几何直观，让内隐的概念“看得见”

尹昌涛

【摘 要】概念教学是数学教学的重要组成部分，学好概念可以为学生的数学学习打下扎实的基础。在概念教学中，如能有效借助几何直观，则可以降低概念学习的难度，催化、强化、深化、活化整个概念教学，让学生理解得更深刻。本文主要对几何直观作用价值、运用现状及在概念教学中的实际运用进行了深入探讨。

【关键词】概念教学 理解 几何直观

在第一次教学苏教版数学四年级下册“乘法分配率”一课时，笔者课前认真研读了教材，并充分备好了课，像一般教师一样先创设情境并提问：“足球单价32元，篮球单价45元，排球单价65元，那么7个篮球和排球一共需要多少呢？”再按照分析题意、列式解答、讲述思路、观察比较、发现规律、举例验证、总结规律、巩固练习的顺序进行教学。各个教学环节也比较顺畅，但在课后练习作业中，很多学生把（a+b）×c模型的算式写成a+b×c或者是（a×b）×c，与（a+b）×c模型分不清。经过单独指导，大部分学生都能掌握乘法分配率，但还是有四五个学生总犯这样的错误。

停下脚步寻找根源，笔者发现：根本原因是学生“数”感薄弱，用字母表征乘法分配律体验浅薄。在教学中，教师如果只让学生抽象数字表征，那么学生的认知只会如外在描摹一般，产生机械记忆思维，影响他们对其他运算律的理解。

如果把数的概念理解构建在直观图形表征上，不就直观形象，好理解了吗？于是笔者在教学中分解长方形面积推导过程，构建面积公式与乘法分配律的相关性，直观展现乘法分配律的算理，大长方形整体面积等于两小长方形面积之和（见图1）。这样竟收到了意想不到的教學效果——学生基本不再犯上述类似的错误了，笔者感到很欣慰。

一、意蕴解读：“几何直观”的作用及价值

从数学课程标准对几何直观的阐述中，我们可以清楚地认识到，几何直观是借助图形来描述和帮助分析问题的一种方法或思想。而几何直观的作用就是可以化繁为简、化模糊为具体、化抽象为直观，帮助我们寻求思路，提供猜想的途径。其价值就是使教学手段更丰富和多样化，有利于学生思维的发散和聚焦;有利于学生对问题的理解与解决;有利于学生感悟数学之美。

二、审视： “几何直观”在数学概念教学中的运用现状剖析

数学概念的教学一般分为前期、中期、后期三个阶段。笔者对全校18位数学教师使用几何直观在概念教学前期、中期、后期的运用情况进行了调查统计。为了保证调查的真实性和准确性，本次调查利用课余时间在不同的时间点进行了调查与访谈。

通过调查我们发现：18位教师均会在概念教学的前期运用几何直观，即在概念的引入中运用，但在概念教学的中期、后期，即在概念的形成和巩固中运用较少。通过访谈了解原因：所有教师都认为借助几何直观很重要，但大部分教师对几何直观只是有一定的了解，了解不够深入。受传统“灌输式”概念教学的影响，大部分教师只体会到几何直观在概念引入教学时运用的好处，而未体会到在概念形成、巩固教学时运用也能发挥其重要的作用。

三、探寻：几何直观在概念教学中的实际运用

在传统的数学教学中，概念教学大都是以教师的直接呈现为主，即教师直接出示概念，学生只是表面对文字意义进行理解，看不见、摸不着，使得概念教学课堂气氛沉闷、效果不甚理想。但是几何直观由于其图形的直观效果，在课堂教学中运用，能激发学生的直观思维，从而降低理解难度，使概念教学直观生动、易于理解。

（一）改变概念感知方式——凸显本质，催化理解

概念教学重点在引入阶段，结合学生的智力发展水平，以直观呈现的表征方式调整概念的感知力，让学生主动探寻对概念的深度认知，借助几何直观支撑表象，能催化对抽象的数学概念的理解。

例如，在教学“认识中位数”一课时，难点是理解“在极端数据中，中位数比平均数更具代表性”。在教学过程中，一般教师都是先出示学生跳绳的7组数据：107、97、105、102、100、98、196，并引导学生求出平均数，观察、比较数据。发现平均数不能代表学生的一般水平，教师接着会引导学生对比认识中位数的性质。由于学生对中位数比较陌生，这种从数中抽象概念的教学形式让学生理解起来有一定的困难，教学效果并不很明显。因此，在教学中，笔者充分运用几何直观的特性，帮助学生理解“在极端数据中，中位数比平均数更具代表性”，于是将7组数据表示在统计图中，分别用直线画出平均数、中位数所在的数据，再提问：“比115多5或少5的有几人？”（学生回答：无）“那么有几人比102多5或少5呢？”（学生回答：6）以直观的方式对比认识中位数与平均数的性质与区别，凸显了其本质，自然而然能快速催化学生对中位数性质的认识。

