排列问题 一一击破

孙杰

排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”，也就是说排列问题是与位置有关。因此，在研究排列问题时，（1）注意整体分类，不重不漏;（2）局部分步，确保连续性和独立性;（3）观察顺序;（4）辩证地看待“元素”与“位置”。同时必须掌握常见排列问题的策略。

一、特殊优先，一般在后

对于某些元素（或位置）的排法受到限制问题，用特殊优先、一般在后的方法。列式求解时，优先考虑这些元素，叫元素分析法;也可优先考虑被限制的位置，叫位置分析法。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例11名老师与4名学生排成一排照相，老师不站两端的排法有多少种？

解析：老师不站在两端，只能站在中间3个位置，优先排老师有A1/3种排法，再任意排学生有A1种排法，共有A3·A1=72（种）排法，这是元素分析法。

也可采用位置分析法，两端先排学生有A种排法，其他任意排有A3种排法，共有A·A3=72（种）排法。

点评：当排列中有特殊元素或特殊位置时，可先处理特殊元素，也可先处理特殊位置，依据具体情况而定。但必须注意选择的方法不同，可能解题难易程度大相径庭。

练习1.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，有多少种不同的排法？

解析：填格法、特殊元素优先法。将5个位置标号1，2，3，4，5，下面分类考虑：

（1）丙站在1号位，则甲、乙可站在3、4、5号位，丁、戊站在其余位置上，有A23A2=12（种）排法，类似地，当丙站在5号位时，也有12种排法;（2）当丙站在2号位置时，甲、乙只能站在4、5号位，丁、戊站在其余位置上，有A2A2=4（种）排法，类似地，当丙站在4号位时，也有4种排法;（3）当丙站在3号位置时，甲、乙可站在1、5号位，丁、戊站在其余位置上，有A2A2=4（种）排法。

综上可知，共有36种排法。

二、元素相邻，整体处理

对于某些元素要求相邻排列的问题，一般采用大元素法，即可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排，也叫“捆绑法”。

例2“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP。该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“挑战答题”“四人赛”、“双人对战”四个答题板块。某人在一次学习过程中把六个板块全部学完，则“阅读文章”与“每周答题”两大板块相邻的学习方法有（）。

A.192种

B.240种

C.432种

D.528种

解析：由题意可知，将“阅读文章”与“每周答题”两大板块捆绑在一起，再与其他四个板块排列，故满足“阅读文章”与“每周答题”两大板块相邻的学习方法有A2·A5=240（种），选B。

点评：解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列。

练习2.在某场新冠肺炎疫情防控视频会议中，甲、乙、丙、丁4位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则4位专家的不同发言顺序共有（）。

A.12种

B.8种

C.6种

D.4种

解析：当甲排在第一位时，有A2A2=4（种）发言顺序;当甲排在第二位时，共有A2=2（种）发言顺序。所以共有4+2=6（种）不同的发言顺序，选C。

三、元素间隔，分位插入

對于某几个互不相邻元素的排列问题，可先将其他元素排成一排，然后将不相邻的元素插入到这些排好的元素之间的空隙或两端，这就是解决互不相邻问题的“插空”法。

例37个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（）。

A.480种

B.720种

C.960种

D.1200种

解析：由题意知，甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除丙和丁以外的3个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，从形成的5个空中选2个排列丙和丁，根据分步计数原理知共有A1A2A2=960（种）排法。故选C。

点评：如果某些元素要求不相邻，就要分成两步，先排上没有要求的元素，再把有要求的去插空排列。应注意：①必须分清“谁插入谁”的问题，要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置;③判断是否以排列形式插入。

练习3.永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富。在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》6个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（）。

A.480 B.240 C.384D.1440

解析：第一步，将《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女书表演》4个节目排列，有A=24（种）排法;第二步，将《祁阳小调》《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有A=20（种）插法。所以共有24x20=480（种）不同的安排方法。选A。

四、定序排列，转化入座

例4书架上原有6本书，再放上3本，但要求原有的顺序保持不变，则不同的放法有多少种？

解析：9本书占有9个位置，其中后放的3本书占有3个位置，优先考虑有A，种放法，剩下的6个位置按原来的顺序放原来的6本书，故共有A=504（种）放法。

点评：顺序排列的方法需要转化，把不要求顺序的元素在所有可能位置任意排列，再把剩余的按一定顺序的元素“对号入座”，后一步“对号入座”仅有一种排法。

练习4.用1，2，3，4，5五个数字排列成不重复的五位数，其中1，2，3按1在最前，3在最后，2在1与3之间，这样的数字有多少个？

解析：这是要求1，2，3按一定顺序的排列，先在5个位置任选2个排上4，5，有A种方法，剩余的1，2，3在剩余的3个位置从小到大“对号人座”排列，共有1种方法。

这样的数字有A=20（个）。

五、正难则反，化难为简

当问题正面考虑，情况比较复杂时，我们就要改变思维方向，通常利用正难则反原则，这也是解决排列应用题时常用的策略。

例5 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？

解析：由题意，考虑其反面：（1）恰有1个数字与标号相同，则填法有AA种;（2）恰有2个数字与标号相同，则填法有，种;（3）有3个数字与标号相同，则填法有1种。故每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有A—AA—1=9（种）。

点评：本题直接考虑，情况比较复杂，利用间接法，简单明了。

练习5.5名同学站成一排，其中甲不站在首位，有多少种不同的站法？

解析：不考虑特殊情况，有A种方法，当甲站在首位，有A种方法，故共有A—A=96（种）站法。

（责任编辑徐利杰）