基于高斯展开法的周期声学黑洞宽频能量回收特性研究

2022-05-30宋婷婷

振动与冲击 2022年10期

宋婷婷，郑玲，邓杰

(1.重庆大学汽车工程学院，重庆 400044；2.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044)

声学黑洞作为一种新型的波动控制方法，在振动噪声控制、声波调控以及能量回收领域，受到国内外学者的广泛关注[1-2]。声学黑洞效应是通过改变结构阻抗，使弯曲波的相速度与群速度逐渐衰减。在薄板以及梁结构中，通常是对结构厚度进行幂律剪裁，使弯曲波的相速度在结构尖端急剧减小而无法发生反射，从而实现振动能量在尖端位置的聚集。

由于其结构特殊性，声学黑洞的振动响应很难获得解析解，这给声学黑洞的理论研究带来了较大的困难。针对这一问题，Tang等[3]提出一个半解析模型来分析嵌入声学黑洞结构的欧拉伯努利梁的振动响应。研究表明，半解析模型与有限元以及试验结果高度一致。邓杰等[4]采用Morlet小波作为半解析模型里的拟合函数，建立了一维声学黑洞梁的解析模型，通过分析梁上的能量密度分布，验证了尖端部分对于声学黑洞能量聚集效应的关键作用。曾鹏云等[5]采用相同的半解析模型，研究了一维圆锥形声学黑洞的能量聚集效应，并通过对比验证了圆锥形声学黑洞与楔形声学黑洞具有相似的振动抑制效果。为了更好地展现能量在声学黑洞结构中的传递过程，Wang等[6]建立了基于能量方程与Rayleigh-Ritz方程的半解析模型，对一维声学黑洞梁进行了功率流分析，验证了设置在黑洞尖端的阻尼层对声学黑洞效应的加强效果。黄薇等[7]也利用功率流分析方法对二维声学黑洞开展研究，并通过试验验证了声学黑洞结构对弯曲波的聚集效应。此外，学者们以工程实践为背景，将声学黑洞应用到了减振降噪领域。例如：刘波涛等[8]将声学黑洞与声学超结构相结合，实现了低频宽带的高效隔声；王小东等[9]为了弥补声学黑洞会削弱结构强度的局限性，将其以附加粘贴的方式引入直升机的后隔板，实现了驾驶舱内良好的降噪效果；赵业楠等[10]通过引入声学黑洞俘能器，使目标船舱室的噪声降低10 dBA。

由于声学黑洞结构具有振动能量的聚集效应，因此也被引入到了能量回收系统当中。此前，应用于板梁结构能量回收系统的压电建模架构，已被国内外学者广泛研究[11-12]。例如：汪恒等[13]将嵌入声学黑洞结构的薄板引入到压电俘能器中，通过在时域上与均匀板的比较，验证了声学黑洞结构对提高系统能量转换效率的有效性；Zhao等[14]通过在单根梁上嵌入多个声学黑洞结构，弥补了宽带激励下需要确认回收位置的限制，从结构优化上实现了能量的宽频回收；梁玉坤[15]构造了上下对称的复合声学黑洞梁结构，获得了比传统声学黑洞更好的结构刚度与强度，并探究了压电材料参数对于能量回收的影响；Ji等[16]考虑到了声学黑洞的波长压缩特性，为了避免在压电材料中形成正负电荷相互抵消的情况，采用宽度远小于最小半波长的微压电矩阵，评估了声学黑洞量在瞬态以及稳态响应下的能量回收性能；Deng等[17]基于能量法建立了双压电晶片声学黑洞悬臂梁的半解析模型，并研究了截断厚度、压电位置及厚度等系统参数对于能量回收性能的影响；Zhao等[18]以嵌入了3个二维声学黑洞结构的薄板为研究对象，进行了能量回收试验，通过与均匀薄板的对比试验，验证了声学黑洞结构对能量回收的优化效果。