由此可见，在数学概念教学中，充分借助几何直观，不仅可以把概念化繁为简，而且还利于化难为易，有助于教学重难点的突破。

（二）展现概念生成过程——明晰本质，强化理解

在概念教学的前期和中期，教师可以以直观的方式，让学生借助几何画板的动画演示功能动手操作，亲身经历并自我展现概念的生成过程，这样有利于学生对概念的深度理解和提升理解思维水平。

例如，在教学“三角形的认识”一课时，若教师只是按照课本上的定义进行教学，认识三角形的高，只是像例题一样从一个顶点到对应边的垂直线段，学生会认为三角形的高就在三角形内。但如果教师结合“几何画板”软件演示三角形高的变化，操作直观演示内部高到外部高都符合高的定义，不但可以丰富学生对高的定义认知，而且可以使学生对高的定义理解更扎实（见图2）。

在平时的数学概念课堂教学中，对于像此类归化型的概念，让学生借助“几何画板”的动态演示直观功能，亲身体验，既让各个分支知识点的归纳成型形成完整概念，又有利于螺旋降低理解的难度，真正克服了负迁移，强化了学生对概念的认知。

（三）发掘概念隐含特性——触摸本质，深化理解

数学教学阶段，有些概念带有表面性，在概念教学后期，概念虽已形成，但学生的探知欲望并没有得到满足，若不及时引导，容易限制学生思维的发展。教师要充分利用几何直观的自身特性，发掘概念中隐含的本质特性，直观、浅显地让学生触摸到概念的本质，从而深化对概念的理解。

例如，笔者曾听过一节“3的倍数特征”的展示课，课上的结构层次分明，无论是教师问题的设计、引导，还是学生的探索、交流、讨论，都很到位，到最后的运用特征巩固练习也做得非常好，于是教师在全课总结时问道：“还有什么疑问吗？”这时有个学生问：“到底为什么各个位数上数的和能被3整除，这个数就能被3整除呢？”教师显得有些无奈，其他学生也质疑起来……其实这位教师机智一点，借助几何直观，完全能发掘3的倍数特征的深层原因（见图3）。

如325能被3整除吗？

各个位数上数的和（3+2+5）=10，不能被3整除，所以325不能被3整除。究其本質原因，结合几何直观很容易就能解释：将3个100、2个10、5个1除以3分析一下，其中3个100中的3个99都能被3整除，2个10中的2个9都能被3整除，余下3个1（相当于百位上的3）、2个1（相当于十位上的2）和个位的5的和来判断能否被3整除，其实就相当于判断325能否被3整除。

学生的质疑，是学生主动求知欲望的表现。在本课例中，几何直观不但发挥了其自身突出的价值，而且让学生感受到几何直观的好处，同时，问题的成功解决，也激发了学生学好数学的兴趣，有利于学生思维的多元化发展。

（四）构建概念内在联系——完善认知，活化理解

分析数学教学内容，不难发现，教学知识三大领域的概念都是呈螺旋上升的，依据各自领域知识的逻辑思维层次纵向教学。面对每个知识概念时，师生互动能较容易突破重难点，可是同一领域知识相互交织，学生会混淆不理解。这就需要我们教师在进行概念教学时，既要注重单独概念的应用和再理解，更要注重把多个概念放一起复习，系统整理其内在联系，以促进自我认知的完善。

例如：在复习“平面图形面积的整理与运用”一课时，教师可以引导学生说一说这些图形的面积公式的推导过程，让学生发现这些图形的面积计算公式都是以哪个图形的面积公式为基础来推导的。若教师引导学生借助几何直观，以“长方形的面积”为原始数学概念，利用树形图构建概念之间联系，能起到画龙点睛的作用（见图4）。

数学概念之间具有很强的关联性，从最少的几个原始数学概念出发，利用树形图、集合图、网络图等，把已有的有联系的各个概念知识点融会贯通，再通过系统的复习整理它们之间的内在联系，发散到该概念知识的整个领域，让数学概念能结成一张网。因此，充分发挥几何直观图形表征功能，让数形有机结合理解概念，既有助于学生理清概念之间的关联性，又可以完善概念的认知，活化学生对概念的理解。

综上所述，在小学数学概念教学中，教师要想让学生对内隐的概念“看得见”，要想让学生学习概念知识更轻松，巧妙地运用几何直观显然是一条捷径。它有助于化繁为简、化模糊为具体、化抽象为直观，提高概念教学的实效性。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

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[3]刘善娜、宋煜阳.几何直观：运算概念教学的有效通道[J].教学月刊，2013（4）.