高考考查复数的若干视角

摘要：复数是高中数学的重要组成部分，是今后学习高等数学的基础，也是高考的必考内容.题型多为选择题或填空题，难度基础或中等，分值5分左右，属于送分题.本文以高考的视角，探讨复数的题型与解法.

关键词：高考;复数;题型;解法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0043-05

复数的考查主要体现在以下四个方面：复数的运算、复数的有关概念、复数的性质、复数的几何意义等.其中复数的运算是考查的重中之重，其它方面的考查大多围绕复数的运算展开.

1 复数的运算

复数的运算主要是指加、减、乘、除和乘方运算，是高考的高频考点，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键.

例1（2018年全国Ⅲ卷理2）（1+i）（2-i）=（）.

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

分析根据复数的乘法法则进行计算.

解析1+i2-i=2-i+2i-i2=3+i.

故选D.

点评本题主要考查复数的乘法运算，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例2（2020年全国新高考Ⅰ卷2）2-i1+2i=（）.

A.1B.-1C.iD.-i

分析可用復数的运算法则求解，也可用虚数单位的性质求解，还可用验证法求解.

解法1 2-i1+2i=（2-i）（1-2i）（1+2i）（1-2i）=-5i5=-i.

解法22-i1+2i=-2i2-i1+2i=-i（2i+1）1+2i=-i.

解法3因为（1+2i）·（-i）=-2i2-i=2-i，所以2-i1+2i=-i.故选D.

点评本题主要考查复数的乘除运算，体现了数学运算等核心素养，属于基础题. 解法1是常规方法;解法2根据算式的特点，利用-1=i2另辟蹊径，巧妙作答;解法3根据单选题的特点，用验证法直接找出正确选项.

例3（2020年全国Ⅱ卷文2）（1-i）4=（）.

A.-4B.4C.-4iD.4i

分析根据幂的运算性质和完全平方公式进行求解即可.

解析（1-i）4=[（1-i）2]2=（1-2i+i2）2=（-2i）2=-4.故选A.

点评本题主要考查复数的乘方运算，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例4（2021年全国甲卷理3）已知（1-i）2z=3+2i，则z=（）.

A.-1-32iB.-1+32i

C.-32+iD.-32-i

分析可用复数的运算法则求解，也可用复数相等的定义求解，还可用验证法求解.

解法1z=3+2i（1-i）2=3+2i-2i=（3+2i）·i-2i·i=-2+3i2=-1+32i.

解法2设z=a+bi（a，b∈R），则

（1-i）2（a+bi）=3+2i.

即2b-2ai=3+2i.

根据复数相等的定义，得2b=3且-2a=2，

解得a=-1，b=32.

所以z=-1+32i.

解法3因为（1-i）2（-1+32i）=-2i（-1+32i）=3+2i，

所以z=3+2i（1-i）2=-1+32i.故选B.

点评本题主要考查复数的乘除运算，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.解法1是常规解法;解法2设z=a+bi（a，b∈R），根据复数相等的定义求解;解法3根据单选题的特点，用验证法直接找出正确选项.

熟记以下常用结论，可提高运算速度.（1）（1±i）2=±2i;（2）1±i1i=±i;（3）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i（n∈N*）;（4）in+in+1+in+2+in+3=0（n∈R*）.

练习1（2020年全国新高考Ⅱ卷2）（1+2i）·（2+i）=（）.

A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i

练习2（2018年全国Ⅱ卷理1）1+2i1-2i=（）.

A.-45-35iB.-45+35i

C.-35-45iD.-35+45i

练习3（2021年全国乙卷文2）设iz=4+3i，则z=（）.

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i2 复数的有关概念

复数的有关概念包括复数的实部和虚部、复数的模、共轭复数、复数的相等、实数、虚数和纯虚数等，这些概念一般都和复数的运算结合起来考查，准确理解概念是解题的关键.

例5（2020年全国Ⅲ卷理2）复数11-3i的虚部是（）.

A.-310B.-110C.110D.310

分析利用复数的除法法则求出z即可.

解析因为z=11-3i=1+3i（1-3i）（1+3i）=110+310i，

所以复数z=11-3i的虚部为310.故选D.

点评本题主要考查复数的除法运算和复数虚部的定义，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例6（2020年全国Ⅰ卷文2）若z=1+2i+i3，则|z|=（）.

A.0B.1C.2D.2

分析先根据i2=-1将z化简，再根据复数模的公式求解.

解析因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i，所以z=12+12=2.故选C.

点评本题主要考查复数的运算和复数模的定义，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例7（2021年全国新高考Ⅰ卷2）已知z=2-i，则zz-+i=（）.

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

分析利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

解析因为z=2-i，所以z-=2+i.

从而zz-+i=2-i2+2i=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.

点评本题主要考查复数的运算和共轭复数的定义，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例8（2017年天津卷理9）已知a∈R，i为虚数单位，若a-i2+i为实数，则a的值为.

解法1因为a∈R，a-i2+i=（a-i）（2-i）（2+i）（2-i）=（2a-1）-（a+2）i5=2a-15-a+25i为实数，所以a+25=0，解得a=-2.

解法2设a-i2+i=x（x∈R），则

a-i=（2+i）x=2x+xi.

又因为a∈R，所以a=2x且x=-1，所以a=-2.

点评本题主要考查复数的分类和运算，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.解法1是常规解法，解法2巧设a-i2+i=x（x∈R），根据复数相等的定义求解.

例9（2017年浙江卷12）已知a，b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虛数单位）则a2+b2=，ab=.

分析先利用乘法公式展开（a+bi）2，再利用复数相等的定义求出a2，b2的值.

