高考中导数几何意义的应用探究
2022-05-28马孟华赵寅辉
马孟华 赵寅辉
【摘 要】 导数的几何意义作为“导数概念”的几何化特征，是高考考查的重点内容.通过对近几年高考试题中导数几何意义考查的深入剖析和总结，系统性地给出了导数几何意义应用的五个方面，并引入了高等数学中泰勒公式背景下的切线放缩法，结合数形结合思想，将导数的几何意义的应用进行了提升和拓展.
【关键词】 导数几何意义;五个应用;泰勒公式;数形结合
导数作为研究函数性质（单调性、极值、最值、凹凸性）的重要工具，其重要性不言而喻. 导数几何意义作为“导数概念”的几何化特征，其应用不仅将几何与代数融为一体，而且深刻揭示了数形结合思想的重要性，同时导数几何意义蕴藏于导数综合问题中的应用价值也将整个导数在函数中的应用推上了一个新的台阶.下面结合近年来高考对导数几何意义的直接考查，以及其蕴藏在导数问题中的一些“隐性应用”作了归纳、总结和探究，希望对2022高考导数问题的备考提供帮助.
1 导数几何意义应用的五个方面
应用1 导数几何意义的直接应用
例1 （2021年全国高考甲卷理科第13题）曲线y=2x-1x+2在点（-1，-3）处的切线方程为.
解析 由题知，当x=-1时，y=-3，故点在曲线上.
求导得y′=2（x+2）-（2x-1）（x+2）2=5（x+2）2，所以y′|x=-1=5.故切线方程为5x-y+2=0.
评析 先验证点在曲线上，再求函数在该点处的导数值，利用点斜式方程求出切线方程即可.
应用2 含参数曲线的切线问题
导数的几何意义在于可求出函数在任意一点处的切线斜率（斜率存在），进一步求出函数在任意一点处的切线方程，在引入参数的背景下，切线问题的一般处理模式是什么呢？下面来看例2.
例2 （2019年全国卷Ⅲ理科第6题）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ）.
A.a=e，b=-1 B.a=e，b=1
C.a=e-1，b=1 D.a=e-1，b=-1
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b.
解析 y′=aex+lnx+1，故有：k=y′|x=1=ae+1=2，所以a=e-1.
将（1，1）代入y=2x+b得2+b=1，b=-1，故选D.
评析 本题解题的关键是得到含有a，b的等式，利用导数几何意义解决切线问题有三个要点：
（1）切点在切线上;（2）切点在曲线上;（3）切点处的导数值等于切线的斜率.
综合利用以上三点就可解出参数的值，这是求解切线问题的通性通法.
应用3 含参数的两条曲线的公切线问题
两条曲线存在公切线时，切点可以是同一个，也可是不同的两个切点.当切点一致时，使用应用二的方法即可解决问题.当切点不一致时，导致了该切线对于其中一条曲线是“在其上一点处”的切线，对另一曲线则是“过曲线外一点”的切线，当然通性通法中的三点亦可解决问题.
例3 （2015年全国卷Ⅱ文科第16题）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=.
解析 函数y=x+lnx在（1，1）处的导数为
y′|x=1=1+1xx=1=2，所以切线方程为l：y=2x-1.而该直线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故可设切点为（x0，y0），则满足：
y0=2x0-1（点在切线上），y0=ax02+（a+2）x0+1（点在曲线上），2ax0+a+2=2（切点处的导数值等于切线的斜率）.
由2ax0+a+2=2可得x0=-12或a=0.
当x0=-12时，代入（1）式得y0=-2，代入（2）式得a=8;
当a=0时，曲线为直线，与直线l平行，不符合题意;综上，a=8.
小结 （1）求曲线在某一点处的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程;
（2）当已知切线方程而求函数中的参数时，利用以下三点，即：①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数值等于切线的斜率（这里的斜率常常用两点确定的斜率公式表示）.
以上三点的使用便可求解参数的值.该高考试题中有两条曲线，一是由函数y=x+lnx的图象所确定的曲线，二是由二次函数y=ax2+（a+2）x+1确定的曲线，此时切线l：y=2x-1即为两条曲线的公切线，利用y=x+lnx求出其在点（1，1）处的切线之后，又利用该直线为过点（1，1）作曲线y=ax2+（a+2）x+1的切线，综合利用上述的通性通法即可求出参数a的值，不得不佩服高考试题命题人的良苦用心.一道试题考查了利用导数的几何意义求切线的两种模型：
（1）曲线在一点处的切线模型;
（2）过曲线外一点作曲线的切线模型.
事实上，此题中第二条曲线是二次曲线y=ax2+（a+2）x+1，故处理其切线问题时可引入“二次曲线切线问题”的通法，即联立切线和二次曲线方程来求得参数的值，这是“解析几何背景下”的思想方法，故此题还有解法二如下：法2 由法1可知，直线l：y=2x-1与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故联立其方程y=2x-1，y=ax2+（a+2）x+1，消去y得ax2+ax+2=0（a≠0），其有一解，故Δ=a2-8a=0（a≠0），所以a=8（a=0時不成立）.
