立体几何中的动态问题探究

黄治元

立体几何中的动态问题主要涉及点、线的移动或是平面的翻折所形成的线线角、线面角问题，以及所形成的轨迹、最值问题，立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力和化归处里能力，既要善于在运动中找到不变量做到动中求静，又要善于发现运动的本质与共性，力争找出解决问题的通性通法.

1 利用最小角定理解决立体几何中的动态问题

最小角定理平面的一条斜线和它在平面内的射影所成角（即直线与平面所成角），就是它和平面内所有直线所成角中的最小角.

2 利用最大角定理解决立体几何中的动态问题

最大角定理如图3，设点P是二面角α一l一β的半平面α內的半圆弧ABC上一动点，OB ⊥l于点O，则直线OP与平面β所成角的最大值等于二面角α一l一β的大小，

简证 点P沿半圆弧从A移动到B时，点P到平面β的距离h逐渐增大，则直线O与平面β所成角正弦值h/OP增大（OP长度不变），从而直线OP与平面β所成角逐渐增大，当点P位于点B处时，直线OP与平面β所成角达到最大值，即为二面角a-l-β的大小，

评注此结论可以解决某平面内运动直线与另一相交平面所成角最值问题，

例2如图4，己知三棱锥A -BCD的所有棱长均相等，点E满足DE= 3EC.点P在棱AC上运动，设E与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为____.

解析由最大角定理，sinθ的最大值即为二面角A -CD-B的正弦值，由正四面体熟知的结论，知二面角A一CD -B的正弦值为2√2/3，所以sinθ的最大值为2√2/3，

例3如图5，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，己知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小，若AB=15m，AC= 25m，

3 利用阿波罗尼斯圆解决立体几何中的动态问题

阿波罗尼斯圆平面内到两个定点A，B的距离之比等于常数λ（λ≠1）的点P的轨迹是圆，称该圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

简证 如图7，在线段AB及其延长线上取点

结束语 立体几何中的动态问题是指空间中某些点、线、面的位置不确定或可变的一类开放性问题，其解决的过程实质是数学建模的过程，把问题回归到最本质的定义、定理或构建的模型中.23E49A37-AAD7-4A24-8D70-596D25FA183E