解析（a+bi）2=a2-b2+2abi.

由（a+bi）2=3+4i，得

a2-b2=3，ab=2.

解得a2=4，b2=1.

所以a2+b2=5，ab=2.

点评本题主要考查复数的运算和复数相等的定义，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

练习4（2019年全国Ⅱ卷文2）设z=i（2+i），则z-=（）.

A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i

练习5（2018年全国Ⅰ卷理1）设z=1-i1+i+2i，则|z|=（）.

A.0B.12C.1D.2

3 复数的性质

复数有许多特殊的性质，如模的性质和共轭复数的性质等，熟记这些性质，可以化繁为简、化难为易，提高解题效率.

3.1 模的性质

（1）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;

（2）|z1·z2|=|z1|·|z2|;

（3）z1z2=z1z2;

（4）|zn|=|z|n（n∈N*）.

例10（2020年全国Ⅰ卷理1）若z=1+i，则|z2-2z|=（）.

A.0B.1C.2D.2

分析注意到z2-2z=z（z-2），可用复数模的性质（2）求解.

解析  由题意，得|z2-2z|=|z（z-2）|=|z|·|z-2|=|1+i|·|-1+i|=2·2=2.故选D.

点评本题主要考查复数模的定义及其性质（2），体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例11（2019年全国Ⅰ卷文1）设z=3-i1+2i，则z=（）.

A.2B.3C.2D.1

分析利用复数模的性质（3）求解.

解析由已知，得|z|=3-i1+2i=|3-i||1+2i|=105=2.故选C.

点评本题主要考查复数模的定义及其性质（3），体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例12（2017年上海卷5）已知复数z满足z+3z=0，则|z|=.

分析利用复数模的性质（4）求解.

解析由z+3z=0，得z2=-3.

所以|z2|=|-3|，即|z|2=3.

故z=3.

点评本题主要考查复数模的定义及其性质（4），体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

练习6（2018年上海卷9）已知复数z满足1+iz=1-7i（i是虚数单位），则z=.

练习7（2019年天津卷理9）i是虚数单位，则5-i1+i的值为.

3.2 共轭复数的性质

（1）z-=z;

（2）z1±z2=z-1±z-2;

（3）z1·z2=z-1·z-2;

（4）z1z2=z-1z-2;

（5）z·z-=|z|2=|z-|2;

（6）z是实数z=z-.

例13（2019年北京卷理1）已知复数z=2+i，则z·z-=（）.

A.3B.5C.3D.5

分析利用共轭复数的性质（5）求解.

解析由已知，得z·z-=|z|2=22+12=5.

故选D.

点评本题主要考查共轭复数的性质（5）的应用，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

例14（2021年全国乙卷理1）设2z+z-+

3z-z-=4+6i，则z=（）.

A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i

分析利用共轭复数的性质（2）再列一个关于z，z-的方程，消去z-，即可求出复数z.

解析由2z+z-+3z-z-=4+6i，得

5z-z-=4+6i.①

所以5z-z-=4+6i.

即5z--z=4-6i.②

由①×5+②，得24z=24+24i，

所以z=1+i.故选C.

点评本题主要考查复数的运算和共轭复数的性质（1）和（2）的应用，体现了数学运算等核心素养，属于基础题.

练习8（2019年全国Ⅱ卷文2）设z=i（2+i），则z-=（）.

A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i

练习9（2020年全国Ⅲ卷文2）若z-1+i=1-i，则z=（）.

A.1-iB.1+iC.-iD.i

4 复数的几何意义

复数集C和复平面内所有点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

复数z=a+bi（a，b∈R）一一对应Z（a，b）一一对应OZ=（a，b）.

因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合法，使问题的解决更加直观明了.

例15（2019年全国Ⅰ卷理2）设复数z满足z-i=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）.

A.（x+1）2+y2=1B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1D.x2+（y+1）2=1

分析由复数的几何意义写出z的表达式，再由z-i=1求解.

解析由题意，得z=x+yi.

因为z-i=1，所以x+yi-1=1.

所以x2+（y-1）2=1.

故选C.

点评本题主要考查复数的几何意义和模的运算，体现了直观想象和数学运算等核心素养，属于基础题.

例16（2018年北京卷理2）在复平面内，复数11-i的共轭复数对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

分析先求出复数的共轭复数，再根据几何意义得出对应点位于第几象限.

解析11-i=1+i（1-i）（1+i）=12+12i，

其共轭复数为12-12i，对应点位于第四象限，故选D.

点评本题主要考查复数的运算、共轭复数及复数的几何意义，体现了直观想象和数学运算等核心素养，属于基础题.

例17（2020年全国Ⅱ卷理15）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1-z2|=.

分析根据复数的几何意义画出图形，找到复数对应的向量z1-z2，求出模即可.

圖1

解析如图1所示，设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1PZ2，则z1+z2对应向量OP，z1-z2对应向量Z2Z1.

由题知OZ1=OZ2=OP=2，

所以OZ1=Z1P=OP=2.

可得Z2Z1=2OZ1sin60°=23.

故z1-z2=Z2Z1=23.

点评本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，体现了直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题.

练习10（2020年北京卷2）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i·z=（）.

A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i

练习11（2021年全国新高考Ⅱ卷1）复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

练习答案

1.B2.D3.C4.D5.C6.5;

7.138.D9.D10.B11.A

参考文献：

[1]

蔡海涛.复数易错题型盘点＼[J＼].数理化解题研究，2019（16）：46-47.

＼[2＼] 杜徽.竞赛中复数问题的解题策略 ＼[J＼].中学数学教学参考，2021（28）：76-78.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]