结构不良试题的编制研究

许佳铭

1 问题提出

作为新高考数学的考试内容，结构不良试题的解决，对考查学生的核心素养、关键能力和必备知识起到关键的作用，能有效地发挥考试的选拔功能，根据问题空间是否明确，可以把问题划分为结构良好的问题与结构不良问题，前者是初始状态、目标状态和算子（解决问题的方法和途径）都很明确的问题，而后者则是这三者中至少有一个没有明确界定的问题[1].

结构不良问题主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余;②问题目标界定不明确;③具有多种解决方法、途径;④具有多种评价解决方法的标准;⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定[1].

在数学学科的试卷中，所设置与考查的结构不良试题，应具备以下三类特征之一：条件部分缺失、所求问题并不明确、解决方法并不一致，这与开放性试题有着明显区别，开放性试题更注重对学生综合能力的考查，而结构不良试题应注重在所给背景问题及条件下，考查学生建构数学问题的能力以及分析问题和解决问题的能力，

作為研究对象的新题型，试题不能太难，要掌握在中等难度;知识内容不能太复杂，要限制涉及的知识点的数量;能力要求不能太高，也要限制考查能力的种类和层次[1].当结构不良试题得到明显的反馈信息后，再根据实际情况作出调整，对难度、知识点、能力等作出更具体的要求，当前的试题整体难度，应该控制在中等或中等以下，当然，从发展趋势上看，结构不良试题的难度也会在后面作出一定的调整，总的来说，可以通过对以上三个特征的分析，以结构良好试题作为铺垫，对条件、问题、方法作出调整，编制结构不良试题，笔者以数列为例，通过研究数列结构不良试题的命制，给出具体实例，据此提出解决结构不良试题的策略.

2 结构不良试题的编制研究

2.1从问题条件缺失思考

从“问题条件缺失”入手，可以发现，在解决某个问题时需要一些具体条件，因此在编制时让题目减少其中一个条件，提供多个与之相关的条件让学生选择，而不同的选择将导致不同的结果，不同的条件所造成的难度也不一样，从不同方面考查学生对知识点的掌握程度，

因此本类问题的编制思路在于要清晰所考查的问题的本质是什么，比如考查等差数列中前n项和的函数性质，问题的关键在于公差d，则可围绕d的取值情况，编制d>0，d=0，d<0三个条件供学生选择，如题1：

设计意图问题指向非常明确，若 Sn存在最小值，则d>0.题干条件首先考查学生对前n项和Sn与通项公式an的关系的掌握程度，而条件①②③结合等差数列的前n项和公式、等比数列的定义（等比中项）、等比数列的前n项和公式等基本问题，考查学生对数列基本知识点及解决方法的掌握程度，三个条件都可转化为用基本量表示，再求出具体d的值后，即可解决所求问题，三个条件以及问题Sn最值的解决，难度基本一致，考查学生的运算求解能力与数学运算核心素养，

在题1基础上，如果更进一步考查学生的思维能力，在所有条件不变的情况下，将“Sn≥Sk恒成立”修改成“Sk>Sk+1且Sk+10，更进一步，还需满足“d≠0且d≠4”这个条件，对学生的能力提出了更高的要求，同时也给善于思考的学生提供了展示的机会.

2.2从问题目标界定思考

从“问题目标界定”入手，可以发现，问题目标本身就属于所选条件，编制时所选择的条件就是问题本身，不同的条件对应不同的问题，但所属问题的类别应一致，考查学生对同一问题解决的不同方法的掌握程度，因此关键就在于把条件编制成问题，比如考查数列的通项公式，除了利用基本量法求解等差等比数列（己知数列类型）的通项公式外，诸如Sn与an的关系、累加法、累乘法等问题都可编制成条件，如题2-1：

设计意图备选条件即问题，因此聚焦于数列{an}的通项公式的求解，条件①需要构造等差数列，条件②利用累加法可解决，条件③需要认识到等式左边可看做是数列{an/n}的前n项和，除了上述的三个条件，还可将递推公式求解通项公式其它几种类型编制成问题，综合考查学生对这一类问题的掌握程度，考查逻辑推理与数学运算能力，