由上述研究可以看出，单个声学黑洞通常只能在某些频率点上展现出能量回收的提升效果，而周期声学黑洞结构却能够通过压缩共振峰使其在宽频范围内实现能量回收。但目前却缺乏相关研究揭示周期化、几何构型等系统参数对于能量回收共振峰的调控机理。针对这些问题，本文以周期声学黑洞梁为研究对象，对耦合压电晶片的声学黑洞结构建立了半解析计算模型，依据计算结果分析了系统输出功率及能量采集效率，揭示了周期数、黑洞半径、中心截断以及幂指数对于能量回收效应的影响机理，为周期声学黑洞的宽频能量回收奠定理论基础。

1 耦合压电层的能量回收数学建模

1.1 声学黑洞理论基础

传统的一维声学黑洞结构，其黑洞区域内的截面厚度与长度关系按幂函数变化，即h(x)=εxm(m≥2)。利用几何声学求解弯曲波在黑洞区域的弯曲振动方程时，近似假设方程的解可以表达为如下的复数形式

w(x)=A(x)eiΦ(x)

(1)

式中，A(x)与Φ(x)=kpφ(x,y)分别为结构挠度变化的幅值与相位，kp为均匀部分的波数，φ(x,y)为程函。将假设的解带回波动方程并令实部与虚部均等于零，即可得到

k(x)=121/4kp1/2(εxm)-1/2

(2)

式中，k(x)为变截面处的弯曲波波数。相位则可以写成梁上任意一点到黑洞尖端对k(x)的积分，即

(3)

由式(3)可知，当x=0且m≥2时，相位将趋于无穷大，也就是说，弯曲波从入射端传递到黑洞尖端所需的时间是无穷大，即弯曲波无法传播到尖端边界，也就无法在边界发生反射。因此，结构的振动能量被集中在了黑洞结构尖端，在此处布置能量回收器件，则可以高效的将振动能量转换为电能。

1.2 基于高斯展开的耦合压电层能量回收模型

为了研究各结构参数对于能量回收效率的影响机理，基于高斯展开法，建立耦合压电材料的声学黑洞能量回收半解析模型。其中，单胞声学黑洞结构的几何模型，如图1所示。

图1 单胞声学黑洞结构示意图Fig.1 Schematic diagram of the structure of a single cell acoustic black hole

基于欧拉-伯努利梁假设，梁结构的位移场可以表示为

(4)

式中：[u,w]为梁上任意位置在x方向和z方向的位移；w(x,t)为梁上中面在不同时刻的挠度。其中，挠度w(x,t)可以表示为与位置有关的形函数φ(x)和与时间有关的权重系数a(t)的叠加形式

(5)

为了准确表示系统的质量及刚度矩阵，需要寻找一个合适的基函数去拟合梁的挠度曲线。而高斯函数由于其无限可导，且便于积分的特点，能够适应由于黑洞边缘而急剧变化的弯曲波波数。因此，为了提高拟合精度与计算速度，通过在高斯函数g(x)=exp[-x2/2]中引入平移因子与伸缩因子来拟合形函数φ(x)，表示为[19]

φi=2pi/2exp[-(2pix-qi)2/2],∀i=1,…,N

(6)

式中：pi为高斯函数的伸缩因子；qi为平移因子。其中，伸缩因子决定着模型的求解精度与求解速度，取值越大，计算精度则越高，但计算时间也越长。伸缩因子的取值范围所需要满足的基本条件是，它的最小值需要与梁在x方向上的尺寸相匹配[20], 因此，伸缩因子的取值范围则为

pi=ceil(log28/Lunit)

(7)

而平移因子qi决定着质量矩阵与刚度矩阵的维度，其取值范围由伸缩因子与结构尺寸共同决定，一般为

qi=[-3+floor(-2pixleft),3+ceil(2pixright)]

(8)

式中：Lunit为需要计算的梁的全长，这里针对单胞结构即为单胞的长度；xleft与xright分别为梁的积分上下限，即梁的左右端点坐标；floor(x)与ceil(x)分别为向上取整与向下取整运算。

