圆锥曲线轴定点弦的一组有趣性质

江西省共青城市国科共青城实验学校 姜坤崇 332020

众所周知，圆锥曲线都是轴对称图形.过圆锥曲线对称轴上一定点引直线交曲线于两点，则把以这两点为端点的线段称为曲线的轴定点弦.在对圆锥曲线的研究中，笔者发现关于圆锥曲线的轴定点弦有下面的一组有趣性质.

1 椭圆中的两个结论

图1

（5）由⑤式知，点N在L上，且由④式及⑥式知N是RS的中点.

由于椭圆在x轴、y轴上均有两个顶点，两条对称轴是对称的，因此可以把x轴上具有的性质类比到y轴上去.

以下证明可仿照定理1 的证明进行，不再给出.

2 结论在双曲线和抛物线中的类比引申

双曲线与椭圆都是有心圆锥曲线，它们常具有共性，当椭圆具有某种性质时，可考虑类比引申到双曲线中去，经过探究可得如下结论.

证明可仿照定理1 的证明进行，限于篇幅，这里从略.

虽然抛物线只有一个顶点，但如果我们把抛物线看成是长轴长趋向于无穷大的“椭圆”，那么另一个“顶点”沿x轴的正方向趋向无穷远处，此时定理1 中的EP、EQ均平行于x轴，于是有下面的结论.

定理4 给定抛物线Γ:y2=2px(p＞0),M(m,0)(m≠0)是x轴上的一定点，过M引不与x轴垂直和重合的直线交Γ 于P(xP,yP)、Q(xQ,yQ)两点，点P、Q在定直线L:x=-m上的射影分别为R(-m,yR)、S(-m,yS)，Γ 在P、Q处的切线分别为l1、l2且交于N(xN,yN)，则(1)yR·yS（或yP·yQ）为定值-2pm; (2)kRM·kSM=;（3）kOP·kOQ为 定 值（O为原点）；（4）kPQ·kMN为定值-;（5）N在L上，且N是RS的中点；（6）直线PS、QR的交点为O.