例4 （2020年全国卷Ⅲ理科第10题）若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（ ）.
A.y=2x+1 B.y=2x+12
C.y=12x+1 D.y=12x+12
解析 在例3的指引下，此题也属于公切线问题，其中的两条曲线，一条曲线是函数的图象，另一条曲线是二次方程曲线，故采用数形结合的方式处理最为妥当，解法如下：
设直线l在曲线y=x上的切点为（x0，x0），则x0>0，
函数y=x的导数为y′=12x，则直线l的斜率k=12x0，
设直线l的方程为y-x0=12x0（x-x0），即x-2x0y+x0=0，
由于直线l与圆x2+y2=15相切，则x01+4x0=15，
两边平方并整理得5x20-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-15（舍），
则直线l的方程为x-2y+1=0，即y=12x+12.
法2 利用导数求解出切线l的方程为y-x0=12x0（x-x0），即x-2x0y+x0=0，联立二次曲线x2+y2=15与直线l的方程x-2x0y+x0=0，消去x可得（4x0+1）y2-4x0·x0y+x02-15=0，令Δ=0，即16x03-（16x0+4）（x02-15）=0，
整理得5x02-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-15（舍），故直线l的方程为x-2y+1=0，即y=12x+12.
应用4 利用导数的几何意义解决不等式证明问题（切线放缩法）
例5 （2013年新课标Ⅱ卷理科第20题）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.
（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性;
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
解 （1）略;（2）原解：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时，f（x）>0.
当m=2时，函数f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上单调递增.
又f′（-1）<0，f′（0）>0故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实根x0，且x0∈（-1，0）.
当x∈（-2，x0）时，f′（x）<0;当x∈（x0，+∞）时， f′（x）>0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值.由f′（x0）=0得ex0=1x0+2，故ln（x0+2）=-x0，
故f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.
综上，当m≤2时，f（x）>0.
评析 此问的解答过程中使用了比较常见的考点——函数的隐零点问题，采用“设而不求”的方式解决，过程看似简洁，但对学生的思维要求较高，绝大多数的学生是难以应对的.从导数的工具性作用来讲，不等式放缩（即切线放缩法）也是处理不等式证明问题的一种常用手段.注意到函数f（x）=ex-ln（x+m）中含有了指对数函数，故而可联系到我们经常使用的“切线放缩”法来尝试解决该问题，处理方法如下：
法2 由于m≤2，故f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2），
故要证f（x）>0，可证ex-ln（x+2）>0.
由于ex≥x+1（x∈R），ln（x+2）=ln[1+（1+x）]≤x+1（x>-2），
所以f（x）≥ex-ln（x+2）>（x+1）-（1+x）=0.
故f（x）>0，得证.
评析 值得注意的是：其中的不等式ex≥x+1（x∈R）表达的就是函数y=ex的切线为y=x+1;不等式ln（x+2）≤x+1（x>-2）表达的就是y=ln（x+2）的切线为y=x+1，诸如此类的“切线放缩”的不等式也有很多，再如：e-x≥1-x（x∈R）;sinx≤x（x≥0）等等都是高考中使用频率较高的不等式，掌握这些常用不等式可以使得我们的解题事半功倍.
事实上，以上几个不等式从高等数学的高观点角度分析，其理论基础就是泰勒展开式，下面给出与高中数学联系比较紧密的几个常见函数的泰勒展开式[1]：
ex=1+x+x22！+…+xnn！+…
ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）n-1xnn+…
sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）nx2n+1（2n+1）！+…
cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx2n（2n）！+…
（1+x）α=1+αx+α（α-1）2！x2+…+α（α-1）…（α-n+1）n！xn+…对以上的泰勒展开式的右侧取“部分多项式”（如取2至3项）就可得到很多不等式，这些不等式可以将指对数函数、三角函数放缩成为“幂函数”构成的复杂函数，从而简化问题.其中放缩为“一次函数”（即切线放缩法）就是一个体现.高考中以泰勒展开式为背景的考题不胜枚举，它也是高考命题的一个“源泉”.再来看例6.
例6 （云南师大附中2022届高考适应性月考卷（四）文科第21题）
已知函数f（x）=（x-1）ex-12x2+1，g（x）=sinx-ax，其中a∈R.
（1）证明：当x≥0时，f（x）≥0;当x<0时，f（x）<0;
（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，记F（x）=max{f（x），g（x）}.是否存在實数a，对任意的x∈R，F（x）≥0恒成立.若存在，求出a;若不存在，请说明理由.
解 （1）证明：f′（x）=xex-x=x（ex-1），
x∈R.
