色关联噪声激励可控双稳态势模型的非线性共振研究

刘 健， 胡 冰， 丁晓剑， 谯自健， 臧传来

(1. 南京财经大学 信息工程学院，南京 210023； 2. 南京邮电大学 现代邮政学院，南京 210003；3. 宁波大学 机械工程学院，浙江 宁波 315211； 4. 东京大学 电气工程与信息学院，东京 113-8656)

噪声增益效应普遍存在于非线性系统中, 学者们[1-6]对噪声诱导布朗粒子逃逸问题的研究也越来越多, 并且已经得到理论推导和试验验证的重大发展, 关联噪声激励的非线性动力学被广泛应用于机械寿命预测、生物种群增长、化学振荡反应、信号估计与检测、水下声呐探测等领域, 利用噪声提升系统输出响应被广义上表述为振动共振现象。特别地, 研究布朗粒子的随机运动来刻画非线性系统的动力学特征, 利用平均首通时间指标定量地评价粒子在势阱间的跃迁过程。刘广凯等[7]研究了过阻尼双稳态系统中正弦中频信号的随机共振提取问题, 通过最优系统参数的选取来匹配背景加性高斯白噪声从而显著提升信号接收性能。Fiasconaro等[8]分析了受两种独立的乘性和加性高斯白噪声驱动下的肿瘤增长模型的稳定性, 发现两类不同噪声共同作用可以增强模型稳定性。郭永峰等[9]研究了互关联的乘性和加性高斯白噪声激励下分段线性双稳系统的非平衡相变问题, 噪声间的耦合参数改变了稳态概率密度函数曲线峰值分布及诱导系统共振现象。

由于许多物理系统需要考虑各种噪声源干扰以及多个噪声源之间的关联性,一些学者们[10-13]考虑了从单一噪声源到多个噪声源, 甚至从噪声间的独立性到互相关性来研究非线性系统的动力学共振行为。Badzey等[14]从加性高斯白噪声驱动下的双稳态硅纳米机械振子系统中观察到共振现象, 发现通过添加白噪声可以有效地实现信号强度的放大, 纳米机械系统中的共振效应对实现可控高速纳米机械记忆单元具有重要作用。运用统一色噪声理论, Cao等[15]推导出了由互关联的乘性高斯色噪声和加性高斯白噪声驱动的双稳态势模型的稳态概率密度表达式。Liang等[16]推导了色关联的色噪声激励的非线性动力学系统的近似Fokker-Planck方程。Luo等[17]分析了色关联的乘性高斯色噪声和加性高斯白噪声共同作用下过阻尼双稳态系统的输出信噪比, 发现色关联性可以诱导系统发生双共振现象。靳艳飞等[18-19]分别讨论了仅有色关联噪声激励和色噪声与弱信号共同激励下分段非线性双稳态模型的共振现象。Xu[20]研究了色关联噪声在线性项和高阶项下扰动的随机逻辑模型的相变现象, 分析了噪声的关联性对P-分岔的影响。

上述关于非线性系统动力学的研究侧重点在于噪声干扰源上, 然而物理系统中的势结构对系统共振作用也是至关重要的, 很多学者致力于势模型或它们的变形形式来研究非平衡相变, 势阱深度、宽度以及势阱壁的陡峭程度等这些因素均可改变力平衡方程, 造成势力的微小偏差, 产生有益的动力学现象。Alfonsi等[21]和Li等[22]在欠阻尼双稳态随机共振系统中分别讨论了阱内共振和阱间共振现象, 结果表明阱内共振可以与经典阱间共振同时存在于非线性系统之中。赖志慧等[23]在三稳态势模型中考虑噪声和低频谐波信号共同驱动下系统的输出动态响应, 并从稳态解曲线的角度阐述了噪声诱导的三稳系统随机共振机理。Zhang等[24]研究了布朗粒子在Landau型势结构中的随机运动, 发现功率谱放大曲线呈现出非典型随机共振现象。此外, Arathi等[25]通过固定右半部分势结构来构造一种新型非对称势模型, 并验证该新型非对称Duffing振荡器中的系统共振现象。进一步地, Qiao等[26]证实了这种新型可变势阱双稳态势结构在微弱故障特征信息提取上的功效。此外,刘健等[27-28]分别讨论了高斯白噪声和时延以及非高斯噪声激励下的非对称双稳态势模型的动力学共振现象。

