基于强化基础和素养导向的高考数学备考策略

摘要：自2017年版新课程标准实施以来，数列的考查方向更明确，内容更清晰，文章对新旧课程标准中数列教学要求做了简单分析，通过对2017-2021年全国卷中数列解答题知识详细考点分析，归纳出了六种基本问题并做了经典试题分析，基于此给出了备考复习建议.

关键词：数列;课程标准;基本问题;复习建议

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0021-05

数列是高中数学重点知识之一，是与大学数学知识衔接的内容之一，在研究和学习过程中，从知识的生成、生发、迁移、重组、融合和创新上培养学生思维能力和综合素养.依据新课程标准，数列模块属于选择性必修课程主题——函数的内容，作为一类特殊的函数，具有递推规律的数学模型，是研究其他类型函数的基本工具.

1 精准领会新课程标准要求

1.1 新旧课程标准教学要求区别

新课标增加了通过数学中的实例了解数列的概念;要求通过生活中的实例理解等差（比）数列的概念，强调了数学与生活的联系，突显了数列的应用性，引导学生感悟数学应用价值;增加了“理解等差（比）数列的通项公式与前n项和公式的关系”，对等差（比）数列提出了更高的要求;新课标强调数学归纳法的应用范围限于“数列”中的一些简单命题.

1.2 两了解、四理解和两体会

了解：数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）;数列是一种特殊函数;数学归纳法的原理.

理解：等差数列的概念和通项公式的意义;等差数列的通项公式与前n项和公式的关系;等比数列的概念和通项公式的意义;等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.

体会：等差数列与一元一次函数的关系;等比数列与指数函数的关系.

重点：提升学生数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养.

2 高考考情统计分析

基本问题高考卷基本问题高考卷

等差（比）数列判定

2021年乙卷理（1）、2021年甲卷文（2）

2019年新课标Ⅱ理（1）、2018年新课标Ⅰ（2）

2017年新课标Ⅲ文（2）

数列与不等式

2021年乙卷文（2）

2021年新高考Ⅱ（2）

2019年新课标Ⅰ文（2）

求通项公式

2021年乙卷理（2）、2021年乙卷文（1）

2021年甲卷文（2）、2021年新高考Ⅲ（1）

2020年新课标Ⅲ文理（1）、2019年新课标Ⅰ文（1）

2019年新课标Ⅱ文（1）、2019年新课标Ⅱ理（2）

2018年新课标Ⅰ文（3）、2018年新课标Ⅱ理（1）

2018年新课标Ⅲ文（1）、2017年新课标Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ文（1）

求前n项和

2021年新高考Ⅰ（2）

2020年新课标Ⅰ理（2）

2020年新课标Ⅲ文理（2）

2019年新课标Ⅱ文（2）

2018年新课标Ⅲ文（2）

2017年新课标ⅡⅢ文（2）

数列中奇偶项问题

2021年新高考Ⅰ

结构不良问题

2021年甲卷理

由统计可以看出，

（1）十八个题中，有十五道题涉及求数列通项公式，占比83.3%，求数列基本量计算比重较大.

（2）求数列前n项和有十二道题，占比67%，考查频率较高，并且一般情况下通项公式处于第一问，求和处于第二问位置.

（3）考查等差（比）数列的判定或证明，有五道题.

（4）近几年数列与不等式以及函数综合应用问题也比较多，数列中奇偶项问题即交叉递推关系源自于分段函数，结合数列特征，看似复杂，其实不难.

（5）从2021年开始出现结构不良问题，表现出更多的开放性和灵活性.

3 几个基本问题以及经典试题分析

3.1 等差（比）数列的判定

例1（2021年甲卷文）记Sn为数列an的前n项和，已知an>0，a2=3a1，且数列Sn是等差数列，证明：an是等差数列.

证明因为Sn是等差数列，

设公差d=S2-S1=a1，

所以Sn=a1+（n-1）a1=na1.

则Sn=a1n2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2na1-a1，

当n=1时，满足an=2na1-a1，

故an的通项公式an=2na1-a1.

所以an是以a1为首项，2a1為公差的等差数列.

总结提升判断等差（比）数列的方法：一是定义法，an+1-an（或an+1an）为一个常数;二是等差（比）中项公式法，其本质还是公式法;三是函数法，an=kn+b（即为关于n的一次函数）.需要注意的是an+1=qan和a2n=an-1an（n≥2）都是数列为等比数列的必要不充分条件，因为有可能各项为0，并且要注意在利用an=Sn-Sn-1求通项公式时，一定要分类讨论n=1和n≥2两种情况.

