一题两空题的结构特点与命题途径

【摘 要】 “一题两空”题的两空得分模式有利于提高低水平考生的得分，有利于区分出高水平的考生，同时能够更加精确地发挥数学学科考试的区分选拔功能.本文从“一题两空”题的结构、特点及命题实践等三个方面谈一下思考和认识.

【关键词】 一题两空;结构特点;命题途径

“一题两空”题是填空题的一种，是近年出现在高考或各地模拟试题中的一种新题型，相对于单空题，“一题两空”题的两空得分模式有利于提高低水平考生的得分，有利于区分出高水平的考生，同时能够更加精确地发挥数学科考试的区分选拔功能，因而深受广大师生的关注和欢迎.因此，重视对“一题两空”题这一题型的研究很有必要.

1 “一题两空”题的结构

“一题两空”题是将4个填空题中的一个，由原来的一个空改为了两个空，一般安排在填空题的压轴或次压轴题的位置. “一题两空”题的分值仍为5分，两个空一个2分一个3分，题后括号内的注释语为“第一空2分，第二空3分.”

2 “一题两空”题的特点

“一题两空”题设置的两个空，一般前一个空较简单，后一个空要难于前一个空，无论是哪一个空答对都能得到相应的分数，不象单空题那样答错即失去全部分数，因而“一题两空”题相对于单空题有更高的得分率，增进考生对数学学习的获得感，也更精准地测试和区分了不同层次考生的数学能力水平，增强考试的信度和效度.

3 “一题两空”题的命题途径

近期笔者多次参与了数学原创卷的命题和审题工作，在命题实践中认识到“一题两空”题主要有下面几种命题途径.3.1 一题多答命题

这一类型的“一题两空”题就是设置同一个问题的不同结果分别填在两个空中，其本质是将单空题的一个空拆分为两个空，但相比单空题将结果填在一个空中，增加了考生的得分机率.这在多空题的命题中极少出现的一种类型.

例1 已知抛物线E：y2=8x的焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，若AB=3FB，则l的方程为或  .（每條横线上只写一个可能结果）

解析 依题意可知F（2，0），l的斜率k存在.

设l的方程为y=k（x-2），分别过A，B两点作抛物线准线l′的垂线，垂足为M，N.

设FB=t，则FA=2t，AB=3t.

由抛物线的定义得|AM|=FA=2t，|BN|=FB=t.

在直角梯形AMNB中，cos∠MAB=AM-BNAB=2t-t3t=13，从而tan∠MAB=22，即为l的斜率.而由对称性可知，-22也是l的斜率，故l的方程为y=22（x-2）和y=-22（x-2），故填22x-y-42=0;22x+y-42=0.

点评 本题填写的其实是一个题的两个不同结果，如果是单空题，漏写一个结果就不能得分，而作为“一题两空”题，一是暗示了题目的结论有两个结果，二是即使只想到一个结果，填对的话也能至少得2分.

3.2 并列分答命题

这一类型的“一题两空”题就是在同样题设条件下，设置有同样解题思路和过程，解答不同结论要求的问题，两空分答，将解答结果分别填在两个空中.这在“一题两空”题的命题中较少出现的一种类型.

例2 某校体育节10名旗手的身高分别为：175.0，178.0，176.0，180.0，179.0，175.0，176.0，178.0，180.0，179.0，则这组数据的中位数为;第80百分位数为.

解析 把10个样本数据按从小到大排序，可得175.0，175.0，176.0，176.0，178.0，178.0，179.0，179.0，180.0，180.0，所以中位数为178.0+178.02=178.0.

由80%×10=8，可知样本数据的第80百分位数为179.0+180.02=179.5.

点评 该题在同一个统计背景下命制，考查样本数据的中位数和第80百分位数是并列的两个结论，作答后分别填空即可.

例3 平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，AD=BC=4，CD=41，将△DAC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC⊥平面ABC，则此时三棱锥P-ABC的体积为;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

解析 由AB⊥BC，AB=3，BC=4，解得AC=5.

又AD=4，CD=41，所以AC2+AD2=CD2，即AC⊥AD.如图1，故折起后，PA⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以PA⊥平面ABC，PC为外接球的直径.

