2021年高考中“数学建模”试题背景与STEAM教育理念的考查分析

【摘 要】 数学建模素养是对现实问题进行数学抽象，构建数学模型解决实际问题的素养.对高考试题中数学建模素养水平的考查进行分析，并结合STEAM教育理念对数学建模试题背景进行赏析，积极引导师生在课堂中对数学建模教学的重视和改进，进而发展学生数学建模素养.

【关键词】 数学建模;STEAM教育;高考试题背景

数学建模是对现实世界中的实际问题进行提炼、抽象为数学模型，求出数学模型的解，验证数学模型的合理性，并用数学模型提供的结论再来解释实际问题的一种应用过程[1].《普通高中数学课程标准（实验）》提到数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程[2].《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《17课标》）定义数学建模活动为对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.并且《17课标》将数学建模活动与数学探究活动作为数学课程内容的四条主线之一[3].

STEAM即科学（Science）、技术（Technology）、工程（Engineering）、艺术（Art）、数学（Mathematics）的首字母缩写，融合了多个领域的教育理念，在探索本土化过程中有学者进行了相关的理论探讨[4].数学建模活动作为培育学生核心素养的重要形式受到广泛关注，将STEAM教育理念融入数学建模，帮助学生感受数学在科学、技术、工程和艺术等领域中的应用，激发学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的实践能力.高考对中学生的数学教育有导向性作用[5]，分析高考试卷中数学建模试题的分布、素养考查水平和其与STEAM教育理念的融合，有助于促进高考试题中数学建模试题背景的命制，同时帮助教师把握新课标改革趋向，针对性提升学生的数学建模素养.

1 2021年高考“数学建模”试题分布

2021年全国各地高考共有8套数学试卷（10份），分别是全国甲卷、全国乙卷的理科卷和文科卷，新高考Ⅰ卷，新高考Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷和浙江卷.在试题背景中涉及数学建模情境的共有20题，统计试卷、题型、建模模型背景和分值等信息（见表1）并分析其特点.

首先，在2021年高考数学的8套试卷（10份）中均有建模背景的考查.从占分比重来看，最少为浙江卷（6.67%），最多为全国甲卷理科（18%），在不同区域的高考试卷中差异性较大.就整体而言，试卷中主要以纯数学问题为主;其次，2021年高考仅全国卷保留文理分科，在建模试题背景中，全国甲卷有三道题目文理同题，全国乙卷有一道题目文理同题，理科卷的建模背景试题多于文科卷;最后，根据题型和分值来看，试卷涉及选择题、填空题和解答题，情境创设和考查方式灵活.除天津卷和浙江卷外，都存在一道分值较高的建模背景解答题.

2 2021年高考“数学建模”试题素养水平层次

2.1 数学建模试题素养水平划分

《17课标》研制了学业质量标准，从情境与问題、知识与技能、思维与表达和交流与反思来体现数学学科核心素养，对数学建模素养划分了三个水平并附有质量描述[3].喻平提出从知识理解、知识迁移到知识创新三级水平的核心素养评价框架[6].结合这两者，对数学建模素养进行三个水平划分来对2021年高考试题的建模素养进行分析（见表2）.

2.2 数学建模试题素养水平表现

统计各份试卷中数学建模素养不同水平考查分值，转化为总分占比（见表3）.

根据表3可以看出，除了天津卷和浙江卷中建模素养水平三没有出现外，其他地域的总分占比均衡，考查学生创新性使用相关数学模型解决问题中的复杂情境.水平一和水平二中比例适当，高考试题的建模素养评价较为合理.

3 高考“数学建模”试题背景与STEAM教育理念赏析

3.1 数学建模与“S”（科学情境）的结合

经过分析归类，认为2021年高考试题背景中有6道题目涉及科学情境，分别是全国甲卷中青少年视力测量模型、新高考Ⅰ卷抽球概率模型、新高考Ⅱ卷微生物繁殖模型、北京卷新冠肺炎检测模型、天津卷猜谜语概率模型、浙江卷抽球概率模型.以新冠肺炎检测模型为例赏析试题中的科学情境.

例1 （2021年北京卷第18题·14分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染病毒.

（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数;

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）;

（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E（Y），试比较E（X）和E（Y）的大小（直接写出结果）.

评析 例1是对建模水平三的考查.试题背景与生活热点抗疫相结合，以科学方法检测新冠肺炎疫情，考查学生对实际问题的解决能力.问题（1）采用“10合1检测法”模型，要求学生求出检测出两名患者的次数以及分布列和数学期望;问题（2）为“5合1检测法”模型，求检测次数的数学期望.这道题属于中等难度题型，主要考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析素养.

3.2 数学建模与“T”（技术情境）的结合

试题背景中有4道题目背景与技术情境相关，分别是全国甲卷中的珠穆朗玛峰高程测量模型和机床产品生产质量模型、全国乙卷中设备产品生产模型和北京卷圆锥形容器模型.以测量珠穆朗玛峰高程模型为例赏析技术情境.

例2 （2021年全国甲卷（理）第8题·5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.

如图1是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.

由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为（  ）（3≈1.732）.