在题2-1的基础上，结合开放性探究的思想，如果进一步考查学生的思维能力，可以将问题设计成“数列{an}的通项公式存在、不存在、存在且不唯一”三种情况，如下试题：

设计意图与题2-1相比，本题在求出数列{a"}的通项公式后，还需要对数列{an}的正负进行判断，考查学生是否注意到题目所给的限制条件，条件①由于下标的不同，考查学生对数列项数的理解;条件②需要对an是否等于0进行分类讨论，且两个答案均不符合题意;条件③利用累乘法后得到an= na1，而条件S2=3S化简后得到a2=2a1，答案变成不唯一！

2.3 从问题解决方法思考

从“问题解决方法”入手，可以发现，解决某个问题的方法是不同的，随着所选条件的变化，所选用的方法也跟着变化，但方法的多样性不是简单的一题多解，而是在几个不同条件下，问题的解决所选用的方法是不一样的，考查学生对同一问题的不同解决方法，这类问题与上述第2类问题较像，但可承载的考点较为综合，比如同时考查学生对通项公式与前n项和的掌握情况，如题3：

设计意图本题综合考查数列通项公式、前n项和、不等式问题，而问题的解决依赖于数列{an}的通项公式，因此思路是直接的，学生审题后可直接回到条件的选择上，从数列{bn}的结构分析，当{an}是等差数列时，{bn}是类似于An2+ Bn+C形式的数列，考查分组求和方法;当{an}是等比数列时，{bn}也是等比数列，考查等比数列的前n项和;当{an}是类似于C/An+B形式的数列时，可考查裂项相

消方法;如果要考查其它求和方法，也可通过对通项公式的分析，编制出不同的条件.

3 总结与反思

在数学考试中引入、设置结构不良试题是考试内容改革的要求，结构不良问题初始状态、目标状态、中间状态至少有一个不确定，有利于引导学生在解决问题的过程中，根据具体情境，从多个角度分析，考虑多个可能，寻找不同路径，提出多种解决方法，以考查学生思维的系统性、灵活性、深刻性、创造性[4].如果依据不同条件得到的结果是一样的，那么如何区分学生知识的掌握程度与思维能力？按这种思路往下分析，所选条件的难度必须保持一致，才能体现试题的公平性，但这样的问题变成与结构良好问题并无太大差别，笔者私认为，这类题目并不是新高考所提倡的结构不良试题，

此外，若不同条件之间难度差异过大，个别条件太难或太易，这样的题目也不合适，如以下例题：

在这个问题中，条件②③马上可以得出{bn}分别是等比数列与等差数列，但接下来，对于“anbn≤akbk恒成立”这个问题的解决，条件②需要利用不等式进行简单的放缩，条件③需要从函数角度或者作差判断，出于对试题公平性的考虑，学生会不会意识到由于条件②③过于明显，会导致问题的解决变得更复杂，从而选择条件①？

选择本身是试题要考查的内容之一，不同选择可能导致不同结论，难度与用时也会有所区别，但这个区别不能过大，条件的难度应与问题的难度达到相对平衡，避免出现“头重脚轻”或“头轻脚重”问题，试题的编制研究应该着重体现出公平性，

虽然结构不良试题的知识内容不能太复杂，知识点的数量也有所限制，但毕竟类型特殊，题目备选条件有多个（两个以上），可以承载的知识点较多，可以把联系密切的问题编制成条件，综合覆盖相关问题，因此习题讲解时可以系统地把相关的知识点复习一遍，同时也能帮助学生更好地作出条件的选择，当然，考试时需要引导学生考虑时间因素，

结构不良试题的命制，是把数学知识与现实生活联系起来的尝试，使学生体会到数学高考不是主要考知识，而是更关注如何解决现实生活中无处不在的结构不良问题，引导学生从知识的习得与记忆转向问题的解决、策略的选择，使数学应用在思维层面真正发生[4].因此，结构不良试题除了在数列问题、解三角形中出现，在立体几何、解析几何、概率与统计等模块中都可能涉及，而不同模块的侧重点不一样，对学生思维能力与问题解决能力的启发也不一样，是值得进一步探讨与研究的，

参考文献

[1]任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报， 2020，59 （2）：1-3

[2]教育部考试中心.以评价体系引领内容改革，以科学情景考查关键能力——2020年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2020， 340（8）：29-347AE62EAE-0879-451A-AA99-95CA3C89A06E