3.2 求等差（比）数列的通项公式

例2（2021年乙卷理）记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2Sn+1bn=2.

（1）证明：数列bn是等差数列;

（2）求an的通项公式.

（1）证法1因为bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn，

于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1（n≥2）.

则bnbn-1=Sn.

因为2Sn+1bn=2，

所以bn-bn-1=12（n≥2）.

当n=1时，S1=b1=32.

所以数列{bn是以b1=32为首项，以d=12为公差的等差数列.

证法2因为2Sn+1bn=2，则bn=Sn2Sn-2，且Sn≠0，bn≠0，Sn≠1.

又因为bn=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1，

所以bn-1=bnSn=12Sn-2（n≥2）.

则bn-bn-1=12，同上.

证法3可知b1=32，b2=2，b3=52.

猜想{bn是以b1=32为首项，以d=12为公差的等差数列，bn=12n+1.

用数学归纳法证明略.

（2）由（1）可得，

bn=12n+1，Sn=n+2n+1.

当n=1时，a1=32，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-1n（n+1），

显然对于n=1不成立，所以an=32，n=1，-1n（n+1），n≥2.

评注本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，第一问也可以由2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn2bn-1=bn，得到2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn+12bn+1-1=bn+1，进而得到2bn+12bn+1-1=2bn2bn-1.此题新颖，有新定义的味道.熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要思想方法.

总结提升求数列通项公式方法有（1）定义公式法;

（2）累加法;（3）累积法;

（4）已知Sn求an，即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2;（5）倒数构造法;（6）构造法或拼凑法等.

3.3 求数列的前n项和

例3（2017年新课标Ⅲ文）设数列an满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

（1）求an的通项公式;

（2）求数列an2n+1 的前n项和.

解析（1）因为a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，则当n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）.

所以（2n-1）an=2.

即an=22n-1（n≥2）.

当n=1时，a1=2，上式也成立，故an=22n-1.

（2）an2n+1=2（2n+1）（2n-1）

=12n-1-12n+1，

数列an2n+1的前n项和为（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1=2n2n+1.

评注本题考查了利用递推公式求通项公式，裂项法求和的简单应用，比较基础.

总结提升数列求和方法有：（1）求和公式法;（2）倒序相加法;（3）分组求和法;（4）错位相减法;（5）裂项相消法;（6）并项相加法求和，例如{（-1）n-1·an}求和，需要对n进行奇偶分类讨论，又例如例4;（7）待定系数法.

3.4 数列中奇偶项问题

例4（2021年新高考Ⅰ卷）已知数列an满足a1=1，an+1=an+1，n为奇数，an+2，n为偶数.

（1）记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式;

（2）求an的前20项和.

解析（1）可知b1=2，b2=5.

又a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2，

故a2k+2=a2k+3.

即bn+1=bn+3.

所以bn為以2为首项，3为公差的等差数列.

故bn=3n-1（n∈N*）.

（2）方法1设an的前20项和为S20=a1+a2+a3+…+a20，

因为a1=a2-1，a3=a4-1，…，a19=a20-1，

所以S20=2（a2+a4+…+a20）-10=2（b1+b2+b3+…+b20）-10=300.

方法2由（1）知a2n=3n-1.

则a2n-1=3n-2（n∈N*）.

所以S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=300.

方法3（累加法）易知an-an-1=3-（-1）n2，an-1-an-2=3-（-1）n-12，…，a2-a1=3-（-1）12.

所以an=6n-3-（-1）n4.

即S20=300.

评注对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解，或者直接求通项公式，并项求和.此类问题的本质还是等差（比）数列问题.

关联试题1（2019年天津卷文科18题）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3 ，b3=4a2+3.

（1）求an和bn的通项公式;

（2）设数列cn满足cn=1，n为奇数，bn2，n为偶数，求a1c1+a2c2+…+a2nc2nn∈N*.

关联试题2（2020年天津卷19题）已知an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a5=5a4-a3，b5=4b4-b3.

（1）求an和bn的通项公式;

（2）记an的前n项和为Sn，求证：SnSn+2<S2n+1n∈N*;

（3）对任意的正整数n，设cn=

3an-2bnanan+2，n为奇数，an-1bn+1，n为偶数.求数列cn的前2n项和.

