重视核心概念生成关注抽象素养培养

2022-05-28孔繁晶

中学数学杂志(高中版) 2022年3期

【摘要】 “随机事件和样本空间”兼具知识预備与单元导引的双重价值.依据大概念教学理论，从内容本质与常见问题分析入手，围绕“如何获得研究对象”这一核心任务，进行整体教学设计，让学生在具体情境中体会“随机性”，利用集合语言刻画随机现象，抽象获得核心概念，并开展类比、联想研究事件关系，为概率单元的学习与随机思想的形成奠定基础.

【关键词】核心概念;样本空间;随机事件;数学抽象

概率是研究随机现象规律的数学分支，为人们提供了从不确定角度认识客观世界的思维模式和解决问题的方法.随着课程改革的深入推进，概率早已成为中学数学课程的重要组成部分，承担着培养学生分析随机现象能力，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算等核心素养的育人任务.

“随机事件和样本空间”作为概率单元起始课，兼具知识预备与单元导引的双重价值.一方面，本课时的首要任务是使得学生获得研究对象——随机事件.《普通高中数学课程标准（2017年版）》首次引入样本点和样本空间，用集合语言刻画随机现象，进而抽象出“随机事件”，这无疑给核心概念的生成带来了新生机，当然也带来了教学上的新挑战.另一方面，本单元是高中课程第一次全面研究不确定现象，从研究内容到研究思想，再到研究路径都与以往学习存在较大差异.故从单元起始课起，教师就需高处着眼，引导学生了解随机研究领域，培养随机思想.然而，我们却发现在实际教学中这两方面都还存在着诸多不尽如人意之处，或是教师对于教学内容认识不够深刻导致教学设计偏差，或是受“一定义三注意”概念教学方式影响认为其并非要害，无需多费心思.针对此内容的研究更不多见，据统计自2017年以来，中国知网收录的相关文章仅9篇.

近年来，大概念教学理念逐步走入人们的视野.聚焦大概念，拨冗去繁、突出重点，可以较好地联结学科知识构建与核心素养培养，为解决“随机事件和样本空间”的教学问题，统领概率单元概念教学提供了新样态和新途径.

基于此，现就本课时的教学思考和相关设计浅谈一二.

1 基于大概念理论的教材内容解构与常见问题剖析

章建跃老师曾指出改进教学要从加深理解内容入手.在日常概率教学中，我们发现教师经常因自身专业储备不足，概率基础知识理解不深，思想方法把握不准而导致教学趋于浅层，甚至出现偏差.故先进行核心内容和常见问题分析就显得尤为重要.1.1 几个概念1.1.1 随机现象

随机现象是概率论研究的起点.教材中描述其为“在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能确定出现哪种结果的现象”.第一，随机现象是一种“现象”，它广泛存在于生活当中，是事物表现出来的外部形态，以人们感性经验为基础的认识.因此对其理解需要大量具体实例的支撑;第二，随机现象具有“随机性”，这明确了概率的研究范围，用辩证唯物主义观点来看，随机性是客观存在的，人们对确定性和随机性关系的认识推动科学不断进步，同时也会随着科学进步而不断深入，由此可见，确定性只是随机性的一种特殊状态.由于考虑到随机现象的复杂性与学生现阶段的认知储备，高中必修课程中概率的研究对象仅限于结果有限、不可预知、频率稳定的随机现象[1].1.1.2 试验

试验是概率论的初始型概念，分析随机现象的数量规律需借助试验进行，随机事件的认知更是建立在试验的认知之上.教材指出“对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验.”虽是描述性概念，但仍需究其深意：第一，试验是可以重复的;第二，所有可能的结果是明确可知的;第三，每个结果的出现都具有随机性.

1.1.3 样本点和样本空间

样本点和样本空间是描述试验结果，测量随机事件的基础，构建样本空间是概率建模过程中关键的一步.教材中以具体试验为例，把“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是k”记为ωk（k=1，2，3，4，5，6），指出像ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6这样不可能再细分的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间.这里明确试验的每一个可能结果都是样本点，重点强调“不可能再细分”，这是构建样本空间的原则.并以具体实例探究建构样本空间的程序和技巧，如递进设计抛掷一枚、两枚乃至三枚硬币，写出其各自的样本空间（图1）.由此明确样本点仅由问题背景决定.