尽管多种类型随机扰动噪声源和新型势结构模型被大量研究用于探讨非线性动力学共振现象, 但对于对称双稳态势模型中阱深和阱宽对粒子跃迁影响的研究甚少, 此外, 噪声通常是色关联的。鉴于此, 本文考虑由色关联的乘性色噪声和加性白噪声共同激励的可控双稳态势模型中系统粒子的跃迁行为, 分析了在阱深和阱宽可变的情形下噪声相关参数对粒子平均首通时间的影响。本文的结构安排如下: 第二部分给出所研究的可控双稳态势模型并分析可控势阱因子对阱深和势阱宽的控制作用; 第三部分基于概率分布密度函数的演化方程推导出粒子平均首通时间的解析表达式; 第四部分分别在阱深和势阱宽两种情形下讨论不同参数对平均首通时间的影响; 第五部分总结全文。

1 可控双稳态势模型

本文考虑一种反映势阱深度和势阱宽度可控的双稳态势模型, 通过调整可控势阱因子来改变系统势阱结构, 从而研究势阱深度和势阱宽度的改变对随机共振功效的影响。

色关联的乘性色噪声和加性白噪声共同激励下的可控双稳态势系统可由下列随机微分方程表示

(1)

式中，ε(t)和η(t)分别为色关联的乘性高斯色噪声和加性高斯白噪声, 其统计特性为

〈ε(t)〉=〈η(t)〉=0

(2)

(3)

〈η(t)η′(t)〉=2αδ(t-t′)

(4)

(5)

式中：D和α分别为乘性色噪声和加性白噪声的强度；τ1为乘性色噪声自相关时间；λ和τ2分别为两噪声间的互关联强度和互关联时间, 当-1<λ<0时, 两噪声之间表示负关联, 当0<λ<1时, 两噪声之间表示正关联, 当λ=0时, 两噪声之间关联性消失;t与t′为两个不同时刻。

可控双稳态势函数V(x)为

(6)

2 平均首通时间

根据随机Liouville方程和Van-Kampen引理(P(x,t)=〈δ(x(t)-x)〉), 可得概率分布密度函数的演化方程, 即系统的Fokker-Planck方程为

(7)

根据统一色噪声近似理论, 将式(1)中非马尔科夫过程科转化成一维马尔科夫过程

(8)

式中,Γ(t)为白噪声且有如下统计特性

〈Γ(t)〉=0,〈Γ(t)Γ(t′)〉=2Dδ(t-t′)

(9)

和

(x,τ1)=1+2τ1x2

(10)

利用Novikov理论、Fox方法和式(8), 可以将式(1)的渐近Fokker-Planck方程写为

(11)

根据式(6)和式(8), 可以将式(11)的渐近Fokker-Planck方程改写为

(12)

其中,

(13)

因此, 与式(1)相对应的Fokker-Planck方程可表示为

(14)

其中,

(15)

(16)

其中，

(17)

通过式(15)和式(16)对式(14)进行求解, 可以得到系统的稳态概念密度函数为

(18)

式中，φ(x)为广义势函数, 计算可得

(19)

其中,

稳态概率密度函数在不同可控势阱因子k下的变化曲线,如图1所示。其中，实线为利用Van-Kampen引理、Novikov理论和Fox方法推导的式(18)中理论结果, 圆圈为直接模拟求解随机微分方程式(1)所得结果。为了验证理论推导的有效性, 不失一般性, 我们分别选取可变阱深和可变阱宽作为示例进行分析。

图1 稳态概率密度函数在不同可控势阱因子k下的变化曲线(τ1=0.2,τ2=0.3,λ=0.2,α=0.003,D=0.08)Fig.1 The steady-state probability density function Pst as a function of the variable x under different controllable potential-well factor k with τ1=0.2,τ2=0.3,λ=0.2,α=0.003,D=0.08

在可控势阱深度情形下, 图1(a)描述了稳态概率密度函数在可控势阱因子k=0.35时的曲线, 可以发现随着变量x从-5～5变化, 稳态概率密度函数呈现出关于x=0两边对称的双峰。同时, 左边峰值明显高于右边峰值, 这说明布朗粒子位于左势阱的概率要高于位于右势阱的概率。稳态概率密度函数在x=0时也趋近于零, 这是由于粒子在势垒下处于极度不稳定状态, 要向左右势阱跃迁。图1(a)中的理论推导结果和模拟仿真结果相吻合, 这也证实了理论推导过程的有效性。

