2022届高考模拟考试数学试题（本试卷适合新高考地区考生使用)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.

第Ⅰ卷

一、單选题（本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设φ∈R，则“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”是“φ=π”的（）.

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

2.设i是虚数单位，则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于（）.

A.第一象限B. 第二象限

C.第三象限D. 第四象限

3.已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+

|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（）.

A. 0，π6B. π3，π

C. π3，2π3D. π6，π

4.函数f（x）=（m2-m-1）xm2+2m-5是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f（x1）-f（x2）x1-x2>0，若a，b∈R，且a+b>0，则f（a）+f（b）的值（）.

A. 恒大于0B. 恒小于0

C. 等于0D. 无法判断

5.等腰Rt△OAB内接于抛物线，其中O为抛物线C：y2=2px（p>0）的顶点，OA⊥OB，△OAB的面积为16，F为C的焦点，M为C上的动点，则|OM||MF|的最大值为（）.

A. 33B. 63C. 233D. 263

6.2cos48°-23sin36°cos36°cos27°-sin27°=（）.

A. 22B. 1C. -1D. -22

7.如图1，在等边△ABC中，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且BD=CE，现将△ADE沿直线DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，当点D从点B滑动到点A的过程中，则下列选项中错误的是（）.

A. ∠ADB的大小不会发生变化

B. 二面角A-BD-C的平面角的大小不会发生变化

C. BD与平面ABC所成的角变大

D. AB与DE所成的角先变小后变大

8.设（lnx）2-lnx-2=0的两根是α，β，则logαβ+logβα=（）.

A. 32B. -32C. 52D. -52

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选出的得5分，部分选出的得2分，有选错的得0分）

9.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，且直线x=-π12是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）.

A. 函数f（x）的最小正周期为π2

B. 函数f（x）在区间[-π6，π12]上单调递增

C. 点（-5π24，0）是函数f（x）图象的一个对称中心

D. 将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度，可得到g（x）=sin2x的图象

10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：

甲地：中位数为2，极差为5;

乙地：总体平均数为2，众数为2;

丙地：总体平均数为1，总体方差大于0;

丁地：总体平均数为2，总体方差为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）.

A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地

11.我们把离心率为e=5+12的双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）称为黄金双曲线.如图2所示，A1，A2是双曲线的实轴顶点，B1，B2是虚轴顶点，F1，F2是焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交双曲线于M，N两点，则下列命题正确的是（）.

A. 双曲线x2-y25+1=1是黄金双曲线

B. 若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线

C. 若∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线

D. 若∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线

12.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=5，AD=BC=7，M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，则（）.

A. 直线MN是线段AB和CD的垂直平分线

B. 四边形MQNP为正方形

C. 三棱锥A-BCD的体积为295

D. 经过三棱锥A-BCD各个顶点的球的表面积为55π

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分）

13.直线y=x与曲线y=2lnx+m相切，则m=.

14.已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则|a1|+|a2|+…+|a7|=.

15.在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为an=.

16.若点A（-1，0），B（1，0），P满足|PA|·|PB|=54，则点P的轨迹C的方程为（x2+y2）2-2（x2-y2）=，设M，N是轨迹C与x轴的两个交点，则△PMN面积的最大值为.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）△ABC的内角A，B，C的對边分别为a，b，c.已知asinA+C2=bsinA.

1求B;

2若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

18.（本小题满分12分）在①log2an+1=log2an+1，②an+1=an+2n，③a2n+1-an+1an=2a2n（an>0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

已知{bn-an}为等差数列，bn的前n项和为Sn，且a1=2，b1=2，b3=14，，是否存在正整数k，使得Sk>2021？若存在，求k的最小值;若不存在，说明理由.

19.（本小题满分12分）如图3，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中点，且∠BCD=120°.

（1）求证：PA⊥CD;

（2）求直线PD与平面CDM所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）过点（2，1），且离心率为22.

（1）求椭圆C的方程;

（2）是否存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足PB=2PA，若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r（0<r<1），它们之间相互不影响.

（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值;

（2）当r=0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列;

（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：

方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元;

方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.

请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？

22.（本小题满分12分）已知函数f（x）=1ax2+lnx-（2+1a）x，（a≠0）.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）令F（x）=af（x）-x2，若F（x）<1-2ax在x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值.

（参考数据：ln3<43，ln4>54）

参考答案

一、选择题

1.B2.B3.B4.A5.C6.D7.C

8.D9.AC10.AD11.BCD12.ACD

二、填空题

13.2-2ln214. 218615. 105n-82，n∈N*16.9161516

三、解答题

17.（1）因为asinA+C2=bsinA，即asinπ-B2=acosB2=bsinA.

可得sinAcosB2=sinBsinA=2sinB2cosB2sinA.

因为sinA>0，

所以cosB2=2sinB2cosB2.

因为cosB2≠0，

所以sinB2=12，解得B=π3.

2若△ABC为锐角三角形，且c=1，

由余弦定理，得b=a2+1-2a·1·cosπ3=a2-a+1.

由△ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2，

解得12<a<2.

所以S△ABC=12ac·sinπ3=34a∈（38，32）.

18.选①：由log2an+1=log2an+1，得

log2an+1-log2an=1.

所以{log2an}是首项为log2a1=1，公差为1的等差数列.

所以log2an=1+（n-1）×1=n，故an=2n.

又b1=2，b3=14，a1=2，a3=8，

所以b1-a1=0，b3-a3=6.所以等差数列{bn-an}的公差d=（b3-a3）-（b1-a1）3-1=3.

所以bn-an=b1-a1+（n-1）d=3（n-1）.

