2022届高考模拟考试文科数学试题（本试卷适合老高考地区文科考生使用）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，时量120分钟.满分150分.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合M={x|-3<x≤5}，N={x|x<-5或x>4}，则M∪N=（）.

A.{x|x<-5或x>-3}

B. {x|-5<x<4}

C. {x|-3<x<4}

D. {x|x<-3或x>5}

2.已知a=（3，-1），b=（-1，2），c=2a+b，则c=（ ）.

A.（6，-2）B.5，0

C. （-5，0）D. 0，5

3.（1+i）3（1-i）2=（）.

A.1+iB.1-iC. -1+iD. -1-i

4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：10=5+5=3+7（其中3+7与7+3算同一种方法），在大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为（）.

A.45B.35C. 12D. 15

5.一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）.

A.056，080，104B.054，078，102

C. 054，079，104D. 056，081，106

6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.

A.1盏B.3盏C. 5盏D. 9盏

7.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2）的图象（部分）如图1所示，则fx的解析式是（ ）.

图1

A.fx=2sinx+π6x∈R

B.fx=2sin2x+π6x∈R

C. fx=2sinx+π3x∈R

D. fx=2sin2x+π3x∈R

8.毛泽东在《七律二首·送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬θ（0°<θ<90°）（即地球球心O和该地的连线与赤道平面所成的角为θ，且sinθ=74.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为（）.

A.6万里B.27万里C. 26万里D. 7万里

9.已知点P，Q分别为圆x2+（y-3）2=1和椭圆y225+x216=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）.

A.6B.7C. 8D. 9

10.函数f（x）=1x，x≥1，-x2+2，x<1的最大值为（）.

A.1B.2C. 12D. 13

11.图2网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）.

图2

A.7π+8+42B.7π+4+42

C. 5π+8+42D. 5π+4+42

12.已知函数f（x）=（12）x-14，x<1，log2（x+3），x≥1，g（x）=ax2+2x+a-1.若对任意的x1∈R，总存在实数x2∈[0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）.

A.[0，54]B.[0，54）

C. （-∞，54）D. [54，+∞）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.等比数列an中，4a1，2a2，a3成等差数列，若a1=1，则公比q=.

14.函数y=a27x3+1的图象与直线y=x相切，则a=.

15.已知实数x，y满足约束条件x-1≥0，x-y+1≥0，3x-y-3≤0，则z=2x+y的最大值为.

16.如图3，双曲线的中心在坐標原点，焦点在x轴上，A1，A2为双曲线的顶点，B1，B2为双曲线虚轴的端点，F2为双曲线的右焦点，延长B1A2与F2B2交于点P，若∠B1PB2为锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是.

图3

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ab+ba=sin2CsinAsinB-1.

（1）求角C.

（2）若BC=4，△ABC的中线CD=2，求△ABC的面积.

18.（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AB的中点，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

图4

（1）证明：AB⊥平面A1OC;

（2）若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1-ABC的体积.

19.（本小题满分12分）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某省某科研机构帮助某贫困县的农村村民真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，积极引导该县农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该村村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植了这种名贵药材的农户中随机抽取了n户，统计了他们2019年因种植中药材所获纯利润（单位：万元）的情况（假定农户因种植中药材这一项一年最多增加11万元），并分成以下几组：1，3，3，5，5，7，7，9，9，11，统计结果见下表所示，已知样本中数据落在9，11这一组的频率为0.1.

纯利润1，33，55，77，99，11频数2030a4020

（1）求n和表中a的值;

（2）试估计该贫困县农户因种植中药材所获纯利润的平均值和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.

20.（本小题满分12分）已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP·QF=FP·FQ.

（1）求动点P的轨跡C的方程.

（2）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=-1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点？若存在，求出定点E的坐标;若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=xsinx+cosx-1，g（x）=14x2-f（x）.

（1）求f（x）在区间（0，2π）上的极值点;

（2）证明：g（x）恰有3个零点.

请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosθ，y=2sinθ，若曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称.

（1）求曲线C2的直角坐标方程;

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

23.（本小题满分10分）已知函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集;

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.A2.B3.D4.D5.D6.B7.C8.A9.D10.B11.C12.A

二、填空题

13.214.415.716.（1，1+52）

三、解答题

17.（1）由正弦定理及已知条件，得ab+ba=c2ab-1.两边同乘ab，得a2+b2-c2=-ab.

由余弦定理，得cosC=a2+b2-c22ab=-12.

因为0<C<π，所以C=2π3.

（2）方法1设AC=x，AD=BD=y，

由余弦定理，得cos∠ACB=x2+16-4y28x=-12.

即x2+16-4y2=-4x.①

根据余弦定理，得

cos∠ADC=y2+4-x24y，

cos∠BDC=y2+4-164y.

因为∠ADC与∠BDC互补，

所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.即2y2-x2-8=0.②

联立①②，解得x=4，y=23，

所以S△ABC=12·AC·BC·sin∠ACB=12×4×4×sin2π3

=43.

方法2延长CD至点E，使DC=DE，连接AE，BE，则所得四边形ACBE是平行四边形.

所以∠CBE=π3.

又因为CE=2CD=4，BC=4，

所以BE=4，AC=4.

所以S△ABC=12·AC·BC·sin∠ACB=12×4×4×sin2π3=43.

18.（1）因为CA=CB，O为AB中点，所以OC⊥AB.