单胞结构间的连续性条件应该满足两单胞在连接处的位移、转角、弯矩相同，剪切力相反，即表示为

wn(xb,t)=wn+1(0,t)

(9)

(10)

(11)

w‴n(xb,t)=-w‴n+1(0,t)

(12)

式中，wn(xb,t)，wn+1(0,t)分别为前、后两个单胞连接处在t时刻的位移，各阶导数则依次表示转角、弯矩与剪切力。

基于能量法，可以建立系统的动能K、势能U、电能We和外力功Wf方程。系统的动能表示为梁与压电片动能的集合

(13)

式中：ρb，ρp分别为梁与压电片的密度；M为梁与压电片总的质量矩阵。势能则分为梁、边界弹簧与压电片3个部分，其中梁的势能为

(14)

对于压电片的势能计算，需要引入压电材料的本构方程。针对薄梁的线性压电本构简化方程[21]为

(15)

(16)

式中：Kρ为压电片的刚度矩阵；Θ为机电耦合向量。

在梁的左端加载两个刚度可调的边界弹簧，分别为平移弹簧与扭转弹簧，通过给边界弹簧赋予不同的刚度条件，来起到模拟多种边界条件的作用。边界弹簧的弹性势能表示为

(17)

因此系统的总势能表示为

(18)

式中，K=Kb+Kp+Kedge为梁、压电片以及边界弹簧的总刚度矩阵。压电片中产生的电能表示为

(19)

式中，Cp为压电片的电容。系统的外力功可以表示为作用在xf位置上的机械外力f(t)与电压Vp和电荷q的关系

Wf=f(t)w(xf)+Vpq=aTf+Vpq

(20)

最后，拉格朗日算子可表示为L=K-U+We+Wf，分别将式(13)、式(18)、式(19)、式(20)代入拉格朗日算子可得

(21)

拉格朗日机电耦合方程为

(22)

将式(21)代入式(22)求导计算得到

(23)

(24)

式中，R为能量采集电路中的等效电阻。

(25)

2 结构参数对能量回收特性的影响

为了便于能量回收功率的计算，将周期声学黑洞梁的左右边界均作自由边界处理，取幅值为1 N的激励力施加在梁结构的左端径向方向，并将每一个单胞声学黑洞的能量回收电路简化为一个阻值为100 Ω的负载电阻，其结构示意图如图2所示。

图2 周期声学黑洞能量回收示意图Fig.2 Schematic diagram of energy harvesting of periodic acoustic black hole

结构中梁与压电层的几何参数与材料属性，分别如表1和表2所示。为探究各结构参数对于能量回收的影响，分析不同周期数N、黑洞半径rabh、幂指数m以及中心截断ht等情况下结构的稳态响应。其中，将黑洞区域与均匀区域交界点代入黑洞厚度分布函数，即

hb=ht+ε(x-rabh)m

(28)

由式(26)可得

(27)

因此，幂变系数ε作为结构函数中的因变量，随着黑洞半径rabh、幂指数m以及中心截断ht的变化而变化。

表1 单胞声学黑洞梁模型参数Tab.1 Parameters of the black hole beam

表2 单胞压电层模型参数Tab.2 Parameters of piezoelectric layer

2.1 周期数对于能量回收特性的影响

在单胞几何参数恒定的情况下，通过更改周期数N以研究周期化程度对于压电能量回收效应的影响。周期数分别为1，5，10，20时声学黑洞梁的能量回收功率图，如图3所示。图3中，取对数时的参考值为Pref=1×10-2W(其余功率图也采取相同的对数参考值)。

图3 不同周期数下周期声学黑洞能量回收功率Fig.3 Energy harvesting power of periodic acoustic black holes with different periods