在可控势阱宽度情形下, 图1(b)描述了稳态概率密度函数在可控势阱因子k=1.45时的曲线, 可以发现随着变量x从-5～5变化, 稳态概率密度函数同样呈现出关于x=0两边对称的双峰, 左峰比右峰更突出, 这与图1(a)类似。然而, 图1(b)中峰值高度均低于图1(a)中峰值高度, 并且峰值宽度大于图1(a)中峰值宽度, 这是由于可控势阱因子k在两种可控势阱情形下的作用不同, 在可控势阱深度中系统参数为A=B=k而可控势阱宽度中系统参数为A=1/k2和B=1/k4, 通过可控势阱因子k可实现对阱深和阱宽的有效控制, 从而探究非线性系统丰富的动力学行为。图1(b)中的理论推导结果和模拟仿真结果相吻合, 同样验证了理论推导过程的准确性。图1中可控势阱因子的取值使左势阱结构变得更浅更缓, 这导致了稳态概率密度函数中左峰占据主导地位。

通常, 非线性动力学特征被瞬态和稳态这两种性质描述, 其中布朗粒子的平均首通时间被用于表征瞬态特性, 来研究系统状态间转换的物理内在机理。在可控双稳态势模型中, 平均首通时间刻画了一个势阱稳态转化至另一个势阱稳态的特征。根据最速下降法, 可得粒子由x-所在的势阱跃迁到x-所在的势阱所需要的平均首通时间为

(20)

其中,

(21)

(22)

粒子由x+所在的势阱跃迁到x-所在的势阱所需要的平均首通时间为

(23)

其中,

(24)

(25)

3 可控双稳态势模型共振分析

为了定量研究两种不同类型可控对称双稳态势模型下的布朗粒子平均首通时间, 根据式(20)和式(23)可知, 粒子从势阱逃逸出去至另一势阱所需的时间与广义势函数有关, 因而我们将分别考虑布朗粒子从左势阱(x-)跃迁至右势阱(x+)所需要的平均首通时间(MFPT-)与布朗粒子从右势阱(x+)跃迁至左势阱(x-)所需要的平均首通时间(MFPT+)。不失一般性, 本文设置模型参数ω0=β=1,k用于控制双稳态势模型的可变阱深和可变阱宽。

3.1 可控势阱深度情形

在可控势阱深度情形下，平均首通时间作为乘性色噪声强度D和加性白噪声α的函数随不同可控势阱因子k的变化情况, 如图2所示。图2中：图2(a)和图2(b)分别为布朗粒子从左势阱跃迁至右势阱的MFPT-； 图2(c)和图2(d)分别为布朗粒子从右势阱跃迁至左势阱的MFPT+。观察图2(a)可知, MFPT-随着D的增加呈现出先增后减的非单调趋势, 即乘性噪声可以诱导共振现象。随着k的增大, 平均首通时间的最大值也在增加, 可控势阱因子的增加带来了势阱深度的加深, 从而粒子从左势阱跃迁到右势阱所需时间也会随之增加。然而, 图2(c)给出MFPT+随着D的增大而单调下降并最终趋于极小值。观察图2(b)可知, MFPT-随着α的增加而单调下降, 即加性噪声加速了布朗粒子的跃迁过程。观察图2(d)可知, MFPT+随着α的增加呈现出先缓慢降低然后快速增加的非单调现象, 即存在反共振现象。对比图2(b)、图2(d)与图2(a)、图2(c)可以发现, 乘性噪声、加性噪声及可控势阱因子对于粒子逃逸过程的影响取决了粒子初始位置, 即MFPT-和MFPT+在相同外部参数条件下展现出不同的动力学特征。此外, 随着乘性噪声强度和加性噪声强度的持续增加, 平均首通时间趋于统一和发散, 乘性噪声对于布朗粒子跃迁过程具有鲁棒性。

图2 平均首通时间在不同可控势阱因子k下随着乘性色噪声强度D的变化曲线(τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003)和加性白噪声强度α的变化曲线(τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08)Fig.2 The MFPT as a function of multiplicative colored noise intensity D with τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003 and as a function of additive white noise intensity D under different controllable potential-well factor k with τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08 under different controllable potential-well factor k