同时，“描述样本点”还是培养符号语言的良好载体，如引导学生利用不同语言描述样本空间（表1），对比优化的同时，寻求化归统一，为后续学习伯努利试验做准备[2].

1.1.4 随机事件

随机事件作为概率的研究对象，是单元起始课的核心概念，更是整个单元知识体系的基石.与以往旧教材描述性定义不同，新教材定义随机事件为“样本空间的子集”，即通过试验将随机现象从外部世界抽象出来，并运用集合语言加以刻画，简而言之，随机事件是随机现象数学化.随机事件的本质是试验表现出的一种结果，事件的发生就是当且仅当满足某种条件的样本点出现.在此基础之上，进一步类比特殊集合，了解空集是不可能事件，全集是必然事件，且两者均是随机事件的极端情况，这些基本观念建立后就可以寻觅产生结果的原因了.

1.2 一条主线

大概念教学倡导围绕位于学科、单元或是课时顶层的关键性概念，将具体知识按照一定的逻辑线索，组织层级结构分明的教学.据统计，概率单元起始课时“随机事件和样本空间”涵盖各级概念共计12个，面对这样繁杂的学习内容，首先需要明确该课时的“大概念”与“大任务”“使学生获得概率研究对象随机事件”正是单元起始课的核心.新教材在该问题上进行了重构（如图2），旨在解决以往随机事件在抽象生成和深度理解上的困扰，同时该路径所获概念更加接近大学公理化定义，为高等数学的学习做了基础性的铺垫.

此外，除了“获得研究对象”这一明线外，本课时还有一条思想暗线，即通过对于“随机性”从感性到理性的体验，初步形成“随机思想”.

1.3 若干问题

基于以上分析，再反观日常概率单元起始课教学，我们归纳问题如下：

1.3.1 未处理好点

随机现象积累不足.教学中常因“随处可见”而忽视引导学生从感性到理性深入感受，这不利于研究动因的形成、研究对象的获取以及“随机性”的体会.

试验重视不足.试验是开展概率研究的工具，教学中常会引导学生以像“抛一枚硬币”“掷一颗骰子”等感性、具象地认识“试验”，但缺乏对这一基础性概念更深层次的理解.

随机现象与随机事件关系理解不深.混淆两概念是概率教学中的常见难点，由此折射出学生乃至教师对于概念及其关系理解的盲点.

样本空间构建原则不清.选择适当集合语言构建样本空间并不容易，样本点“不可再分”的原则易说不易做，学生缺乏建构技巧，容易忽视不同结果的顺序问题.1.3.2 未勾勒出线

碎片化的概念生成使得学生应接不暇，却又不明就里.究其原因，多是教学时缺乏逻辑准确、路径鲜明的主线将诸如随机现象、样本点和样本空间、随机事件等重要概念串珠成线，织线成网，形成系统的知识结构.

1.3.3 未深究入髓

随机思想是统领概率单元教学的关键，没有引导深层学习的教学极易造成学习的片面和短视，学生仅停留在机械的模仿与操作层面，无法深入体会概率知识背后所蕴含的逻辑根据、思想方法和价值意义.

2 基于大概念理论的教学设计片段及思考

为了解决以上问题，教师在概率单元起始课教学设计时需站位高远，以概率核心思想为指导，一以贯之地处理好单元概念教学，尤其重视初始概念教学.2.1 设置情境，体验随机现象

活动1：出示一个布袋，里面装有红球4个.

问题1-1：（1）同学们，现在闭上眼睛从袋中随意摸出一球，该球是红球吗？

生：一定是.

（2）那会是白球吗？

生：一定不是.

师：像这种在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象，称为确定性现象.

教师又将1个白球放入布袋.

（3）现在再从袋中随意摸出一球，该球一定是红球吗？

生：不一定.

追问：什么叫“不一定”？

生：有可能是，也有可能不是.