由图3可以看出，在1～5 000 Hz的分析频段内，回收功率峰值密集分布区域集中在如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ这5个频段内。周期20的声学黑洞梁回收功率与单胞能带结构图的对比，如图4所示。图4中，深色频段即为无限周期预测的结构通带范围。由图4可以看出，回收峰值密集分布的5个频段对应于结构中的5个结构通带。之所以在通带范围能够实现更高的回收功率，是因为在通带范围之外的禁带区域内，弯曲波传递受阻，结构振动被极大的抑制，因此回收功率从峰值开始剧烈下降；而在通带频率范围以内，波动能量被大量聚集在了这一频段内，压电材料随梁结构剧烈形变，回收功率明显提升。由图4可知，在频段Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ内，周期声学黑洞的回收功率远高于单一的声学黑洞结构。而在频段Ⅳ内，虽然单一声学黑洞在3 234 Hz左右的回收功率更高，但周期声学黑洞利用结构通带，在更宽的频率范围内实现了较高的回收功率。由此可见，利用周期性产生的结构通带，可以将原本聚集在共振频率周围的能量分散至通带频率范围内，从而实现振动能量的宽频回收。

图4 能带结构与回收功率对比图Fig.4 Comparison chart of energy band structure and harvesting power

为了进一步说明周期数对于能量回收效果的影响，定义各个频段内的峰值间隔Δfi的计算式为

Δfi=(fimax-fimin)/n

(28)

式中：fimin，fimax为i频段内第一个与最后一个回收峰值所对应的频率；n为该频段内的峰值个数。

由于分析频段的上限设置为5 000 Hz，导致频段Ⅴ未展示出完整的峰值频段，因此平均峰值间隔的均值计算只纳入前四段峰值频段，各频段内平均峰值间隔如表3所示。

表3 各频段平均峰值间隔Tab.3 Average peak interval of each frequency band

结合图3与表3可以看出，当周期数为1时，声学黑洞结构仅在外界激励频率为155 Hz，3 234 Hz时能够形成回收峰值；随着结构周期数的增多，在通带频率范围内形成的峰值个数也在增多，且全频段内的平均峰值间隔也在降低，但当周期数增加为20时，全频段内的平均峰值间隔仅为36 Hz，低于N=5时的95.75 Hz与N=10时的56.75 Hz。此外，在各通带范围内形成的回收功率波峰与波谷的差值，也随着周期数的增多而降低，也就是说，此时回收功率受外界激励频率的影响波动更小，即在实现宽频能量回收的同时，输出功率的稳定性也更好。

2.2 幂指数对于能量回收特性的影响

在黑洞半径以及中心截断厚度一定的情况下，幂指数决定了声学黑洞厚度变化的快慢。如图5所示，幂指数越大，黑洞区域的厚度变化越剧烈，也就是说，在相同坐标系下的同一截面位置，幂指数越大，声学黑洞梁的厚度越小，即h2>h3>h4。

图5 变幂指数声学黑洞结构示意图Fig.5 Schematic diagram of the structure of acoustic black hole with variable power

图6为10周期声学黑洞结构在幂指数分别为2、3、4情况下，各结构的能量回收功率曲线。

图6 不同幂指数下周期声学黑洞能量回收功率Fig.6 Energy harvesting power of periodic acoustic black hole with different power exponent

由图6各条曲线的频率分布可以看出，各个峰值密集分布频段内的峰值个数不会随着结构的幂指数变化而变化；结合局部频段的放大图可以明显看出，随着幂指数的增大，各频段内的峰值间隔明显缩短，结合峰值个数保持一致的现象，可知各峰值区间的长度随着幂指数的增大而缩短；此外，各峰值频段也呈现出明显的向低频移动的趋势。由图7的能带结构对比图，同样可以看出相同的趋势，即随着幂指数的增大，各条结构通带均发生不同程度的压缩，并向低频方向移动。

图7 不同幂指数的周期声学黑洞结构能带图Fig.7 Energy band of periodic acoustic black hole structure under different power exponents

图8 不同幂指数下周期声学黑洞能量回收效率Fig.8 Energy harvesting efficiency of periodic acoustic black holes with different power exponent

由能量采集效率图可知，在第Ⅲ频段内，能量采集效率呈现出幂指数越大，回收效率越大的规律；在一维梁结构中，弯曲波的波长计算式为

(29)

