捕捉结构特征 探究解题路径
2022-05-30黑龙江省鸡西市第一中学数学教研室王荣峰158100
黑龙江省鸡西市第一中学数学教研室 王荣峰 158100
所谓题目的“结构特征”是指那些能够揭示题目的条件和结论间内在联系的结构特点,通过对这些结构特征进行分析、加工和转化往往可以探究到问题解决的突破口,本文仅就捕捉到结构特征后常见的解题路径加以盘点,以期能对大家有所启发.
1 类比公式
例1 已知f(x),g(x)均是定义在R 上的函数,且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),若f(-2)=f(1)≠0,则g( )1 +g(-1)的值为().
A.1 B.-1 C.2 D.-2
分析: 公式f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)在结构上与两角差的正弦公式十分相似,因此我们猜测函数f(x)可能也为奇函数.
解: 事实上f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y) ,从而可知f(x) 必为奇函数,故f(1 ) =f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g( -1)f(1 )=-f(1 )[g(1)+g(-1)] ,∴g(1)+g(-1)=-1.选B.
点评:破解该题的关键是通过类比猜测到f(x)可能为奇函数,类比属于合情推理,是重要的解题思想和方法,它能为我们提供解题的思路和方向.
2 倒序相加
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
分析: 由M式的结构可挖掘到f(x)+f(1-x)可能为定值,这一隐含条件是采用倒序相加法妙解该题的前提.
点评:倒叙相加法源自教材中等差数列的求和,通过倒叙相加可以避开对M式中项的个数是奇数或偶数的讨论,进而优化解题过程.
3 分离常数
4 乘对偶式
分析:通过乘对偶式可达到分子有理化的目的,分子有理化后再去判断函数的单调性是最常见的思维路径.
5 构造向量
例5 已知数列{an} 是等差数列,其前n项和为Sn,若a+a≤0,则S4的最大值为( ).
分析: 能将S4用a1,a7来表示是实现构造向量破解该题的关键,当然该题也可借助数形结合等其它方法来求解.
6 建坐标系
分析: 向量具有几何与代数双重性质,而坐标法是解决向量题最有效的策略,由条件⊥自然联想到可建立坐标系来破解该题.
图1
点评:该题属于难题,但通过合理建立直角坐标系,再借助解析几何和不等式的知识找到了问题解决的突破口,实现了几何问题代数化.
7 特值分析
例7 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满 足2a+3b+6c=0,则f(x)在区间上().
A.一定没有零点 B.必有唯一的零点
C.必有两个零点 D.可能有两个零点
分析: 在等式2a+3b+6c=0 中,字母a和b的系数比是2:3 ,而在解析式f(x)=ax2+bx+c中字母a和b的系数之比是x,借助这一信息可想到代入特值x=切入.
点评: 能由2a+3b+6c=0 中字母a和b的系数比是2:3 ,进而联想到代入特值x=进行分析,再借助根的分布原理来判断,需要具备较高的数学素养.
8 构造函数
例8 设a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,则( ).
A.a<b<cB.b<c<a
C.b<a<cD.c<a<b
分析:观察b=ln(1 +0.02 ),c=-1会联想到构造函数f(x)=ln(1+x)-+1,再由a=2ln(1+0.01),c=-1可联想到构造函数g(x)=2ln(1+x)-+1,于是便可找到问题解决的切入点.解: 首先构造函数f(x)=ln(1+x)-+1,则b-c=f(0.02),易求得
点评: 该题为2021 高考全国理科乙卷选择题的压轴题,有着很好的区分度.通过观察a,b,c的结构特征进而能想到构造函数f(x)和g(x)需要一定的解题积累和良好的数学素养.
通过挖掘题目的结构特征还可以探究出很多解题路径,限于篇幅,这里不再一一列举.只有平时勤于积累,善于总结,养成解题后反思的好习惯,才能在遇到具体问题时,快速、准确地捕捉到题目的关键结构特征,进而寻找到有效的解题路径.