运动速度。

据此研制的MNSEID样机构造见图2，其相关设计参数见表1。其中：导磁钢板材料选用低碳钢；导体铜板材料选用导电率较高的紫铜；矩形永磁体采用N35型NdFeB，磁致负刚度单元布置1#永磁体4块×8组，电涡流阻尼单元布置2#永磁体2块×8组；1#、2#永磁体与滚珠丝杠的中心距分别为58 mm、80 mm；沿阻尼器轴向1#永磁体的初始净间距S0为12 mm，导体铜板表面与2#永磁体之间的铜磁间隙hg为2.8 mm。

图2 MNSEID样机Fig.2 Prototype of the MNSEID

表1 MNSEID样机参数Tab.1 Parameters of the MNSEID prototype

1.2 MNSEID惯性力

MNSEID惯性力Fa和惯性质量ma的计算式分别为

(2)

(3)

导体铜板等实心旋转构件转动惯量为

(4)

联轴器等空心旋转构件转动惯量为

(5)

式中：m为旋转构件的质量;r为实心旋转构件的半径;r1,r2分别为空心旋转构件的内外半径。

1.3 MNSEID电涡流阻尼力

将永磁体与铜板之间的瞬时相对旋转运动可近似处理为二者的相对直线运动，忽略相邻永磁体之间的耦合效应，可将MNSEID阻尼单元分解为单体(单组永磁体与铜板之间的相对直线运动)后再进行叠加分析，如图3所示。永磁体中心与导体铜板之间的相对线速度vr为

(6)

图3 MNSEID阻尼元件单体计算模型示意Fig.3 The damping unit calculation model of the MNSEID

每组永磁体与导体铜板相互作用产生的洛伦兹力F可通过COMSOL Multiphysics软件三维电磁场有限元仿真分析得到。所有永磁体组形成的电涡流阻尼力矩Te为

(7)

式中,n为永磁体组数。

根据滚珠丝杠系统传动机理，MNSEID电涡流阻尼力可表示为

(8)

MNSEID电涡流阻尼力与等效阻尼系数的关系式为

(9)

式中,ce为MNSEID的等效电涡流阻尼系数。

1.4 MNSEID磁致负刚度力

三块形状与参数均相同的永磁体如图4所示，当两组永磁体分别相吸时，中间永磁体离开平衡位置后会产生磁致负刚度力(见图4(a))；当两组永磁体分别互斥时，中间永磁体离开平衡位置后会产生磁致正刚度力(见图4(b))[27]。基于该原理设计的MNSEID磁致负刚度单元构造如图5所示，MNSEID磁致负刚度力Fm可通过COMSOL Multiphysics软件仿真分析得到。

图4 磁致刚度产生原理Fig.4 Principle of the magnetic stiffness

图5 MNSEID磁致负刚度单元构造Fig.5 Configuration of the magnetic negative stiffness element of the MNSEID

1.5 MNSEID轴向力特性

2 MNSEID力学性能仿真

2.1 MNSEID惯性质量

本节以导体铜板(参数见表1)为例来阐述旋转构件所产生的等效惯性质量的计算过程。首先计算得到导体铜板的物理质量为0.68 kg(紫铜密度为8.89 g/cm3)；由式(4)计算可得导体铜板的转动惯量为1.676×10-3kg·m2；将表1中滚珠丝杠的相关参数代入式(3)计算可得导体铜板的等效惯性质量为661.83 kg。

图6 MNSEID轴向力变化规律Fig.6 Variation of the MNSEID axial force

2.2 MNSEID电涡流阻尼力

本节进一步阐述MNSEID轴向最大速度对应的单组永磁体产生的电涡流阻尼力计算过程(激振频率1.5 Hz、振幅10 mm)，采用COMSOL Multiphysics软件准静态分析模块AC/DC瞬态分析方法仿真可得到单组永磁体对应的洛伦兹力F为12.183 N(计算模型见图7)，其中MNSEID轴向速度最大时永磁体中心与导体铜板的相对线速度vr=3.433 m/s；由式(7)进一步计算可得单组永磁体对应的阻尼力矩Te为0.707 N·m；最后通过式(8)计算可得单组永磁体对应的电涡流阻尼力Fe幅值为443.979 N。