当x>0时，ex-1>0，则f′（x）>0;当x<0时，ex-1<0，则f′（x）>0.
当x=0时，f′（0）=0，所以当x∈R时，f′（x）≥0，f（x）在R上是增函数，又f（0）=0，所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0;
当x<0时，f（x）<f（0）=0.
（2）原解：函数F（x）的定义域为（-∞，+∞），由（1）知，当x≥0时，f（x）≥0，又F（x）=max{f（x），g（x）}≥f（x），所以当x≥0时，F（x）≥0恒成立.
由于当x<0时，f（x）<0恒成立，所以F（x）≥0等价于：当x<0时，g（x）≥0，令g′（x）=cosx-a.
①若a≤0，当-π2<x<0时，0<cosx<1，
故g′（x）>0，g（x）递增，此时g（x）<g（0）=0，不合题意;
②若0<a<1，当-π2<x<0时，由g′（x）=0知，存在x0∈-π2，0，当x∈（x0，0）时，g′（x）>0，g（x）递增，此时g（x）<g（0）=0，不合题意;
③若a≥1，当x<0时，由cosx≤1知，对任意x<0，g′（x）≤0，g（x）递减，此时g（x）>g（0）=0，符合题意.
综上可知：存在实数a满足题意，a的取值范围是[1，+∞）.
这是标准解答，但如果在不等式sinx≤x（x≥0）的指引下，可以采用数形结合的方法处理如下：
法2 当x<0时，f（x）<0恒成立，所以F（x）≥0等价于当x<0时，g（x）≥0.
即等价于g（x）≥0对x<0恒成立，即sinx-ax≥0，故sinx≥ax对x<0恒成立.
注意到函数y=sinx在点（0，0）处的切线斜率为k=y′|x=0=cosx|x=0=1.
结合正弦函数以及直线y=ax图象可知：
当a≥1时，y=ax的图象恒在y=sinx的下方，故有g（x）≥0对x<0恒成立.
综上，可得a的取值范围是[1，+∞）.应用5 利用导数的几何意义求解最值、范围问题
例7 （2017年全国卷Ⅱ文科第21题）设函数f（x）=（1-x2）ex.
（1）讨论函数f（x）的单调性;
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求实数a的取值范围.
解 （1）f′（x）=ex（-x2-2x+1），令f′（x）=0得x=-1-2 ，x=-1+2，
当x∈（-∞，-1-2）时，f′（x）<0;当x∈（-1-2，-1+2）时，f′（x）>0;当x∈（-1+2，+∞）时，f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，-1-2），（-1+2，+∞）单调递减，在（-1-2，-1+2）单调递增.
（2） f （x）=（1+x）（1-x）ex，
当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，h′（x）=-xex<0（x>0），因此h（x）在[0，+∞）单调递减，而h（0）=1，故h（x）≤1，所以 f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1.
当0
当0 当 a≤0时，取x0=5-12，f（x0）>（1-x0）（1+x0）2=1>ax0+1. 综上，a的取值范围为[1，+∞）. 法2 由（1）知，当x≥0时，f（x）在（0，2-1）上单调递增，在（2-1，+∞）上单调递减，由于f′（x）=ex（-x2-2x+1），故f″（x）=ex（-x2-4x-1）. 当x≥0时，f″（x）=ex（-x2-4x-1）<0， 故f（x）在（0，2-1）上上凸递增，在（2-1，+∞）上上凸递减. 图1 同时，注意到f（0）=1，f（1）=0，故函数f（x）的大致图象如图1所示： 令g（x）=ax+1，其图象是恒过点（0，1）的直线，由数形结合可知： 当g（x）=ax+1的图象与f（x）的图象在点（0，1）处相切时，参数a取得最小值，故a≥f′（0）=1. 综上可得：实数a的取值范围为[1，+∞）. 2 总结 从上述探究中不难看出，导数的几何意义作为高考的重点和必考点，其考点的设置不仅在直接考查函数切线问题层面，还可将导数生成的“切线”作为解决函数中的不等关系、范围、最值问题的一种“临界状态”来解决不等问题.也可理解为：在函数导数背景下，不等问题是常态，但只要我们抓住相等的 “瞬间”（即直线与函数图象相切时刻）就可解决常态的不等问题， 这就是导数几何意义在解决函数问题上的“隐性作用”，也是“数形结合思想”应用的重要体现.当然，高考对导数几何意义的考查，最终的导向也是对教学中落实好培养学生数学学科核心素养的根本要求. 参考文献 [1] 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋. 数学分析[M].第四版（上册）. 北京：高等教育出版社，2018：135-141. 作者简介 马孟华（1986—），男，中学高级教师;主要研究高中数学教学;发表多篇文章.赵寅辉（1986—），男，中小学一级教师，下关一中教务主任;云南省中小学幼儿园名师工作室“优秀学员”，第三届“大理十大最美教师”.
