例析阿波罗尼斯圆的命题策略

广东省佛山市罗定邦中学 龙 宇 528300

在近几年的高考题、模拟题中，阿波罗尼斯圆（以下简称阿氏圆）越来越受到出题老师的青睐.笔者在梳理相关材料时，总结了该圆的几种考察方式，现整理成文，以飨读者.

1 阿氏圆的定义[1]

在平面上一点P到两个定点的距离之比满足=λ（λ＞0 且λ≠1），则点P的轨迹是圆，这个圆便是经典的阿波罗尼斯圆.该圆的最直接考察则是利用定义求解，此类问题的特点在于给出确定的两个定点及相关比例.此类问题的最经典形式便是2008年江苏卷第13题，具体题目如下：

例1 满足条件AB=2 ，AC=的△ABC的面积的最大值是_____.

解析：如图1，以AB的中点O为原点进行建系，则点A,B的坐标为(-1,0)，(1,0)，设点C的坐标为(x,y)代入条件AC= 2BC，化简可得点C的轨迹方程为：(x-3)2+y2=8,即圆心为E(3,0)，r=2 2 的圆.

图1

△ABC的面积的最大值问题转化为点C到x轴距离的最大值问题.根据平面几何的相关知识可知，点C到x轴距离≤CE=2 2 .对应的△ABC的面积的最大值为2 2 .

2 阿氏圆与其他圆锥曲线的结合

在阿氏圆的定义中，涉及到两个定点与定比例.在常见的圆锥曲线中，也涉及到较多的定点与定值，这就为两者的结合提供了理论基础.

例2 （2019 年佛山二模第15 题）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P(4,y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|=|PF|，求y0的值.

分析：本题的关键在于|PK|=|PF|，而抛物线的意义则是提供两个定点K，F.结合阿氏圆的定义即可求解.解析：由题意可得K(0,-)，F(0,)，设点P的坐标为(x,y).由题意可得点P的轨迹为x2+(y-p)2=2p2.且点P的横坐标为4，且点P在抛物线上，联立方程即可得p=4，则有y0==2.

3 阿氏圆的逆向考察

在阿氏圆的定义中，涉及到两个定点、定值以及最终的轨迹圆.能否根据圆以及定值来考察两个定点之间的关系呢？或者考察定值的范围问题呢？

例3 （2021 年佛山高二期末试题第16题改编）如图2，已知点A(4 7,0) ，B(0,3) ，圆O:x2+y2=4，设点P为圆O上的动点，求3PA+2PB的最小值.分析：所求式为：3PA+2PB=3(PA+PB).若其中PB可转化为点P到另一定点的距离，则可将原问题转化为圆上一点到两定点的距离之和的最小值问题.本题是阿氏圆的逆向应用题，即通过点B及圆O求出另一个定点.

在上述解答过程中出现了三个方程，而仅有两个未知数，说明该题的构造过程有一定的确定性.比如将原问题转化为3PA+2PB=2(PA+PB) ，能否找到一点D使得PD=PA，且保证点P的轨迹为圆O呢？通过计算可知这样的点D并不存在.

例4 （自编）已知点A(1,0)，B(2,0)以及圆O:x2+y2=1，设点P为圆O上的动点，若|PB|=λ|PA|，求λ的取值范围.

4 阿氏圆在立体图形中的应用

例5 如图3，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=2 ，BB1= 2 π ，∠ABC=90°，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面运动，且|PA|=|PM|，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为V1,V2（V1＜V2），求的值.

图3

分析：本题的关键条件是|PA|=|PM|，结合类比平面中阿氏圆的定义，猜想动点P的轨迹是一个球.本题可通过轨迹的思想来研究形成两部分几何体.

解析：为了便于研究点的轨迹，结合图形特点，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系.即可得点A，M的坐标分别为(2,0,0)，(1,0,0)，设点P的 坐 标 为 (x,y,z). 代 入 条 件|PA|=|PM|可得点P的轨迹方程为x2+y2+z2=2 ，即以点B为球心，r=的球,本文称其为阿波罗尼斯球.且平面ACC1A1与该球相离，故可知动点P 形成的曲面将三棱柱分出一部分体积为以B 为球心以ffffc3为半径的球的ffffc2 ，对应的体积V1=ffffc1V球B=ffffc0π.整 个 三 棱 柱 的 体 积V=2 2 π ，则有V2=V-V1=ffffbfπ ，即可得