式中：h为梁的局部厚度；f为外界激励频率；E，ρ，μ分别为材料的杨氏模量、密度以及泊松比。

由式(29)可知，在相同激励频率下，局部位置厚度越小，弯曲波波长就越小。即幂指数越大的情况下，相同位置截面的厚度就越小，导致弯曲波波长在黑洞区域被更快的压缩，此时的弯曲波的半波长小于压电片长度，因而不会在压电片中产生正负电荷相互抵消的情况，从而获得更高的能量采集效率。在低频段内，弯曲波波长较短，无法在压电片中产生足够的形变，因此能量采集效率较低；而在高频段，弯曲波被压缩至较小的波长，使压电片中产生正负电荷相互抵消，从而降低了能量采集效率。因此，总的来说，能量采集效率随着幂指数的增大而减小，但由于半波长截止效应的存在，使在某一频段内的能量采集效率会随着幂指数的增大而增大，这一频段范围由材料属性与结构厚度共同决定。

2.3 中心截断对于能量回收特性的影响

与幂指数对于结构的影响相似，在黑洞半径恒定的情况下，改变中心截断厚度，也会改变黑洞区域的厚度变化幅度，中心截断越小，厚度变化得越快，如图9所示，在相同坐标轴下同一截面处，中心截断越大，声学黑洞梁的厚度越大，即h05>h02>h01。

图9 变中心截断声学黑洞结构示意图Fig.9 Structure of acoustic black hole with variable truncated center

中心截断厚度分别为0.1hb，0.2hb以及情况下的10周期声学黑洞能量回收功率曲线，如图10所示。不同中心截断的周期声学黑洞能带结构对比图，如图11所示。

由图10和图11可以看出，当中心截断为均匀部分厚度一半时，已无明显的峰值聚集现象，即使此时的通带范围极宽，几乎覆盖了全频段，但由于中心截断过大，导致黑洞中心部分的反射系数较大，此时的声学黑洞结构已不具备对能量的聚集效应。而当中心截断由0.1hb加厚到0.2hb时，两功率曲线变化趋势相似，幅值差异较小，仅在频域范围内，出现了曲线的平移与压缩。在能带结构中的表现，就是各通带范围加宽，且各频带均向高频移动。由此可得，随着中心截断的加厚，回收峰值频段会向高频移动，且频段长度有小幅的拓宽，回收波峰波谷的功率差加大，周期结构的回收功率对于外界激励频率的敏感性加大。

图10 不同中心截断下周期声学黑洞能量回收功率Fig.10 Energy harvesting power of periodic acoustic black holes with different truncation centers

图11 不同中心截断的周期声学黑洞结构能带图Fig.11 Energy band of periodic acoustic black hole structure under different truncation centers

2.4 黑洞半径对于能量回收特性的影响

在中心截断厚度ht=0.1hb、幂指数m=2以及单胞长度恒定的情况下，取黑洞半径分别为单胞长度的1/4，1/2，3/4作为分析工况，其厚度变化示意图如图12所示。从图12可以看出，黑洞半径的变化不仅会直接影响黑洞区域与均匀部分的占比，也间接使黑洞区域的厚度发生变化，黑洞半径越大，厚度变化越缓慢。

图12 变黑洞半径声学黑洞结构示意图Fig.12 Schematic diagram of acoustic black hole structure with variable radius

各分析工况下的声学黑洞结构回收功率图与能带结构对比图，分别如图13、图14所示。从计算结果来看，随着黑洞半径的增大，在低频部分的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ峰值频段以及其对应的能带范围，均向低频移动，频段长度也发生一定的压缩。此外，当黑洞占比达单胞长度的3/4时，回收功率曲线在2 000 Hz以后的高频段内出现了连续分布的回收峰值，且波峰与波谷对应的幅值相对稳定，在较宽的频率范围内均高于其余两种工况。从能带结构图中也可以看出在2 000 Hz之后的高频范围内出现了两段覆盖范围很宽的结构通带，也就是说，此时结构在高频区域能够展现出更稳定的高效能量回收效果。

