部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性研究*

陈康 马志远 张明明 窦健泰 胡友友†

1)(江苏科技大学理学院光电信息科学与工程系,镇江 212100)

2)(江苏科技大学理学院应用光学研究中心,镇江 212100)

本文针对部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性开展研究,首先建立了部分相干幂指数相位涡旋光束的传输理论模型;然后,仿真研究了部分相干幂指数相位涡旋光束在自由空间和ABCD 光学系统中的传输特性,研究结果表明部分相干幂指数相位涡旋光束在自由空间传输时,拓扑荷数、幂指数和相干长度都对光强的分布有着一定的影响,而随着传播距离的增大光斑的面积逐渐增大;当光束在聚焦系统中传输时,只有拓扑荷数和幂指数的变化会影响光强的分布,而相干长度对光束整体强度的分布没有太大的影响,只影响了光斑的质量.本文研究成果揭示了部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性,为其在光学捕获等领域的应用打下了理论基础,对促进新型光场调控理论及应用研究具有重要的意义.

1 引言

涡旋光束通常是指具有螺旋相位波前 exp(ilϕ)的新型结构光束,其单个光子携带有的轨道角动量(Orbital angular momentum,OAM),又被 称为轨道角动量光束[1].涡旋光束的中心存在相位奇点,因此涡旋光束表现为中心光强为零的环状光斑.由于特殊的光强分布以及携带的轨道角动量特性,涡旋光束可以广泛应用于光学捕获、光通信、量子信息、微纳加工和表面等离激元激发等领域[1-6].而幂指数相位涡旋(Power-exponent-phase vortex,PEPV)光束是一种新型的涡旋光束[7],其相位exp[i2lπ(ϕ/2π)n]是由幂指数n与拓扑荷数l来决定的.当幂指数n=1时,幂指数相位涡旋光束退化成传统的 exp(ilϕ)涡旋光束.如图1 所示,分别为拓扑荷数l=4 的涡旋光束和拓扑荷数l=4、幂指数n=2 的幂指数相位涡旋光束在源平面上的相位及光强分布.可以发现涡旋光束在源平面上强度呈环状分布,而高斯型幂指数相位涡旋光束在源平面上呈现高斯强度分布.2014年,赵建林等[7]采用空间光调制器首次产生了具有幂指数相位涡旋的自聚焦艾里光束.随后,Zhao 等[8]采用空间光调制器获得了高斯型幂指数相位涡旋光束,并研究其传输和聚焦特性.研究结果表明,幂指数相位涡旋光束特殊的相位分布导致其光场强度呈“C”形分布,且在传输过程中光束能量沿着环形旋转聚集,可以用于粒子捕获与释放[8],驱动微粒自动沿弯曲路径移动并避开障碍物[9].

图1 (a),(c)拓扑荷数l=4 的涡旋光束和(b),(d)拓扑荷数l =4 及幂指数n =2 的幂指数相位涡旋光束在源平面上的相位和强度分布Fig.1.Phase and intensity distributions of (a),(c)vortex beam (l=4)and (b),(d)power-exponent-phase vortex beam (l =4,n =2)on the source plane.

此外,除了光强、相位、频率等常规参量外,相干性也是光束一个重要的参量.与传统的相干光束相比,部分相干光束[10,11]展现出了一些新颖的物理特性—降低光束散斑效应、减小经过随机介质的光束闪烁、漂移和自修复等,在“鬼”成像[12]、相干衍射成像[13]、粒子捕获[14]等方面都具有广泛的应用前景.而部分相干光场的传输和聚焦特性是部分相干光场应用的基础.近年来,关于部分相干光束的研究已有很多,包括对其的产生[15,16]、在自由空间和湍流介质中传输特性、强聚焦特性的研究[17-20].例如,2019年,Xu 等[20]研究了径向偏振多高斯-谢尔模涡旋光束的聚焦特性,通过改变光场的阶数、相干宽度、拓扑荷数,可以得到环状、平顶和非对称的聚焦光斑.但是,目前关于部分相干幂指数相位涡旋光束传输特性的研究还未见报道.

本文拟在深入研究部分相干光场及其光场衍射积分理论的基础上,开展部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性研究,建立部分相干幂指数相位涡旋光束的传输理论模型,并基于MATLAB 等数值计算软件编写高效的数值计算程序,仿真研究部分相干幂指数相位涡旋光束在自由空间和ABCD光学系统中的传输特性,分析部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性与幂指数n、拓扑荷数l、相干长度δ和传输距离z的关系.本文研究成果揭示了部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性,为其在光学捕获等领域的应用打下了理论基础,对促进新型光场调控理论及应用研究具有重要的意义.