图7 MNSEID洛伦兹力三维有限元计算模型Fig.7 Three-dimensional finite-element calculation model of the MNSEID Lorentz force

2.3 MNSEID磁致负刚度

磁致负刚度单元中间部分在某一位置的负刚度力Fm可以通过COMSOL Multiphysics软件计算得到。按照±10 mm行程、1 mm步长改变磁致负刚度单元中间部分的位置，采用COMSOL准静态分析模块AC/DC稳态分析方法对磁致负刚度力进行三维有限元仿真，获得磁致负刚度单元中间部分在各个位置的受力情况，进而可采用最小二乘法拟合确定MNSEID磁致负刚度系数。

以布置4组永磁体为例(模型见图8)，磁致负刚度单元中间部分在各个位置受力的线性拟合结果如图9所示，其中磁致负刚度系数为-15 560 N/m且R-square值大于0.93，表明当磁致负刚度单元单边永磁体初始净间距S0=12 mm、实际振动幅值A=10 mm时，MNSEID具有明显的“准恒定”磁致负刚度特征。

图8 MNSEID磁致负刚度力三维有限元计算模型Fig.8 Three-dimensional finite-element calculation model of the MNSEID magnetic negative stiffness force

图9 MNSEID磁致负刚度拟合结果Fig.9 The linear fitting results of the MNSEID magnetic negative stiffness

3 MNSEID样机力学性能试验

3.1 试验方案

采用如图10所示的力学性能测试系统对MNSEID样机进行力学性能测试。试验采用偏心轮激振机构对MNSEID样机施加激振频率为f、激振幅值为A的简谐位移u(t)=Asin(2πft)激振；通过频率控制器和偏心轮的偏心距实现激振频率调节和激振幅值控制，具体工况见表2；采用动态信号采集系统记录MNSEID的轴向力和位移信号。

图10 MNSEID样机力学性能测试系统Fig.10 The test system of the MNSEID prototype mechanical properties

表2 MNSEID样机力学性能测试工况Tab.2 Mechanical properties test cases of the MNSEID prototype

3.2 试验结果

图11对比了MNSEID空载(激振频率0.15 Hz)时的轴向力时程曲线的实测和理论结果。由图可知：此时MNSEID轴向力时程曲线近似方波，呈现出明显的摩擦力特征[28]。这充分表明：激振频率很低时，MNSEID的惯性力、磁致负刚度力和阻尼力均相对较小，摩擦力占主导地位，且摩擦力幅值f0约为50 N。

图11 MNSEID轴向力时程曲线(工况1，0.15 Hz)Fig.11 The MNSEID axial force-time history response(case 1, 0.15 Hz)

采用MATLAB分析软件对各试验工况下MNSEID轴向力-轴向位移滞回曲线进行数据拟合，其拟合采用数学模型

(10)

式中：Ffitted为MNSEID轴向力拟合值;ce为MNSEID等效阻尼系数；k为MNSEID磁致负刚度单元提供的等效刚度；ka为MNSEID导体铜板等旋转构件所提供的惯性质量等效刚度，可由式(10)转化为MNSEID等效惯性质量

(11)

式中,ma与f分别为MNSEID所有旋转构件的等效惯性质量和试验激振频率。

图12对比了MNSEID典型工况的轴向力时程曲线、轴向力-位移和轴向力-速度关系曲线实测值与理论值，其中理论曲线对应的MNSEID等效负刚度和等效电涡流阻尼系数分别为277 210 N/m和122 665 N·s/m(基于最小二乘法拟合得到)。结果表明二者整体吻合较好，且本文研发的MNSEID样机性能参数稳定，整体工作性能较好。

