2022届高考模拟考试理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，时量120分钟.满分150分.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知z∈C，z+|z-|=2+i，则z等于（）.

A. -34+iB. 34-iC. -34-iD. 34+i

2.设全集U=R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1}，则图1中阴影部分表示的集合为（）.

A. {x|x≥1}B. {x|x≤1}

C. {x|0<x≤1}D. {x|1≤x<2}

3.有下列四个命题：

①x∈R，2x2-3x+4>0;

②x∈{1，-1，0}，2x+1>0;

③x0∈N，使x20≤x0;

④x0∈N*，使x0为29的约数.

其中真命题的个数为（）.

A. 1B. 2C. 3D. 4

4.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3-2x2，则f（2）+g（2）=（）.

A. 16B. -16C. 8D. -8

5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E=23A1D，AF=13AC，则EF与C1D1所成角的余弦值为（）.

A. 39B. 66C. 33D. 63

6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）.

A.每人都安排一项工作的不同方法数为54

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A45C14

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（C35C12+C25C23）A33

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C13C24A33+C23A33

7.将函数f（x）=cosx的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω（ω>0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在（π2，3π2）上没有零点，则ω的取值范围是（）.

A. （0，29]∪[23，89]B. （0，29]

C. （0，29]∪[89，1]D. 0，1

8.如圖3是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=60°，∠BCD=120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为（）（结果精确到1米）.

（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A.39米B.43米C.49米D.53米

9.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤23”的概率，则P=（）.

A. 23B. 12C. 49D. 29

10.设函数f（x）=lnx+ax2-32x，若x=1是函数f（x）的极大值点，则函数f（x）的极小值为（）.

A.ln2-2B.ln2-1C.ln3-2D.ln3-1

11.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上有一点P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上，且QF1⊥QP，sin∠F1PQ=513，则该椭圆离心率的取值范围是（）.

A. 2626，1B. 15，53

C. 15，22D. 2626，22

12.已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2-2lgalgb+lgblgc=0，则a，b，c的大小关系不可能是（）.

A.a=b=cB. a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.

13.若双曲线的渐近线方程为y=±34x，则双曲线的离心率为.

14.已知向量a=（-1，2），b=（m，1），若向量a+b与a垂直，则m=.

15.凤山妈祖不仅是美丽汕尾的景点之一，更是渔民航海的方向标.一艘渔船向正北方向航行，在A处看到妈祖在北偏东30°方向.继续航行了30海里到达B处，看到妈祖在北偏东75°方向.问B处与妈祖的距离是海里.

16.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为点Q.当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于.

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了10个家庭的样本，得到数据见下表所示.10个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）

家庭12345678910收入x20303340151326383543支出y7981154810

910

（1）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.一个家庭或个人收入越少，用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大.对一个国家而言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就越大.恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计这个国家达到最富裕（恩格尔系数<30%）的家庭比例;

（2）建立y（支出）关于x（收入）的回归方程（系数精确到0.01，并解释b^及a^现实生活意义.

参考数据：∑10i=1xi=293，∑10i=1yi=81，∑10i=1x2i=9577，

∑10i=1y2i=701，∑10i=1xiyi=2574.参考公式：回归方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2，a^=y--b^x-.

18.（本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点.

（1）证明：EF∥平面BCC1B1;

（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，a1=1，S2n=a2n+1-λSn+1，其中λ为常数.

（1）证明：Sn+1=2Sn+λ;

（2）是否存在实数使得数列an为等比数列？若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=2px（p>0），Q为C上一点且纵坐标为4，QP⊥y轴于点P，且|QP|=12|QF|，其中点F为抛物线的焦点.

（1）求抛物线C的方程;

（2）已知点M（12，-2），A，B是抛物线C上不同的两点，且满足kAM+kBM=-85，证明直线AB恒过定点，并求出定点的坐标.

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ex-

ln（x+t）+t.

（1）若x=0是f（x）的极值点，且f（x）-k≥0在定义域内恒成立，求k的取值范围;

（2）当t≤2时，证明：f（x）>t.

请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）已知平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2-6x-8y=0，直线l1：x-3y=0，直線l2：3x-y=0，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.

（1）写出曲线C的参数方程以及直线l1，l2的极坐标方程;

（2）若直线l1与曲线C分别交于O，A两点，直线l2与曲线C分别交于O，B两点，求△AOB的

面积.

23.（本小题满分10分）已知函数fx=x-1a+x+a，a>0.

（1）若a=2，求不等式fx≤3的解集;

（2）若关于x的不等式fx>4恒成立，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A

8.D9.D10.A11.D12.D

二、填空题

13.54或53

14.715.15216.312

三、解答题

17.（1）由题意可知，

10个家庭的恩格尔系数见下表所示：

家庭 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 恩格尔系数/%35 3024.24 27.5 33.33 30.77 30.77 26.32 25.71 23.26

所以这个国家达到最富裕的家庭有5个，估计这个国家达到最富裕的家庭比例为510=12.

（2）x-=∑10i=1xi10=29310=29.3，y-=∑10i=1yi10=8110=8.1，

所以b^=∑10i=1（xi-x-）（yi-y-）∑10i=1（xi-x-）2=∑10i=1xiyi-∑10i=1xiy--∑10i=1yix-+10x-y-∑10i=1x2i-2x-∑10i=1xi+10x-2=2574-293×8.1-81×29.3+10×29.3×8.19577-2×29.3×293+10×29.32≈0.20.

a^=y--b^x-=8.1-0.20×29.3=2.24，所以y关于x的回归方程为y^=0.20x+2.24.b^的现实意义为收入每增加1百元，估计支出增加的值;

a^的现实意义为用于购买生存性的食物的最少支出.