3.5 数列与不等式

例5（2021年全国乙卷理）设an是首项为1的等比数列，数列bn满足bn=nan3.已知a1，3a2，9a3成等差数列.

（1）求an和bn的通项公式;

（2）记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明：Tn<Sn2.

思路分析（1）利用等差数列的性质及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可;（2）利用公式法、错位相减法求出Sn，Tn，则Tn-Sn2=34（1-13n）-n2×3n-34（1-13n）=-n2×3n<0，所以Tn<Sn2.

评注本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，其中证明不等式时采用作差法、作商法或者放缩法等，要根据式子的结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简得更为简洁.

3.6 结构不良问题

例6（2021年全国甲卷理）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列an是等差数列;

②数列Sn是等差数列;

③a2=3a1.

思路分析选①②作条件证明③时，可设出Sn，结合an，Sn的关系求出an，利用an是等差数列可证a2=3a1;选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出Sn，结合等差数列定义可证;选②③作条件证明①时，设出Sn=an+b（a>0），结合an，Sn的关系求出an，根据a2=3a1可求b，然后可证an是等差数列，方法类似例1.

评注这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法、等差中项法或者函数法.

4 蕴含思想方法分析

数列在高中数学中蕴藏着丰富的数学思想方法，运用这些思想方法提出问题、分析问题和解决问题，可以强化学生对知识的理解，提高解题能力.

4.1 函数与方程思想

等差（比）数列基本量计算，即a1，n，d（q），an和Sn，运用“知一求二”，即建立方程求解;然而数列是定义域为正整数集或正整数集的子集上的函数，通过函数形式和函数思想，解决数列问题，主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，求值、解（证明）不等式、讨论参数范围问题;二是通过建立函数关系或者构造函数，把所研究的问题转化至讨论函数性质问题.

4.2 分类讨论思想

数列中离不开分类讨论思想，可以考查学生思维的严谨性和条理性.关键一是明确引起分类的原因;二是明确确定分类的标准或方法;三是注意分类结论的整合，有分有合、先分后合是分类讨论的本质属性.比如数列奇偶问题.

4.3 转化与化归思想

从复杂到简单，从未知到已知，是解题思维必经之路.等价转化就会显得尤为重要，关键是如何转化.常见的转化类型通过换元、构造或者待定系数法等把复杂的数列转化至熟悉的等差（比）数列，比如2021年乙卷理科19题，2019年新课标Ⅱ卷理科19题，2018年新课标Ⅰ卷文科17题.

4.4 数形结合思想

数形结合主要体现三个方面，一是以形助数，即借助直观性阐述数之间的联系;二是以数助形，即借助数的精确性阐述形的属性;三是数形互助，即直观与形的相互转化，最终达到解决问题的目的.研究數列通项及其求和公式的函数特征，函数图象，或者建立方程以及方程曲线，以此借助数形结合思想解决问题.比如2018年全国Ⅱ卷理科17题.

除了以上数学思想还会用到类比思想，比如等差（比）数列与指对函数性质类比;建模思想解决实际问题，如2019年全国Ⅱ卷理科21压轴题;特殊与一般思想完成数学归纳法的推理与证明，如2020年新课标Ⅲ卷理科17题等.

5 教学建议

虽然近几年数列在全国卷中难度不大，但是也要引起重视，因为浙江、北京卷等高考数列压轴题居多，不排除难度增加的可能，毕竟导数和解析几何压轴已经很多年了，2021年数列题明显一见清新，考查灵活，难度自然有所提升.数列基本量运算和等差（比）数列性质在选择填空考查比较多，对于解答题备考需要注意：一是依据新课程标准要求对数列进行专题复习;二是回归教材，注重数列中六类基本问题的生成和原理，特别是求通项公式和求和，并加强运算能力;三是加强思想和方法的理解，特别是讲题讲方法、讲思想;四是加强用函数观点思考数列问题;五是加强基本知识和方法的总结，方法灵活多变，但是万变不离其宗，比如2021年乙卷;六是利用规律解决较为抽象复杂的数列问题.

参考文献：

[1]

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

＼[2＼] 郭慧清，黎治国.2021年高考“数列”专题命题分析＼[J＼].中国数学教育，2021（Z4）：59-67.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：巨小鹏，陕西省汉中人，硕士，中学二级教师，从事数学教学研究.

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