所以三棱锥P-ABC的体积为13·S△ABC·PA=13×12×3×4×4=8.

外接球的表面积为4π·4122=41π.

点评 本题是以四边形的折叠为背景命制并列结论的立体几何问题，旨在考查空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，也考查二面角的概念及运算，考查运算求解能力，空间想象能力和逻辑推理能力.3.3 拓展同答命题

这一类型的“一题两空”题就是设置同样题设背景，两个空是特殊与一般的关系，第二空是第一空的推广与拓展.解答时按第二空的一般情形进行作答，得到结论后取第二空中的特殊情况即得到第一空的答案.

例4 一块三棱锥形状的余料P-ABC，其三条侧棱PA，PB，PC两两垂直.现需将其切割成直三棱柱，使得直三棱柱的侧棱与原三棱锥的一条侧棱平行或重合.若PA=4，PB=4，PC=4，则切割得到的直三棱柱的最大体积为  ;不失一般性，若PA=a，PB=b，PC=c，则切割得到的直三棱柱的最大体积为  .（结果用a，b，c表示，其中a，b，c为正实数，第一空2分，第二空3分）

解析 先考虑顶点位置，如图2，若直三棱柱EJG-PKI上底面的顶点J没有落在棱AB上，总可以将EJ延长交棱AB于点F，

过点F作PA的平行线交PB于点H，得到新的三棱柱EFG-PHI，新三棱柱EFG-PHI的体积比原三棱柱EJG-PKI的体积大，其他上底面顶点同理.若要直三棱柱的体积最大，则上底面三个顶点均落在相应的棱上.

因为底面EFG∥底面PBC，所以△EFG∽△PBC.

设EFPB=x，则EGPC=x，EPPA=1-x，0<x<1.

于是EF=bx，EG=cx，EP=a（1-x），故三棱柱EFG-PHI的体积为V=12bx·cx·a1-x=abc2（-x3+x2）.

设f（x）=-x3+x2，0<x<1，则f′（x）=-3x2+2x=x（2-3x）.

由f′（x）>0，得0<x<23;由f′（x）<0，得x<0或x>23，

故f（x）在0，23上单调递增，在23，1上单调递减，

所以当x=23时，f（x）取得最大值，且最大值为f23=427.

从而体积最大值为2abc27.

若a=b=c=4，则最大体积为12827.

点评 本题将三棱锥切割成直三棱柱，通过这一变换，设出变量，构造函数模型，利用导数求得体积最大值.3.4 递进逐答命题

这一类型的“一题两空”题就是设置同样题设条件，有密切联系的两个空，第二空的解答需要借助第一个空的结果才能完成，第一空是基础和关键，这样第一空解答完成且结果正确的情况下，第二空才能顺势作答获取正确的结果.这是在“一题两空”题的命题中出现最多的一种类型.

例5 已知函数f（x）=xex-ax2，若曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线与直线2x-y-6=0平行，则实数a=;函数g（x）=f（x）+ax2的极值点为. （第一空2分，第二空3分）

解析 因为f（x）=xex-ax2，所以f′（x）=ex+xex-2ax=（x+1）ex-2ax，所以f′（-1）=2a.

由题意，得2a=2，所以a=1.

g（x）=xex，则g′（x）=（x+1）ex.

令g′（x）<0，得x<-1;令g′（x）>0，得x>-1.

故函数g（x）的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）.

又g′（-1）=0，所以函数g（x）的极小值点为x=-1，无极大值点.

故填：1，x=-1.

点评 本题递进型两空命制，考查导数的计算、极值点的概念及导数在研究函数单调性中的应用，考查导数几何意义的应用.该题若第一空做不出来或解答错误，就会影响到第二空的解答和结果的正确与否.

例6 已知函数y=x2-2x-1的图象与直线y=m（m∈R）有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a，b，c，d且满足a<b<c<d，则a+b+c+d=;2（d-a）+（c-b）的最大值为.（第一空2分，第二空3分）

解析 在同一直角坐标系内作出函数y=|x2-2x-1|与直线y=m的图象，如图3.