图13 不同黑洞半径下周期声学黑洞能量回收功率Fig.13 Energy harvesting power of periodic acoustic black hole with different radius

表4为计算得到的不同黑洞半径情况下的能量转换效率。由表4可知，即使较大的黑洞半径能够在高频段实现输出功率更高更稳定的能量回收效果，但从全频段内的能量转换效率来看，虽然总输出电能增多，但能量转换效率仍然有所降低。

图14 不同黑洞半径的周期声学黑洞结构能带图Fig.14 Energy band of periodic acoustic black hole structure under different radius

表4 全频段内能量转换效率Tab.4 Energy conversion efficiency in full frequency band

3 试验验证

基于周期声学黑洞结构的压电能量回收试验系统的实物图，如图15所示。试验系统由三部分组成，分别为激励单元、信号采集单元与数据处理单元。由信号发生器产生固定频率的正弦信号，经过功率放大器调节增益之后，传递到激振器中，驱动激振器产生谐振力并作用在试验梁上。试验梁与激振器的连接方式如图16所示，而梁的另一端则采用悬挂系统模拟自由边界条件。当激振器发出的正弦激励作用在试验梁上时，会在结构中产生弹性波，进而在粘贴在梁上压电片中产生电势。通过LMS采集卡测量连接在压电片上的负载电阻的电压，就可以得到系统在单一频率作用下的稳态回收功率。为了满足振动试验所需的结构强度，声学黑洞梁与均匀梁的材料均选为铝合金，其结构如图17所示，梁全长为1 m，宽度为20 mm，高度为10 mm。对于声学黑洞梁的结构单胞，其单胞长度为200 mm，黑洞半径为100 mm，非均匀部分的厚度与位置的关系式满足h(x)=1.406 3×10-5x2+1,(0≤x≤80)，式中x代表到单胞结构中心的距离。压电陶瓷片的材料为PZT-5，结构尺寸为60 mm×20 mm×0.2 mm，在声学黑洞梁上的各个单胞结构中心均粘贴有一块压电陶瓷片，并在均匀梁的相同位置上布置了同等数量的压电材料。

在保证功率放大器增益恒定，且负载电阻均为100 Ω的情况下，在1～1 000 Hz的频段范围内，以25 Hz为步长调整激励频率，分别测量每一块压电片在同一激励频率下的稳态输出电压，并计算其输出功率，最后将各压电片的稳态输出功率线性相加，即得到总的输出功率。两根试验梁在1 000 Hz以内的回收功率对比图，如图18所示。

图15 压电能量回收试验系统图Fig.15 Piezoelectric energy harvesting experimental system diagram

图16 试验梁与激振器连接图Fig.16 Connection diagram of test beam and vibration exciter

图17 声学黑洞梁与均匀梁结构对比图Fig.17 Comparison of acoustic black hole beam and uniform beam structure

图18 声学黑洞梁与均匀梁回收功率对比图Fig.18 Comparison of harvesting power between acoustic black hole beam and uniform beam

由图18可以看出，在1 000 Hz以内，通过无限周期理论推导出的试验梁结构通带在0～66 Hz，174～516 Hz这两个频率范围。而在第一个通带内，由于采样频率间隔较大，所以周期声学黑洞梁未显示出足够的回收峰值，但与均匀梁相比，其回收功率也优于均匀梁。这是因为在低频部分，声学黑洞的振动幅度较大，使压电片产生了较大的形变，因此其输出功率大于均匀梁；在第二个通带范围内，就可以明显看出，周期声学黑洞在结构通带频率范围内，回收功率峰值相较于均匀梁更多，且平均回收功率也高于均匀梁，在更宽的频率范围内实现了能量的高功率回收。将试验结果与计算结果(见图3)进行对比，周期声学黑洞利用结构通带实现宽频能量回收的效果基本保持一致。