图3给出了平均首通时间作为可控势阱因子k随着不同自关联时间τ1、互关联时间τ2和强度λ的变化情，如图3所示。图3中：图3(a)、图3(b)和图3(c)分别为布朗粒子从左势阱跃迁至右势阱的MFPT-; 图3(d)、图3(e)和图3(f)分别为布朗粒子从右势阱跃迁至左势阱的MFPT+。对于不同的自关联时间τ1, 图3(a)中说明了平均首通时间随着可控势阱因子的增大而增大, 而图3(d)指出平均首通时间呈现先减后增的非单调趋势, 即反共振现象。在不同的自相关时间τ1下存在一个合适的k使平均首通时间最小, 随着k的持续增大, 平均首通时间也将急剧上升, 这就说明更大的可控势阱因子抑制了布朗粒子的逃逸活动。此外, MFPT+的反共振谷值随着τ1的增加而增大, 峰值所对应的k却在减小。通过图3(b)和图3(e)可见, 平均首通时间随着k的增大而持续增大, 互关联时间τ2对粒子跃迁行为的影响较小, 在相同可控势阱因子下, 较大的互关联时间相对更容易激发布朗粒子的逃逸过程。从图3(c)可知, MFPT-在不同λ下随着D的增加呈现不同变化趋势, 当关联强度λ≤0时, MFPT-随着k增大展现出单调递增的变化; 当关联强度λ>0时, MFPT-随D增大呈现先增后减的非单调趋势, 即存在合适乘性噪声强度能最大限度地提升系统稳定性。与图3(c)不同之处在于, 图3(f)中负关联强度下平均首通时间随着可控势阱因子的增大呈现出先缓慢增加后急剧下降的非单调变化, 同时, 随着λ由零向正不断增大, 布朗粒子在两势阱间跃迁的平均首通时间随之增大, 当λ数值较大(λ=0.9)时, MFPT+随着k增大先缓慢减小后急剧增大, 即反共振现象。相对于MFPT-情形而言,λ的变化对MFPT+的影响要更明显, 也指出布朗粒子在左右不同势阱开始跃迁的速率是不同的。此外, 随着k增至一定数量级(k>10), 平均首通时间都会趋于极大或极小数值, 说明可控势阱因子对布朗粒子平均首通时间的重要作用。对比图3(a)、图3(c)和图3(d)、图3(f), 自相关时间和互关联时间的变化对MFPT+和MFPT-的影响不同, 这是由于关联时间参数对势结构中左右势阱的影响不同所致, 得出平均首通时间与布朗粒子的初始逃逸位置有关。

图3 平均首通时间随着可控势阱因子k变化曲线在不同自关联时间τ1下的变化(τ2=0.2,λ=0.9,α=0.002,D=0.001 5)和在不同互关联时间τ2下的变化(τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08)和在不同互关联强度λ下的变化(τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002)Fig.3 The MFPT as a function of controllable potential-well factor k versus different τ1 with τ2=0.2,λ=0.9,α=0.002,D=0.001 5 and versus different τ2 with τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08 and versus different λ with τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002

3.2 可控势阱宽度情形

在可控势阱宽度情形下平均首通时间作为乘性色噪声强度D和加性白噪声α的函数随不同可控势阱因子k的变化情况,如图4所示。图4中：图4(a)和图4(b)分别为布朗粒子从左势阱跃迁至右势阱的MFPT-；图4(c)和图4(d)分别为布朗粒子从右势阱跃迁至左势阱的MFPT+。从图4(a)可知, MFPT-在不同k下随着D的增加呈现先增后减的非单调趋势, 乘性噪声抑制布朗粒子的逃逸速率并增强系统稳定性, 即共振现象。随着k的增大, 共振峰位置向左移动, 与共振峰所对应的乘性噪声强度也随之减小。图4(b)给出了MFPT+在k下随加性噪声的变化, MFPT+随着α的增加而单调递减, MFPT+在较小k下下降趋势显著, 在较大k下缓慢下降, 这也说明了大可控势阱因子对加性噪声诱导下的粒子跃迁行为具有鲁棒性。观察图4(c)可知, MFPT-随着D的增大而单调下降, 乘性噪声加速了粒子跃迁过程, MFPT-随着k的增加而减小, 可控势阱因子加速粒子跃迁过程。由于可控势阱因子的增加带来了势阱深度的增加, 也带来了陡峭的势阱壁结构, 从而粒子从右势阱跃迁到左势阱所需时间将会减小, 这与图4(a)中现象不太一致,也说明了平均首通时间和粒子初始跃迁位置以及可控势阱因子都有紧密关系。从图4(d)可知, 平均首通时间随着α的增大呈现出先缓慢减小后急剧增大的非单调过程, 即反共振效应。随着k的增大, 反共振谷值位置向右移动, 平均首通时间递减。对比图4(a)和图4(d)以及图4(b)和图4(c), 可以发现平均首通时间随噪声强度的变化趋势完全相反, 证实了可控势阱宽度和可控势阱深度对粒子平均首通时间影响的不同。图4与图2中平均首通时间变化趋势大致相同, 但可控势阱宽度因子比可控势阱深度因子对于粒子跃迁过程的影响要更强一些。相对于加性噪声诱导平均首通时间的反共振现象, 我们要利用乘性噪声的共振效应来增强系统的稳定性。