图12 MNSEID轴向力实测值与理论值对比(工况7，3 Hz)Fig.12 Comparisons of the MNSEID axial force between experimental and theoretical values (case 7, 3 Hz)

图13对比了MNSEID轴向力时程曲线和轴向力-位移关系曲线的实测值与理论值，其中理论曲线对应的MNSEID等效负刚度系数为14 730 N/m(基于最小二乘法拟合得到)。由图可知：MNSEID磁致负刚度力-位移关系曲线的线性拟合理论值与实测值吻合较好，进一步验证了MNSEID的“准恒定”磁致负刚度特征，与2.3节三维有限元仿真研究结论完全一致。

图13 MNSEID轴向力实测值与理论值对比(工况6，2 Hz)Fig.13 Comparisons of the MNSEID axial force between experimental and theoretical values (case 6, 2 Hz)

图14所示为MNSEID等效电涡流阻尼系数随永磁体组数及激振频率的变化规律。由图可知：MNSEID等效电涡流阻尼系数随激振频率的增大呈降低趋势；永磁体由2组变为4组时MNSEID等效电涡流阻尼系数增幅较大，而永磁体由4组变为6组、6组变为8组时MNSEID等效电涡流阻尼系数的增幅变小。主要原因：随着激振频率的增大，MNSEID电涡流趋肤效应和反抗磁场对电涡流阻尼的不利影响呈增大趋势；随着永磁体数量的增加，永磁体间耦合效应对电涡流阻尼的不利影响呈增大趋势。

图14 等效电涡流阻尼系数随永磁体组数及激振频率变化的规律Fig.14 Variations of the equivalent eddy-current damping coefficients of the MNSEID with the excitation frequencies and magnet numbers

图15所示为MNSEID等效磁致负刚度系数随激振频率的变化规律，由图可知：MNSEID等效磁致负刚度系数随激振频率变化基本保持不变，表明MNSEID磁致负刚度与频率不相关。

图15 MNSEID磁致负刚度系数随激振频率变化规律Fig.15 Variations of the magnetic negative stiffness coefficients of the MNSEID with the excitation frequencies

4 仿真与试验结果对比分析

表3对比了MNSEID等效惯性质量的仿真与试验结果，其相对误差均在10%以内。表4对比了MNSEID等效电涡流阻尼系数的仿真与试验结果，其相对误差均在15%以内。表5对比了MNSEID等效磁致负刚度系数的仿真与试验结果，其相对误差均在5%以内。综上所述，MNSEID的力学模型对表征MNSEID样机的力学特性具有较好的适用性。

表3 MNSEID等效惯性质量的仿真与试验结果对比(工况2)Tab.3 Comparisons of the simulation and experimental values of the MNSEID equivalent inertial mass (case 2)

表4 MNSEID等效电涡流阻尼系数的仿真与试验结果对比(工况15)Tab.4 Comparisons of the simulation and experimental values of the MNSEID equivalent equivalent eddy-current damping coefficient (case 15)

表5 MNSEID等效磁致负刚度系数的仿真与试验结果对比(工况5)Tab.5 Comparisons of the simulation and experimental values of the MNSEID equivalent negative stiffness coefficient (case 5)

5 结 论

(1)MNSEID是一种基于磁致负刚度力、电涡流阻尼力与惯性力设计的新型三元被动减振装置，其负刚度系数、等效电涡流阻尼系数和等效惯性质量的理论预测值与实测值吻合较好，表明MNSEID各项参数的理论、三维有限元仿真预测方法均可以满足设计要求，且建立的MNSEID力学模型具有较好的适用性。

(2)综合理论分析、三维电磁场有限元仿真与样机力学性能试验研究表明，MNSEID的磁致负刚度系数随激振频率的增大基本保持不变，而等效电涡流阻尼系数随激振频率的增大则呈现下降趋势。

(3)MNSEID表现出典型的“准恒定”磁致负刚度特征，与现有位移相关型负刚度阻尼器相比，MNSEID更易实现刚度参数的精准设计，且有望充分发挥负刚度效应对结构减振的耗能增效作用。