构造函数法在解题中的应用

广东省中山市桂山中学 余铁青 528463

以构造法为背景的函数试题在各大主流模拟和高考命题中频繁出现，试题对于同学们的数学能力要求较高，想要灵活掌握并非易事.本文基于高考真题与模考试题，为大家呈现构造法在解函数试题中的具体运用，以期帮助大家准确认识到构造法解题的便捷高效之处，丰富同学们的解题技巧.

1 高中数学中构造函数法的概念界定

构造函数法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法.本文为力求讨论的精确性，仅从实例分析构造法在函数类试题中的运用.

2 实例赏析，感受构造函数法的实战魅力

例1 （2020 高考全国一卷理12 题）若2a+log2a=4b+2 log4b，则( ).

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

解：因为2a+log2a=4b+2 log4b=22b+log2b；又22b+log2b＜22b+log22b=22b+log2b+1 即2a+log2a＜22b+log22b；构造函数：f(x)=2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f(x)在(0,+∞)内单调递增；且f(a)＜f(2b)，所以a＜2b；故选：B.

评注：该题作为选择题压轴题出现，设计十分巧妙，对同学们的思维能力要求较高，如若硬算，将得不偿失！正确分析思考应该先结合已知条件的直观结构特征，尝试构造出具有明显单调性的函数，反过来逆向结合指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于放缩，将不等式左右两边进行形式上的统一，最终完成构造.

解：由题意，整理易得：(log2x)6+(log2x)2＞(log2x+2)3+(log2x+2)，观察结构，容易联想考虑构造函数：g(x)=x3+x，那么g′(x)=3x2+1＞0，所以g(x)在R 上单调递增，结合单调性得：(log2x)2＞log2x+2，于是(log2x-2)(log2x+1)＞0 ，进一步得：log2x＜-1或log2x＞2 ，结合对数函数图像知：x的范围是∪(4,+∞)，所以答案选B.

评注：该题以函数单调性与解的唯一性为命题背景，引导同学们往该方向知识点进行思考，并通过观察不等式的形式与结构，容易联想到构造函数和换元.特别说明：因为本文着重在于说明构造的出发点和连结点，故意弱化了换元的书写，实际上换元后的书写会更加简洁.

评注：该题的切入点在于f′(x)+4x＞0，利用这个既定的函数想方设法构造新的函数.同时，在f( s inx)-cos 2x≥0 对比形式与结构，化成f( s inx)+2 sin2x-1 ≥0，结合换元思想，某种程度上就暗示了，应该构造g(x)=f(x)+2x2-1. 整体试题设计精巧，在考查大家知识的同时，让大家享受到了构造函数的美，试题中渗透了数学美育，一道看似抽象的试题，经过构造函数变得具体、真切、易操作.

例4 已知定义域为R 的奇函数f(x)满足f′(x)＞-2，则不等式f(x-1)＜x2(3-2 lnx)+3(1-2x)的解集为_____.

解：对已知条件不等式移项，构造函数：g(x)=f(x-1)-x2(3-2 lnx)-3(1-2x)，则g(x)=f(x-1)-3x2+2x2lnx-3+6x，于是等价于求g(x)＜0 的解集，又g′(x)=f′(x-1)+4xlnx-4x+6，再令h(x)=4xlnx-4x+6，则h′(x)=4 lnx，显然当h′(x)=4 lnx＞0 ⇒x＞1，当h′(x)=4 lnx＜0 ⇒0 ＜x＜1，于是知：函数h(x) 在( 0,1) 单调递减，在(1,+∞) 单调递增，所以h(x)min=h(1)=2. 又由f′(x)＞-2，那么g′(x)＞0,所以g(x)在(0,+∞)单调递增，又g(1)=f(0)-3-3+6=f(0)，结合函数f(x)为定义域为R的奇函数，故f(0)=0 ，那么g(1)=0 ，所以g(x)＜0 的解集为(0,1).

评注：该题有两个思维痛点：（1）为何不像例3 直接从f′(x)＞-2 开始尝试构造函数？（2）为何不考虑在f(x-1)＜x2(3-2 lnx)+3(1-2x)处换元，进行形式统一？实际上，在构造的过程中笔者是进行过尝试的，但所得为不等式给解析式的确定带来了极大的不确定性！另外，验证发现很难往下运算，最后也无法给出相应常数项，没办法得到具体解析式；相较而言，上述例3 的尝试在后面所给已知条件的变形中得到了良好的验证，该题的后续条件也无法进行有效验证.为何不换元主要是要和奇函数的在x=0 处有定义、函数值为0 进行对照统一，也与后面进行的二次假设构造数值统一，这样整个试题在求解过程中才能顺畅高效.通过该题的解析不难发现，准确选择切入点，合理转化是解题的关键点更是智慧点.

例5 （2020 新高考山东卷理科21 题）已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.（1）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f(x)≥1，求a的取值范围.

解：（1）略；

（2）解法1:（分类讨论法）当0 ＜a＜1 时，f(1)=a+lna＜1；当a=1时，f(x)=ex-1-lnx,f′(x)=ex-1-，当x∈(0,1) 时，f′(x)＜0 ；当x∈(1,+∞)时，f′(x)＞0.所以当x=1 时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1 ，从而f(x)≥1. 当a＞1 时，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.综上所述，a的取值范围是[1,+∞).

解法2：（同构法）由题意知：aex-1-lnx+lna≥1 即：elna·ex-1-lnx+lna≥1，进一步整理得到：elna+x-1+lna+x-1 ≥x+lnx=elnx+lnx①，注意到结构具有高度对称性，于是考虑构造函数：g(x)=ex+x②，显然该函数是在(0,+∞)上是单调递增的.将②式对比①式，即得：g(lna+x-1)≥g(lnx)，结合单调性立马可得：lna+x-1 ≥lnx，进一步整理得：lna≥lnx-x+1 ，再 令h(x)=lnx-x+1 ，则h′(x)=(x＞0)，那么函数h(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，所以h(x)max=h(1)=0，所以a≥1.

评注：该题难度较大，采用参考答案的思路进行处理，笔者认为有几处“痛点”需要突破.首先，对a的分类是怎么分析得到的？为何将其分为解答中的三种情况？其次，函数在进行求导运算后，为何对自变量的范围分成所述两段？实际上这都依赖于同学们对函数单调性、零点等知识的掌握，如果这些掌握不牢固，再次通过求导的方式进行论证将会耗时耗力；最后，当a＞1 时，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1 ，这 步也是要重新求导才能说明的，或者大家对不等式ex≥x+1 的变形十分熟悉才可以一步到位.这几个痛点共同构成了这道综合性导数大题，通过这个也发现基本的放缩和“套路”某种程度上也是不可忽视的，必须要做到熟练掌握，这样处理也可以说中规中矩.对比解法1，同构法此时就显得要“优美”得多，重在配方得到所需要得形式，再直接利用所构造函数的单调性直接求得参数范围，这样就避开了过多的讨论，使得整个解答过程更加顺畅，也有效的降低了在进行讨论过程中出错的可能性.