所以bn=2n+3（n-1），

Sn=（21+22+23+…+2n）+3（1+2+3+…+n）-3n=2n+1-2+3n2-3n2，

且当n为正整数时Sn单调递增.由Sn>2021得n≥10，即存在正整数k，使得Sk>2021，且k的最小值为10.

选②：由an+1=an+2n，得a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…，an-an-1=2n-1（n≥2）.

相加得an-a1=21+22+23+…+2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2.又a1=2，所以an=2n（n≥2）.

显然a1=2也满足an=2n（n≥2），故an=2n.

以下解法同选①.

选③：由a2n+1-an+1an=2a2n整理，得

（an+1-2an）（an+1+an）=0.

又an>0，所以an+1=2an，即an+1an=2.

所以an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n.

以下解法同选①.

19.（1）因底面ABCD是菱形，且∠BCD=120°，

所以∠CDA=60°.

连接AC，所以△CDA为等边三角形.

取CD的中点O，连接AO，PO，则AO⊥CD，PO⊥CD，又AO∩PO=O，AO，PO平面AOP，

所以CD⊥平面AOP.

又PA平面AOP，所以CD⊥PA.

（2）因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，OP平面PCD，OP⊥CD，

所以OP⊥平面ABCD.

又OA平面ABCD，所以OP⊥OA，

又OA⊥CD，PO⊥CD，

所以OA，OP，CD两两垂直.

以O为原点，OD，OA，OP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图4所示，则

P（0，0，3），D（1，0，0），C（-1，0，0），B（-2，3，0），M（-1，32，32），

图4

PD=（1，0，-3），CD=（2，0，0），CM=（0，32，32）.

设n=（x，y，z）为平面CDM的法向量，则

n·CD=0，n·CM=0，即2x=0，32y+32z=0.

令y=1，则z=-1，故n=（0，1，-1）.所以cos<PD，n>=PD·n|PD|·|n|=322=64.

所以直线PD与平面CDM所成角的正弦值为64.

20.1由已知点代入椭圆方程得2a2+1b2=1.

由e=22得ca=22，可转化为a2=2b2.

由以上两式解得a2=4，b2=2.

所以椭圆C的方程为x24+y22=1.

2存在这样的直线.

设所求直线与椭圆相交两点A（x1，y1），B（x2，y2），

当l的斜率不存在时，显然不满足PB=2PA，所以设所求直线方程l：y=kx+3，代入椭圆方程得

（1+2k2）x2+12kx+14=0.

則x1+x2=-12k1+2k2，①

x1x2=141+2k2.②

△=（12k）2-4×14×（1+2k2）>0，

即k2>74.

由已知条件PB=2PA，

可得x2=2x1. ③

综合上述①②③解得k2=72>74，符合题意.

所以所求直线方程为y=±142x+3.

21.（1）要使系统的可靠度不低于0.992，则P（X≥1）=1-P（X<1）=1-P（X=0）=1-（1-r）3≥0.992，解得r≥0.8，故r的最小值为0.8.

（2）设X为能正常工作的设备数，由题意可知，X～B（3，r）.

P（X=0）=C03×0.90×（1-0.9）3=0.001，

P（X=1）=C13×0.91×（1-0.9）2=0.027，

P（X=2）=C23×0.92×（1-0.9）1=0.243，

P（X=3）=C33×0.93×（1-0.9）0=0.729，

所以X的分布列为

X0123

P0.0010.0270.2430.729

（3）设方案1，方案2的总损失分别为X1，X2.

采用方案1，更换部分设备的硬件， 使得设备可靠度达到0.9，由（2） 可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，因此E（X1） =80000+0.001×500000=80500（元）.

采用方案2， 对系统的设备进行维护， 使得设备可靠度达到0.8，由（1） 可知计算机网络断掉的概率为0.008，因此E（X2）=50000+0.008×500000=54000（元）.

因此， 从期望损失最小的角度， 决策部门应选择方案2.

22.1函数f（x）的定义域为（0，+∞），且

f ′（x）=2ax+1x-（2+1a）=2x2-（2a+1）x+aax=（x-a）（2x-1）ax，

①当a≤0时，由f ′（x）>0，

得0<x<12，由f ′（x）<0，解得x>12，因此当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，12），单调减区间为（12，+∞）.

②当0<a<12时，令f ′（x）>0，解得0<x<a或x>12，可知f（x）的单调增区间为（0，a）和（12，+∞），单调减区间为（a，12）.

③当a=12时，f ′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调递减区间.

④当a>12时，令f ′（x）>0，解得0<x<12或x>a，此时f（x）的单调递增区间为（0，12）和（a，+∞），单调减区间为（12，a）.

（2）F（x）=af（x）-x2=alnx-（2a+1）x，则F（x）<1-2ax在x∈（1，+∞）恒成立等价于a<x+1lnx（x>1）恒成立.

令h（x）=x+1lnx（x>1），

则h′（x）=lnx-1x-1（lnx）2.

令t（x）=lnx-1x-1（x>1），可知t（x）在（1，+∞）单调递增，且t（3）<0，t（4）>0，

所以x0∈（3，4），使得t（x0）=lnx0-1x0-1=0.

从而h（x）在（1，x0）单调递减，在[x0，+∞）单调递增.

所以h（x）min=h（x0）=x0+1lnx0=x0+11x0+1=x0∈（3，4）.

因为a<x+1lnx（x>1）恒成立，

所以a<h（x）min=x0.

故整数a的最大值为3.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：李昌成（1977-），男，四川省资阳人，本科，中学正高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]