师：在一定条件下，事先不能确定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.

问题1-2：请观看短片，你能分析出短片中哪些现象是随机现象吗？

互动情境短片：某日，我校篮球队和兄弟学校比赛.关键时刻，小明应当把球传给位于投篮位置的7号、9号和11号哪位球员（后出示三个球员的投篮命中率，学生帮助选择）;比赛结束后，大家要买饮料，抽签决定派12人中的两个人去对面的超市买饮料（计算机模拟抽签）;两人对于选择A还是B两种品牌的饮料意见不统一，一时难以抉择，于是抛硬币决定，若正面向上就选A，若反面向上就选B（一名同学现场演示）;结账后，小x从购买的饮料中随便拿了一瓶，打开瓶盖，竟发现自己中奖了.

学生讨论提取现象：（1）小明在三个球员中选择一位传球，他选择了11号;（2）从12人中抽签决定派两人去跑腿，抽中小x和小y;（3）抛一枚硬币，正面向上;（4）小x拿一瓶打开，发现中奖了.

问题1-3：这些随机现象有什么共同的特点吗？

师生共同分析：就一次观测而言，事先预知可能有几种结果;某种结果可能发生也可能不发生，具有偶然性;根据初中学习和生活经验可知，若是重复大量的观测，每个结果出现的可能性大概有一定的规律.

问题1-4：生活中随机现象随处可见，你还能举出几例吗？

教师引导学生从游戏（掷骰子、抽扑克牌）、应用（股票投资、基金理财）等方向尋找.并总结：在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的随机现象.虽然其结果具有不确定性，但若是我们能够了解并掌握内在规律，就可以帮助我们做出更优化的选择.

设计意图随机现象是概率研究的起因和起点，虽然生活中充斥着大量的随机现象，但学生很少会有意识地加以思考，概率单元起始课要汇集足够的数学经验，让学生明确即将研究问题的生活来源，故笔者设计“摸球演示”“短片互动”“个人举例”三步情境引入.“摸球演示”旨在借助初中熟悉模型，引出确定性现象和随机现象;“短片互动”旨在引导学生通过自身体验、信息技术辅助等沉浸式体会“随机性”，又在其中渗透概率内容的特点，如“中奖”案例帮助学生体会概率含义，“传球”案例则引导学生理解利用概率进行合理决策，再通过选择的11号并未进球这一结果，说明即便合理决策也未必一定取得好的结果，进而深化“随机性”的认识;“个人举例”则是推动学生由习得到生成.

2.2 抽象生成，建构核心概念

师：随机现象虽然具有“随机性”，但其内在数量规律往往对于生产生活有很大的价值，因此下面我们开始研究随机现象的数量规律，这是概率单元的主要学习任务.

问题2：那如何展开随机现象研究呢？

设计意图提出“大任务”推动学生学习，这一目标将成为串起本课时乃至本单元内容的主线.根据学生所提，师生共同找寻研究方向，可以从具体例子开始，可以让条件重复实现，进行观测.

教师给出试验的概念：对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验.而试验的每一种可能的结果都蕴含着某种统计规律.

问题3：试验具有什么共同的特点吗？

学生以情境中的摸球、选人、抽签、抛硬币、抽奖为例，归纳得出试验特征：（1）试验是可以重复的;（2）所有可能的结果是明确可知的;（3）每个结果的出现都是具有随机性的.

设计意图试验是描述型概念，通过“摸”“选”“抽”“抛”等动作描述，引导学生指向结果分析，为引出样本空间做铺垫.

问题4-1：请以“掷一枚骰子，观察朝上一面”为例，说出其所有可能的结果.

生：1点、2点、3点、4点、5点、6点.

问题4-2：也就是说这些试验的结果是一些确定的、不同的对象，我们可以将它们集结到一起，能用熟悉的数学语言加以刻画吗？

生：可以，所有可能的试验结果构成一个集合.

师：非常好！我们用集合语言刻画：{1点、2点、3点、4点、5点、6点}.