2 部分相干幂指数相位涡旋光束的理论模型及其傍轴传输理论

假设幂指数相位涡旋(PEPV)光束在源平面的电场形式为[8]

其中(r,ϕ)表示极坐标,A0和w分别为入射光束的振幅和束腰宽度,n表示幂指数参量,l表示拓扑荷数,为方便起见令A0=1.

众所周知,标量部分相干光束可以用空间频率域的交叉谱密度(Cross spectral density,CSD)或空间时间域的相互强度来表征.场在源平面上的部分相干光束的CSD 被定义为两点相关函数[21-22]:

其中r1和r2为横向截面上的任意两个坐标矢量,表示系综平均;“*”表示复共轭运算.式中r1和r2间的光场复空间相干度可以用归一化的交叉谱密度函数来表示,即[23]:

其中µ(r1,r2,ω)为光谱相干度,描述了角频率为ω的光波场在两空间点r1和r2处的相干性,取值范围为0 ≤|µ(r1,r2,ω)|≤1.当|µ(r1,r2,ω)|=1时,表示完全相干;当 |µ(r1,r2,ω)|=0表示完全不相干.S(r,ω)为光谱密度,描述了角频率为ω的光波场在空间位置r处的强度,可令(2)式中r1=r2=r得到.

光学相干理论中经常遇到的一种光束类型是高斯-谢尔模型光束.谢尔模型源定义为其光谱相干度µ(r1,r2,ω)仅仅取决于观测点r1和r2之间的位置差,因此,它们的光谱相干度可以表示为g(r2-r1,ω).因此,谢尔模型源的交叉谱密度函数可以表示为[24,25]

当谢尔模型源的光谱密度和光谱相干度都为高斯分布时,即:

当δ→ ∞时,光谱相干度接近统一,光源完全相干.因此部分相干高斯-谢尔光束在光源平面处的交叉谱密度函数可以化简为

当入射的光束为幂指数相位涡旋光束时,可以得到高斯-谢尔模型的部分相干幂指数相位涡旋光束在源平面的CSD 函数:

经典光学研究光束传输的理论基础是惠更斯-菲涅尔原理,菲涅尔衍射积分公式常用于研究光束在自由空间的傍轴传输问题.在傍轴近似有效的条件下,部分相干光束在自由空间中通过ABCD 光学系统的傍轴传输可以用下述广义Collins 公式进行研究[26-27],其公式如下:

其中W(ρ1,ρ2,θ1,θ2)为接收面的交叉频谱密度,k为波数,A,B,C和D是傍轴光学系统传输矩阵的元素.

将 (8)式代入 (9)式中可得部分相干幂指数相位涡旋光束通过傍轴ABCD 光学系统的解析传输公式:

可以用(11)式进行计算[20]:

其中 Jh(·)表示第一类h阶贝塞尔函数.将 (11)式代入 (10)式,整理可得:

根据积分公式[28]:

其中 Ih(·)表示第一类h阶修正贝塞尔函数.

代入 (12)式后,可以进一步得到交叉谱密度函数为

因此可以得到部分相干幂指数相位涡旋光束在传输过程中,传输横截面上的光强分布的理论表达式为

然后,基于MATLAB 数值计算软件编写部分相干幂指数相位涡旋光束传输的数值计算程序,并采用GPU 加速算法在保证计算精度的同时,显著的提高了程序的计算效率.

3 部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性研究

3.1 自由空间传输特性

首先采用数值方法研究了部分相干幂指数相位涡旋光束在自由空间的传输特性,在下面的数值计算中,光束的波长λ=632.5 nm,束腰半径w=1 mm,源平面和接收平面之间的距离为z.那么源平面和接收器平面之间的ABCD矩阵可以表示为

将传输矩阵(17)代入(16)式中,可以得到光束传输z距离后的光强分布.

本小节主要研究在自由空间中部分相干幂指数相位涡旋光束的幂指数n、拓扑荷数l、相干长度δ和传输距离z对光强分布的影响,数值计算的光强分布如图2 和图3 所示.在图2 中,光束的相干长度和传输距离保持不变,分别为δ=0.5 mm,z=1.5 m,研究了部分相干幂指数相位涡旋光束强度分布与幂指数n、拓扑荷数l之间的变化关系.当幂指数n相同而拓扑荷数l不同时,可以发现随着拓扑荷数l的增大,光束的暗核不断变大,光强分布也逐渐变大,并且光束的拖尾沿顺时针的方向逐渐向上收缩,光束的能量慢慢向强度点集中.当拓扑荷数l相同而幂指数n不同时,可以发现随着幂指数n的增大,部分相干幂指数相位涡旋光束的光强分布有着明显的变化,光束的中心暗斑逐渐减小,同时光束的能量也逐渐聚集在强度点上.因此,可以发现随着幂指数n和拓扑荷数l不断增大,部分相干幂指数相位涡旋光束的光强分布逐渐向强度点集中.

