数学文化背景下的计数原理试题赏析

2022-05-23杨秋野

中学生数理化·高二版 2022年5期

杨秋野

近几年高考数学试卷出现以数学文化为背景的新颖题型，这类试题蕴含着浓厚的数学文化气息，它将数学知识、方法、文化融为体，以原有数学知识为基础，引人人文、科技、生活、数学史等方面的文化背景，有效地，考查了同学们在新情景下对数学知识的理解，为同学们的数学认知拓展眼界，提高大家的学习兴趣。下面从四个方面赏析数学文化背景下的计数原理試题。

一、以人文艺术为文化背景

例1 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系。诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！

数学中也有回文数，如：88，454，7 337， 43 534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个正整数，我们称这样的数为“回文数”。

二位的回文数有11，22， 33，44， 55，66，77，88，99，共9个;

三位的回文数有101，111，121，131，969，979，989，999，共90个;

四位的回文数有1 001，1111，1 221，.9 669，9 779，9 889，9 999，共90个。

由此推测：十位的回文数总共有个

解析：一、二位回文数有9个，三、四位回文数有90个，五、六位回文数有900个，七、八位回文数有9000个，九、十位回文数有90 000个。

点评：数学表面给人的印象是严谨、严肃，没有什么美感可言，其实，数学也有它的艺术性，它能够通过语言文学、美术、音乐、建筑等方面来展示自身的艺术。在高考数学试卷中，设置数学与艺术相结合的数学问题，能够改变同学们对数学的认识，增加大家对数学学习的兴趣，

练习1：设aj，a2，，a，，是1，2，……，n的个全排列，把排在a;左边且小于a;的数的个数称为a;的顺序数（i=1，2，……，n）。

例如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数是1，而3的顺序数是0。则在由1，2，……，8这八个数字构成的全排列中，同时满足：8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3，这样的不同排列种数是。

解析：依题意知，在8的左边有2个比8小的数，在7的左边有3个比7小的数，在5的左边有3个比5小的数。由于8是最大的数，则8必排在左起的第3位，而7必须排在左起的第5位，5只能在7的右边，若6在5的右边，则5与7必相邻，共有2X4！ =48（种）排法;若6在5的左边，则5必在左起的倒数第二位，共有4X4！ =96（种）排法。所以共有48+96=144（种）排法。

二、以科学技术为文化背景

例2 （2022年山东德州高三期末卷）某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村。其中使用频率排前四的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”。从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为（用数字作答）。

解析：把12个关键词分为两组：高铁、移动支付、网购、共享单车一组，余下的为一组。从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的情况，有C+CC+CC=164（种）。

点评：数学与科技类相融合的问题主要包括数学与生物学、地球及环境、前沿科学等问题相结合，通过数学与科技相结合，能够体现出数学在科技发展中的重要地位，提高同学们对数学的重视度。本题从这12个关键词中选择3个不同的关键词，分为包含1个、2个、3个“新四大发明”关键词的情况，通过计算可得答案。

练习2：（2022年湖北省黄石市有色第—中学高三期末）在2021年中俄联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机;俄方有3艘军舰，6架飞机。若从中俄两方中各选出2个单位（1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有（）。

A.51种B. 224种C. 240种 D.336种

解析：不同的选法有： CCCC+CCCC=5X4X3X1 + 10X1X3X660 + 180 = 240（种）。选C。

三、以社会生活为文化背景

例3 （2022年广东清远市高三期末卷）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗。若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有种。

解析：

故不同的分配方法共有90X6=540（种）。

点评：新冠肺炎疫情防控期间，志愿者的涌现体现出人间的大爱与温情。本题以社会热点问题—新冠肺炎疫情防控为背景，将社会热点问题与数学问题有机结合，旨在考查同学们对问题情境的数学阅读能力和理解能力，引导大家关注民生，体现数学文化立德树人的理念。

练习3：文化和旅游部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器。感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”这三个主题中，避选出“建党百年红色旅游百条精品线路”。这些精品线路中包含中共一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡5个传统红色旅游景区;还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场2个展现改革开放和新时代发展成就的景区;以及中国天眼、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州花茂村5个展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区。为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则必须含有传统红色旅游景区以及展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的不同，选法种数为（）。

A. 220 B. 150 C. 50D. 100

解析：从12个景区中选3个景区，共有Ci2=220（种）选法。

不含传统红色旅游景区的选法种数为C=35，不含展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的选法种数为C;=35。

所以所求的不同选法种数为220—35—35=150。

故选B。

四、以数学史为文化背景

例4 算盘是中国古代的一项重要发明。现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）。如果拨动图1算盘中的三枚算珠，那么可以表示不同整数的个数为（）。

2A. 16 B. 15

C. 12D.10

解析：由题意，拨动三枚算珠，有4种拨法：

①个位拨动三枚，有2种结果，3、7;

②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有4种结果，12、16、52、56;

③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有4种结果，21、25、61、65;

④十位拨动三枚，有2种结果，30、70。

综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为2+4+4+2=12。

故选C。

点评：数学史是数学文化的重要组成部分，是高考数学题目中涉及数学文化类题型的主要组成形式，其中包含数学家的故事，数学史上的重大事件和历史上的经典数学问题。通过对近些年数学文化类考题的统计分析来看，以阿基米德、杨辉、欧拉等历史名人所创造的定理為背景而设计的数学题较多，同时以《九章算术》、《算法统宗》等数学著作中的素材为背景的数学问题也较多，值得关注。

练习4：罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传人之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步。

罗马数字的表示法如表1。

其中“I”需要1根火柴，“V”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示。如123表示为11，405表示为MV。如果把6根火柴以适当的方式全部放入图3的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）。

A.87 B. 95C. 100 D. 103

解析：用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下。

1根火柴和5根火柴，1根火柴可表示的数为1;5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108，180，801，810）。

2根火柴和4根火柴，2根火柴可表示的数为2、5;4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有CX4=8（个）。

3根火柴和3根火柴，3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为两类：除0外的两个数字相同，可表示的数有CX4=8（个）;除0外的两个数字不同，则有CX4=24（个）。所以共有8+24=32（个）。

1根火柴、1根火柴和4根火柴，即有1、1、7组成的数，共有3个（117，171，711）。

1根火柴、2根火柴和3根火柴，即由1，2或5中的一个数，3、4、6、9中的一个数字组成三位数，共有CCA=2X4X3X2=48（个）。

2根火柴、2根火柴、2根火柴，即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222，555）;三个数字中的两个数字相同，则有CX3=6（个）。

共有2+6=8（个）。