教师给出样本点和样本空间的概念：我们把“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是k”记为ωk（k=1，2，3，4，5，6）.像上述ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6这样不可能再细分的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω，即Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}.

问题4-3：请分析概念中的关键词.

生：不可再分.也就是对于这个试验来说，样本点是最小的结果单位了.

师：非常好！这是样本空间的构建原则，“不可再分”完全由问题的背景决定.

问题4-4：我们试着用文字、用字母表示样本点，还能再简单些吗？

生：Ω={1，2，3，4，5，6}.

设计意图引导学生从具体试验入手，通过知识迁移，以集合语言作为工具刻画试验结果，建立了随机现象的数学模型.强化“样本点不可再分”这一构建原则，为后续进一步分析复杂样本空间奠定理论基础，并且在样本点的表述上，经历了从文字到字母，再到数字的抽象过程，体会如何规范且简洁地书写样本空间，提升学生数学表征水平[3].

问题5-1：抛掷一颗骰子，结果向上的点数为偶数.你能用集合将其表示出来并解释吗？

生：{2，4，6}.当抛掷一颗骰子，向上的点数是偶数时，{2，4，6}中的一个样本点发生;反过来，{2，4，6}中的一个样本点发生，则抛掷一颗骰子，向上的点数是偶数.

问题5-2：这个集合与样本空间有什么关系？

生：是样本空间的子集.

师：是的.我们将样本空间的子集称为随机事件，也称为事件.事件一般用A，B，C……等大写英文字母来表示.

“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为偶数”记为事件A，值得注意的是一个事件的完整表述分为两个部分，前一部分是试验的条件，后一部分为试验的结果.这里事件A={2，4，6}，即当一个试验的结果是A的一个元素时，事件A就发生了.问题5-3：针对这一试验，你还能提出哪些事件？并试着用集合表示该事件吗？

学生讨论，给出多个事件，如表2.

问题5-4：请大家观察，同学们写出的随机事件中哪些比较特殊？为什么？

生1：事件E和事件F比较特殊.事件E包含了所有的样本点，事件F没有一个样本点.

生2：事件B也比较特殊，它只包含一个样本点.

追问：能从集合的角度认识它们吗？

生：分别是全集、空集以及含有一个元素的集合.

师：很重要的发现.Ω（全集）称为必然事件，（空集）称为不可能事件.它们是随机事件的极端情况，本身并不具有随机性.

当一个事件仅包含单一样本点时，称为基本事件.

设计意图随机事件是本课时的核心概念，也是概率单元的线索，其生成是单元起始课的重点也是难点.笔者通过设计问题串，用集合语言刻画随机现象，推动随机现象数学化，最后，放手让学生自由提出“抛掷骰子”试验的随机事件，这是从“学”到“用”的升华，并在应用中引导学生类比集合发现并定义随机事件的特殊情形.至此，核心概念建构完成，并在建构中培养学生数学抽象素养.

2.3 知识迁移，探寻事件关系

问题6-1：请大家观察事件A和事件B，你能用集合语言分析A，B两者之间的关系吗？

生：B A.就是若B发生，A一定发生.

师：非常好！我们发现B A，即“事件B发生必导致事件A发生”.这时，称B是A的子事件.

追问：同学们列举的这些事件中还存在著这样的关系吗？

学生一一找出.

问题6-2：刚才的问题给了我们一个思路：可以类比集合的关系和运算研究事件的关系与运算，对吗？请大家仔细研究，尝试还有什么发现？

生1：我发现D=G∪H，也就是“事件G与H至少有一个发生就是D发生”.

师：我们称D是G与H的并，也称D是G与H的和，并记作D=G+H.

生2：我发现G=A∩D，也就是“事件A与D同时发生就是G发生”.

师：我们称G是A与D的交，也称G是A与D的积，并记作G=AD.

设计意图事件的关系和运算是集合语言刻画随机事件的后续生成.针对样本点、样本空间、随机事件及其关系，引导学生类比迁移，通过集合的“子”“交”“并”，自行研究事件的关系与运算.如此设计，学生一方面厘清知识间的联系，更重要的是学会了提出问题，探索研究问题的路径.