图2 部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性与拓扑荷数l 和幂指数n 的关系Fig.2.Relationship between propagation properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams with the topological charge l and power order n.

图3 中展示的是当部分相干幂指数相位涡旋光束的拓扑荷数l=2 和幂指数n=2 时,不同相干长度δ的部分相干幂指数相位涡旋光束传输不同距离z时的光强分布.当相干长度δ相同时,可以发现随着传播距离z的增大,光斑面积变得越来越大.且相干长度δ为0.5 mm 和5 mm 时,随着传输距离z的增大,光束的能量逐渐集中在强度点上.同时,从图中可以明显看出,当相干长度δ的值为0.005 mm 和0.05 mm 时,其光强分布与0.5 mm和5 mm 时有着明显的区别:相干长度较低时,光束的形状类似于“耳朵”的形状,其开口方向在左上方,其周围有虚影的存在,光束质量较差;当相干长度较大时,光束的形状看起来像字母“C”,其开口的方向在右下方,光束质量相对来说较好,但时同时可以明显看到被光强包围的区域都有两个暗核的存在,暗核数目与拓扑荷数l相同.

图3 部分相干幂指数相位涡旋光束传输特性与相干长度δ 和传输距离z 的关系Fig.3.Relationship between propagation properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams with the coherence length δ and propagation distance z.

3.2 复杂光学系统传输特性

本小节主要研究部分相干幂指数相位涡旋光束经过一个焦距为f的薄透镜聚焦后的光强分布,聚焦示意图如图4 所示,此时传输矩阵可以表示为

图4 聚焦系统示意图Fig.4.Schematic diagram of focusing system.

从幂指数n、拓扑荷数l、相干长度δ三个方面对部分相干幂指数相位涡旋光束在焦距f=150 mm的薄透镜下的聚焦特性进行研究,数值计算结果如图5 和图6 所示.在图5 中,研究了在相干长度δ=0.5 mm 时,部分相干幂指数相位涡旋光束的聚焦特性与幂指数n、拓扑荷数l的关系.可以发现,当幂指数n一定时,随着拓扑荷数l的增大,聚焦光斑面积也越来越大,且在幂指数n=2 时,可以明显观察到光束中间存在与拓扑荷数l相同数量的暗核,但随着幂指数n越来越大(拓扑荷数l一定时),暗核的存在越来越不明显,数量逐渐减少,同时光束的能量向强度点集中,逐渐形成一个聚焦点,并且聚焦点的形状类似于高斯光束形状.

图5 相干长度δ =0.5 mm 时,部分相干幂指数相位涡旋光束聚焦特性与幂指数n、拓扑荷数l 的关系Fig.5.Relationship between focusing properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams and power order n and topological charge l with coherent length δ =0.5 mm.

图6 为部分相干幂指数相位涡旋光束的聚焦特性与相干长度δ的关系,从图6 可以发现,随着相干长度的增大,聚焦光斑基本保持不变,只是相干长度较低时,聚焦光斑的周围存在虚影,光束质量较差,随着相干长度的增大,聚焦光斑的质量变得越来越好;同时可以发现幂指数n、拓扑荷数l的值越大,能量更集中于强度点,聚焦的效果也越好.

图6 部分相干幂指数相位涡旋的聚焦特性与相干长度δ 的关系Fig.6.Relationship between focusing properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams and coherent length δ.

4 结论

本文在深入研究部分相干光场及其光场衍射积分理论的基础上,开展部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性研究,首先建立了部分相干幂指数相位涡旋光束的传输理论模型,并基于MATLAB等数值计算软件编写高效的数值计算程序,仿真研究部分相干幂指数相位涡旋光束在自由空间和ABCD 光学系统中的传输特性,并分析拓扑电荷、幂指数、相干长度以及传播距离对光强分布的影响.研究结果表明,当部分相干幂指数相位涡旋光束在自由空间和聚焦系统中传输时,拓扑荷数l都决定了光束传播截面的大小,及其所拥有暗核的数量,并且随着n的增大,暗核逐渐消失;同时随着l和n值越大时,能量更集中于强度点,聚焦的效果也越好.而在当光束在自由空间传输时,相干长度δ对光束影响较大,不仅影响光束质量,还对其光强分布有很大所影响,同时随着传播距离的增大,光斑面积也逐渐增大;当光束在聚焦系统中传播时,相干长度仅对光束质量有所影响,对光强分布没有太大的影响.本文对部分相干幂指数相位涡旋光束的传输特性的研究,为其在光学捕获等领域的应用打下理论基础.