18.如图4，连接AC1，BC1.

因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以E为AC1的中点.

又因为F为AB的中点，所以EF∥BC1.

又EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

所以EF∥平面BCC1B1.

2以点A1为原点建立如图3所示的空间直角坐标系A1-xyz.

则A（0，0，6），B1（0，4，0），E（2，0，3），F（0，2，6）.

所以B1F=（0，-2，6），AE=（2，0，-3），AF=（0，2，0）.

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则n·AE=2x-3z=0，

n·AF=2y=0.

令x=3，得n=（3，0，2）.

记B1F与平面AEF所成角为θ，则

sinθ=|cos<B1F·n>|=|B1F·n

|B1F|·|n|=313065.

19.1因为an+1=Sn+1-Sn，S2n=a2n+1-λSn+1，

所以S2n=（Sn+1-Sn）2-λSn+1.

所以Sn+1（Sn+1-2Sn-λ）=0.

因为an>0，所以Sn+1>0.

所以Sn+1-2Sn-λ=0.

所以Sn+1=2Sn+λ.

2因为Sn+1=2Sn+λ，Sn=2Sn-1+λ（n≥2），

相减，得an+1=2an（n≥2）.

所以{an}从第二项起成等比数列.

因为S2=2S1+λ，即a2+a1=2a1+λ.

所以a2=1+λ>0，得λ>-1.

所以an=1，n=1，（λ+1）2n-2，n≥2.

若使an是等比数列，

则a1a3=a22，即2（λ+1）=（λ+1）2.

解得λ=1，经检验，符合题意.

故存在λ=1，使得数列an为等比数列.

20.1设点Q（x0，4），由抛物线的定义可得|QF|=x0+p2.又QP⊥y轴于点P，且|QP|=

12|QF|，所以|QF|=2x0，即x0+p2=2x0，所以x0=p2.

又点Q（x0，4）在抛物线上，所以42=p2，p>0，解得p=4，所以抛物线的方程为y2=8x.

2由1可知，M（12，-2）在抛物线上，设直线AB的方程为x=my+n，点A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+n，y2=8x，得y2-8my-8n=0.

故y1+y2=8m，y1y2=-8n.

所以kAM+kBM=y1+2x1-12+y2+2x2-12

=y1+2y218-12+y2+2y228-12

=8y1-2+8y2-2

=8（y1+y2）-32y1y2-2（y1+y2）+4

=64m-32-8n-16m+4=-85.

解得n=3m-2，所以直线AB的方程为x+2=m（y+3），恒过定点（-2，-3）.

21.（1）因为f（x）=ex-ln（x+t）+t，所以f ′x=ex-1x+t.

因为x=0是f（x）的极值点，

所以f ′0=e0-1t=1-1t=0，解得t=1，经检验t=1符合题意，此时函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）.因为f ′（x）=ex-1x+1=ex（x+1）-1x+1，

设g（x）=ex（x+1）-1，则

g′（x）=ex（x+1）+ex>0，

所以g（x）在（-1，+∞）上单调递增.

又因为g（0）=0，所以当x>0时，g（x）>0.即f ′（x）>0.

当-1<x<0时，g（x）<0，f ′（x）<0，所以f（x）在（-1，0）上单调递减.在（0，+∞）单调递增.

因此f（x）的最小值为f（0）=2.

因为f（x）-k≥0在定义域内恒成立，

所以k≤fxmin=2，即k≤2.

2要证f（x）=ex-ln（x+t）+t>t，即证ex-ln>（x+t）>0.

设F（x）=ex-ln（x+t），即证F（x）>0.当t≤2，x∈（-t，+∞）时，

ln（x+t）≤ln（x+2），

故只需证明当t=2时，F（x）>0.当t=2时，函数F′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上

单调递增，且F′（-1）<0，F′（0）>0.

故F′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（-1，0）.当x∈（-2，x0）时，F′（x）<0，F（x）单调递减，

当∈（x0，+∞）时，F′（x）>0，F（x）单调递增，

从而当x=x0时，F（x）取得最小值.

由F′（x0）=0，得ex0=1x0+2，lnx0+2=-x0.

故F（x）≥F（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

综上，当t≤2时，F（x）>0，即f（x）>t.

22.1依题意，曲线C：（x-3）2+（y-4）2=25.

所以曲线C的参数方程是x=3+5cosαy=4+5sinα（α为参数）.

因为直线l1：x-3y=0，直线l2：3x-y=0，

所以l1，l2的极坐标方程为l1：θ=π6（ρ∈R），l2：θ=π3（ρ∈R）.

（2）因为曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入

得ρ1=4+33.

所以A（4+33，π6）.

把θ=π3代入，得ρ2=3+43.所以B（3+43，π3）.

所以S△AOB=12ρ1ρ2sin∠AOB=12（4+33）（3+43）sin（π3-π6）=12+2534.

23.（1）a=2时，不等式为|x-12|+|x+2|≤3，

當x≤-2时，不等式化为-x+12-x-2≤3，解得x≥-94，此时-94≤x≤-2.

当-2<x<12时，不等式化为52≤3恒成立，此时-2<x<12.

当x≥12时，不等式化为x-12+x+2≤3，解得x≤34，此时12≤x≤34.

综上，不等式的解集为[-94，34].

（2）因为f（x）=|x-1a|+|x+a|≥|（x+a）-（x-1a）|=|a+1a|，

f（x）>4fxmin>4，

所以|a+1a|>4.

又因为a>0，所以a+1a>4.解得0<a<2-3或a>2+3.即a的取值范围是

（0，2-3）∪（2，+3，+∞）.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：李昌成（1977-），男，四川省资阳人，本科，中学正高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]