A.346   B.373   C.446   D.473

评析 例2是对建模水平二的考查.通过介绍测量珠峰高程的三角高程测量法，要求学生理解测量珠峰模型的构造并使用题目中给出的数据，进而带入求解.题目难度属于中等，给出测量珠峰高程模型，引导学生通过知识迁移来解决题目中的问题，主要考查学生的数学抽象、数学建模、直观想象和数学运算素养.

3.3 数学建模与“E”（工程情境）的结合

试题背景中有4道题目背景与工程情境相关，分别是全国甲卷中的某地农村经济情况模型、新高考Ⅰ卷中“一带一路”知识竞赛概率模型、新高考Ⅱ卷北斗三号全球卫星导航模型和上海卷企业营业额模型.以北斗三号全球卫星导航模型为例赏析工程情境.

例3 （2021年新高考Ⅱ卷第4题·5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为

S=2πr2（1-cos α）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（  ）.

A.26%  B.34%  C.42%  D.50%

评析 例3是对建模水平一的考查.以我国自主研发的北斗三号全球卫星系统工程为情境，通过给出卫星信号覆盖地球表面的表面积模型和卫星的轨道高度，引导学生熟悉模型，能够根据所给数据代入模型求解，考查卫星信号覆盖地球表面积与地球表面积的百分比，难度较易.主要考查学生的数学抽象、数学建模、直观想象和数学运算素养.3.4 数学建模与“A”（艺术情境）的结合

试题背景中有4道题目背景与艺术情境相关，分别是全国乙卷中北京冬奥会分配志愿者模型、新高考Ⅰ卷中艺术剪纸模型、上海卷参观花博会路线模型和天津卷影视评分模型.以艺术剪纸模型为例赏析艺术情境.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷第16题·5分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180 dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

评析 例4是对建模水平二的考查.以中华优秀传统文化民间剪纸艺术为情境，通过给出折纸时的轴对称模型，求剪纸时对折后图形的种类和图形面积.这道填空题中有两个空，难度梯度呈现，考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算素养.3.5 数学建模与“M”（数学史情境）的结合

试题背景中有2道题目背景与数学史情境相关，分别是全国乙卷中的刘徽《海岛算经》高度模型、浙江卷“赵爽弦图”模型.以“赵爽弦图”模型为例赏析数学史情境.

例5 （2021年浙江卷第11题·4分）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图2所示）.若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面積为S1，小正方形的面积为S2，则S1S2=.

评析 例5是对建模水平一的考查.以我国传统数学史“赵爽弦图”为情境，通过展示弦图模型，让学生了解其构造并整体把握，进而求出模型中大正方形面积和小正方形面积之比.难度较易，考查学生的数学抽象、数学建模、直观想象和数学运算素养.

4 启示

4.1 优化建模素养水平评价，在反馈中改进建模学习方式

高考作为重要的评价方式，试题中蕴含着课程改革过程中评价理念的内涵，对高考数学建模试题进行评价分析，有助于深化师生对建模素养要求的理解.接下来，在课程标准的评价建议和已有的评价理论成果下，进一步优化数学建模素养评价原则和评价体系，提出更加细化和更加精准的评价框架，结合日常测评和考试结果对数学建模课堂进行反馈，并以此为依据来科学地改进建模学习方式，提升学生的数学建模素养.

4.2 关注STEAM教育理念，在情境中发展建模学习能力

以核心素养为引领的新一轮课程改革，要求学生能够运用自身所学，会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.其中数学的语言便是数学模型，它构建了数学与现实世界的桥梁，科学、技术、工程、艺术等学科在科学化的过程中都要使用数学模型来刻画研究对象的性质、关系和规律[7]. 以2021年高考中的建模试题为例，教师在讲解数学知识时，与学生共同分析试题情境的融入，将STEAM教育理念落实到数学课堂教学中，帮助学生在现实情境、数学情境和科学情境中理解数学本质，感悟数学基本思想，进而发展数学核心素养.

4.3 强化学生问题解决意识，在生活中提高建模的学习和应用

数学建模的本质是解决现实生活中经过数学抽象而得到的模型，高考数学试题中还原真实情境，考查学生问题解决能力[8].在日常教学中，除了专门设置的数学建模活动与数学探究活动外，教师应强调利用数学知识来解决现实生活中的问题，激发学生的问题意识，引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.在建模过程中指导学生进行师生交流和生生交流，并鼓励对数学问题进行转化应用到相关的生活情境中，进而提升对数学建模的灵活性.

参考文献

[1] 邵光华，蒋周渠.数学建模素养评价模型与案例分析[J].中国数学教育，2020（08）：3-10.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4] 宋乃庆，陈珊，沈光辉.学生STEAM素养的内涵、意义与表现形式[J].课程·教材·教法，2021，41（02）：87-94.

[5] 张瑾，刘金海.2019年高考中数学文化的考查研究[J].数学通报，2020，59（01）：52-56.

[6] 喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26（02）：19-23.

[7] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018，27（01）：8-10.

[8] 叶立军，奚露薇.2020年中考“数学建模”试题命题特征及启示——以浙江中考试题为例[J].中学数学杂志，2020（10）：36-40.

作者简介 王莹（1986—），女，河南许昌人，中学二级教师;荣获2021年度建安区高中数学学科区级骨干教师和区级优秀教师;主要研究高中数学教学与数学解题.