由图象并结合函数y=x2-2x-1，易知a+d2=b+c2=1，所以a+d=b+c=2，故a+b+c+d=4.

由题意，知a，d是方程x2-2x-1=m的两根，b，c是方程x2-2x-1=-m的两根，由一元二次方程的求根公式易得d-a=22+m，c-b=22-m，且0<m<2，

所以2（d-a）+（c-b）=2（22+m+2-m），0<m<2.

设φ（m）=2（22+m+2-m），0<m<2.

由φ′（m）=22-m-2+m4-m2=0，解得m=65.

当0<m<65时，φ′（m）>0，当65<m<2时，φ′（m）<0，

所以函数φ（m）在0，65上单调递增，在65，2上单调递减，所以当m=65时，φ（m）取得最大值，且最大值为φ65=45，故2（d-a）+（c-b）的最大值为45.

故填：4，45.

点评 本题以函数图象相交为背景命制的递进型试题，综合考查函数图象、函数与方程的关系，一元二次方程的求根公式、构造函数、求导、导数在研究函数单调性的应用等知识.3.5 异问各答命题

这一类型的“一题两空”题相当于设置同样题设条件的两道小填空题，两空之间没有什么直接联系，互不干扰，各自成题，是对多个知识点或某个知识点的多个角度的考查，即使有一空答不出来，照样可以完成另一空的作答.

例7 如图4，已知线段AB的长度为10，AB上的两个定点C，D满足AC=BD=1.动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动.在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA，PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.若动点P从点C出发移动3秒，左、右两个扇形的周长之比为 ;若设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S的最小值为 .（第一个空2分，第二个空3分）图4

解析 先解答第一空：当动点P从点C出发移动3秒，此时PA=4，PB=6.

所以左侧扇形的弧长为π3×4=4π3，所以左侧扇形的周长为4+4+4π3=8+4π3.

右侧扇形的弧长为π3×6=2π，所以右侧扇形的周长为6+6+2π=12+2π.

所以左、右两个扇形的周长之比为8+4π312+2π=13（24+4π）12+2π=23.

再解答第二空：先用关于t的式子表示出两个扇形的半径，根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出两个圆锥底面圆的半径，最后列出两个圆锥底面积之和关于t的二次函数关系式，求得最小值.

因为AB=10，AC=BD=1，所以CD=10-1-1=8.

因为PC=t（0≤t≤8），所以PA=t+1，PB=8-t+1=9-t.

设围成的左、右两个圆锥底面圆的半径分别为r，R，则2πr=π3（t+1），2πR=π3（9-t），解得r=t+16，R=9-t6，所以S=πt+162+π9-t62=π36（t2+2t+1）+π36（t2-18t+81）=π18（t2-8t+41）.

所以当t=4∈[0，8]时，S有最小值，且最小值为25π18.

点评 试题以点的移动为背景，考查扇形的周长、面积公式，圆锥的侧面展开图，圆锥的侧面积公式、二次函数的最值等知识的应用.两空的解答各自独立、互不影响.

4 结束语

4.1 数学多空题的引入，无疑对数学高考卷坚持基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，科学把握试题的区分度，全面体现数学科高考的选拔性功能等方面，都发挥积极、良好的导向作用.作为数学教师，无论是新高考地区还是非新高考地区、无论是起始年级还是毕业年级的，都应深入地研究这一新题型在指导数学教与学所潜在的结构、功能和类型特点，以发挥这一新题型更大的教学效益[1].

4.2 参与多空题的命题实践，既能提高数学教师的数学素养，促进专业发展，又能使教师很好地把握题型特点和规律，更能有的放矢地指导学生复习备考.因此，数学教师应多做一些命题实践工作，不断提高个人的数学素养、专业发展和命题水平[1].

参考文献

[1] 李寒.多选题的结构、特点及命题途径樜谈[J].中学数学杂志，2021（03）：56-59.

作者简介 黄翠云（1980—），女，山东青岛人，中学一级教师;曾获得即墨区教育教学优胜个人，即墨区三八红旗手，獲青岛市优质课比赛二等奖;主要研究中学数学教学;有多篇论文发表.