图4 平均首通时间在不同可控势阱因子k下随着乘性色噪声强度D的变化曲线(τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003)和加性白噪声强度α的变化曲线(τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08)Fig.4 The MFPT as a function of multiplicative colored noise intensity D with τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003 and as a function of additive white noise intensity D under different controllable potential-well factor k with τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08 under different controllable potential-well factor k

平均首通时间作为可控势阱因子k随着不同自关联时间τ1、互关联时间τ2和强度λ的变化情况,如图5所示。图5中：图5(a)～图5(c)分别为布朗粒子从左势阱跃迁至右势阱的MFPT-； 图5(d)～图5(f)分别为布朗粒子从右势阱跃迁至左势阱的MFPT+。观察图5(a)和图5(b), 发现MFPT-随着可控势阱因子k的增大呈现出先增大后减小的非单调趋势, 即共振现象。在不同的自相关时间和互关联时间下先后存在局部最优的k使MFPT-达到最大值, 随着k的持续增大, MFPT-将趋于平稳, 这与图3(a)和图3(b)中的曲线变化截然相反, 说明可控势阱宽度与可控势阱深度对粒子跃迁过程的影响不同。与图5(a)和图5(b)有所不同, 图5(d)中MFPT+曲线随着k的增大呈现出先减小后增大的非单调趋势, 且在固定的k值下, MFPT+随着τ1的增加而增大, 最终MFPT+在不同τ1变化下均趋于平稳的统一值; 图5(e)中MFPT+随着k的增大而单调递减, 不同τ2对MFPT+影响较小, 这表明乘性色噪声的自关联性和两噪声间的互关联性对粒子在可控势阱宽度情形下逃逸行为的影响不同, 适当选取自关联时间能增强噪声增益跃迁过程。由图5(c)和图5(f)可知, 随着k的增大, 平均首通时间出现了非单调变化趋势, 分别为共振和反共振现象。观察图5(c), 发现布朗粒子从左势阱跃迁至右势阱的MFPT-在负关联(λ<0)下随着k的增加而单调递减, MFPT-在正关联(λ>0)下随着k的增加先急剧增大然后缓慢下降直至平稳状态。相对于MFPT-情形而言, 图5(f)中MFPT+在负关联(λ<0)下随着k的增加先急剧增大然后缓慢下降直至平稳状态, 这与MFPT-中正关联情形类似; 同时, 随着λ由零向正不断增大, MFPT+随之增大, 当λ数值较大(λ=0.9)时, MFPT+随着k增大先缓慢减小后急剧增大, 即反共振现象。图5(c)和图5(f)中平均首通时间的变化趋势与图3(c)和图3(f)类似, 说明布朗粒子的跃迁动力学行为与自相关时间有关。最后, 随着k增加到一定数量级(k>1), 平均首通时间均趋于统一, 可知大尺度可控势阱因子在可控势阱宽度情形下占据了布朗粒子跃迁行为的主导作用。

图5 平均首通时间随着可控势阱因子k变化曲线在不同自关联时间τ1下的变化(τ2=0.2,λ=0.8,α=0.003,D=0.002)和在不同互关联时间τ2下的变化(τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08)和在不同互关联强度λ下的变化(τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002)Fig.5 The MFPT as a function of controllable potential-well factor k versus different τ1 with τ2=0.2,λ=0.8,α=0.003,D=0.002 and versus different τ2 with τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08 andversus different λ with τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002

4 结 论

在可控双稳态势模型中, 研究色关联乘性色噪声和加性白噪声诱导粒子逃逸动力学行为, 通过计算模型近似Fokker-Planck方程, 进而推导出平均首通时间表达式, 分别讨论了可控阱深和可控阱宽中系统参数对平均首通时间的影响。结果表明: 在可控势阱深度情形中, 平均首通时间随着噪声强度增加呈现非单调变化趋势, 乘性噪声诱导共振现象, 加性噪声诱导反共振现象。负关联强度和正关联强度对粒子跃迁影响不同, 并且粒子从左势阱跃迁至右势阱与粒子从右势阱跃迁至左势阱的动力学完全相反; 在可控势阱宽度情形中, 平均首通时间随着乘性噪声强度和加性噪声强度的变化同样呈现共振与反共振现象, 但可控势阱宽度因子比可控势阱深度因子对于粒子跃迁过程的影响更深, 互关联强度也能诱导布朗粒子在两势阱间跃迁的共振, 共振峰位置受两噪声间的互关联性影响较小。可控势阱宽度因子可诱导系统的共振与反共振现象。最后, 在两种势阱可控的情形下, 随着可控势阱因子增加到一定数量级, 平均首通时间均趋于统一, 大尺度可控势阱因子在可控势阱宽度情形下占据了布朗粒子跃迁行为的主导作用。