因为AB=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B为等边三角形，即OA1⊥AB.

又OC∩OA1=O，OC，OA1平面A1OC，

所以AB⊥平面A1OC.

（2）因为AB=CB=2，

所以△ABC为边长是2的等边三角形，

则S△ABC=12×2×3=3.

因为OA1⊥AB，OA1⊥OC，AB∩OC=O，AB，OC平面ABC，所以OA1⊥平面ABC.

即OA1是三棱锥A1-ABC的高.

又OA1=3，

所以三棱锥A1-ABC的体积V=13×3×3=1.

19.（1）由题意知n=200.1=200，所以a=200-20-30-40-20=90.

（2）计算可得样本中的数据落在每个区间的频率分别为0.1，0.15，0.45，0.2，0.1，所以农户种植中药材所获纯利润的平均值为2×0.1+4×0.15+6×0.45+8×0.2+10×0.1=6.1（万元）.

因为前2组的频率为0.25<0.5，前3组的频率为0.7>0.5，所以样本的中位数在第三组，设样本的中位数为x（万元），

所以0.25+x-52×0.45=0.5，

所以x=559（万元）.

所以该贫困县农户因种植中药材所获纯利润的平均数为6.1万元，中位数为559万元.

20.（1）设点P（x，y），则Q（-1，y）.由QP·QF=FP·FQ，

得（x+1，0）·（2，-y）=（x-1，y）·（-2，y）.化简得动点P的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）由y=kx+m，y2=4x，得k2x2+（2km-4）x+m2=0.

由Δ=0，得km=1.

从而有M（m2，2m），N（-1，-1m+m）.

假设存在点E（x0，0）满足ME⊥NE，则

（x0-m2）（x0+1）+（-2m）（1m-m）=0.

即（1-x0）m2+x20+x0-2=0.①

当x0=1时，①式恒成立.

所以存在一个定点E（1，0），使得以MN为直径的圆恒过此定点.

21.（1）f ′（x）=xcosx（x∈（0，2π）），

令f ′（x）=0，得x=π2或x=3π2.

當x∈（0，π2）时，f ′（x）>0，f（x）单调递增;

当x∈（π2，3π2）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减：

当x∈（3π2，2π）时，f ′（x）>0，f（x）单调递增.

故x=π2是f（x）的极大值点，x=3π2是f（x）的极小值点.

综上所述，f（x）在区间（0，2π）上的极大值点为x=π2，极小值点为x=3π2.

（2）由题意，得g（x）=14x2-f（x）=14x2+1-xsinx-cosx（x∈R）.

因为g（0）=0，所以x=0是g（x）的一个零点.

因为g（-x）=（-x）24+1-（-x）sin（-x）-cos（-x）

=14x2+1-xsinx-cosx=g（x），且定义域关于原点对称，所以g（x）为偶函数.

即要确定g（x）在R上的零点个数，只需确定x>0时，g（x）的零点个数即可.当x>0时，g′（x）=12x-xcosx=12x（1-2cosx）.

令g′（x）=0，即cosx=12，解得x=π3+2kπ或x=5π3+2kπ（k∈N）.

当x∈（0，π3）时，g′（x）<0，g（x）单调递减，

又g（0）=0，所以g（π3）<0.

当x∈（π3，53π）时，g′（x）>0，g（x）单调递增，且g（53π）=2536π2+536π+12>0.

所以g（x）在区间（0，53π）内有唯一零点.

当x≥53π时，由于sinx≤1，cosx≤1，

因为g（x）=14x2+1-xsinx-cosx

≥14x2+1-x-1=14x2-x=t（x），

又因为t（x）开口方向向上，对称轴为x=2，

所以t（x）在区间[53π+∞）内单调递增，即t（x）≥t（53π）>0.

所以g（x）>0恒成立，故g（x）在区间[53π，+∞）内无零点.

所以g（x）在区间（0，+∞）内有一个零点，

由于g（x）是偶函数，

所以g（x）在区间（-∞，0）内有一个零点，而g（0）=0.

综上，g（x）有且仅有三个零点.

22.1设P（x，y），则由条件知M（y，x）.由于点M在C1上，所以y=2+2cosθx=2sinθ（θ为参数）化成直角坐标方程为x2+（y-2）2=4.

（2）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.

射线θ=π3与C1的交点A的极径为

ρ1=4cosπ3，

射线θ=π3与C2的交点B的极径为

ρ2=4sinπ3.

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=23-2.

23.（1）当a=1时，f（x）=-x2+x+4，

g（x）=|x+1|+|x-1|=2x，x>1，2，-1≤x≤1-2x，x<-1.，

当x>1时，令-x2+x+4≥2x，解得1<x≤17-12.则f（x）≥g（x）的解集为（1，17-12].

当-1≤x≤1时，令-x2+x+4≥2，解得-1≤x≤1，则f（x）≥g（x）的解集为[-1，1].

当x<-1时，令-x2+x+4≥-2x，此时无解，则f（x）≥g（x）的解集为.

综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[-1，17-12].（2）依题意-x2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立.

即x2-ax-2≤0在[-1，1]上恒成立.

则只需12-a·1-2≤0，（-1）2-a（-1）-2≤0.解得-1≤a≤1，故a的取值范围是[-1，1].

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：李昌成（1977-），男，四川省资阳人，本科，中学正高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]