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排列组合二项式定理综合测试卷(B卷)答案与提示

2022-05-23

中学生数理化·高二版 2022年5期
关键词:二项式种颜色涂色

一、选择题

1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C

11.D 提示:先把三种不同的画捆在一起,各看成整体,但水彩画不放在两端,则油画与国画放在两端,有A2种不同的排法,然后对4幅油画的排放有A1种不同的排法,对5幅国画的排放有A种不同的排法,所以不同的陈列方式有A2A1A5种。

12.C 13.D

14.C 提示:先排甲、乙、丙外的4人,有A种排法,再排甲、乙2人,有两类方法:

一类是甲、乙2人插空,又甲排在乙的右边,然后丙排在中间,故有A{C3=240(种)不同的站法;另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间,有A1=24(种)不同的站法。所以共有264种不同的站法。

15.D

16.C 提示:先从5人中选取2人拿到自已的外衣,共C=10(种)情况,另外3人拿到别人的外衣的情况,可看作编号为1,2,3的人坐到编号为1,2,3的座位,且人和编号不能相同,共有231,312两种,由分步计数原理可得共2C=20(种)情况。

17.D

18.A 提示:从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C。种情况,正方体表面四点共面不能构成四面体有6种情况,正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种情况,所以可得到的四面体的个数为C—6—6=C3—12。19.A

20.D

21.C 提示:根据题意,设A={只会划左桨的3人},B={只会划右桨的3人},C={既会划左桨又会划右桨的2人},据此分3种情况讨论:

①从A中选3人划左桨,划右桨的在BUC中剩下的人中选取,有C=10(种)选法;

②从A中选2人划左桨,C中选1人劃左桨,划右桨的在BUC中剩下的人中选取,有C3C2C3=24(种)选法;

③从A中选1人划左桨,C中选2人划左桨,B中选3人划右桨,有C3=3(种)选法。

则共有10+24+3=37(种)不同的选法。

22.D 提示:根据题意分步完成任务:第一步,完成3号区域,从6种颜色中选1种涂色,有6种不同方法;第二步,完成1号区域,从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色,有5种不同方法;第三步,完成4号区域,从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色,有4种不同方法;第四步,完成2号区域,从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色,有3种不同方法;第五步,完成5号区域,从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色,有4种不同方法;第六步,完成6号区域,从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色,有3种不同方法。

所以不同的涂色方法数为6x5x4x3x4x3=4 320。

23.C

24.B 提示:由题意知,组成四位“回文数”。当由一个数组成回文数时,在6个数字中任取1个,有C6种方法。当由两组相同的数组成回文数时,在6个数字中任取2个,有C种方法,在6个数字中任取2个时,前两位互换位置又可以组成另一个数,故2个数组成回文数的个数为A2,即在6个数字中任取2个组成回文数的个数为CA2。综上,有数字1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为CA2+C6=36。

25.B 提示:第一、第二或第六、第七为空位时,第三个空位有4种选择;第二、第三或第三、第四或第四、第五或第五、第六为空位时,第三个空位有3种选择。

因此空位共有2x4+4x3=20(个),不同坐法有20A1=480(种)。

26.D

27.D

28.B 提示:A选项,有C5A3=300(个)数,错误。B选项,分为两类:0在末位,则有A=60(个)数;0不在末位,则有C2C1A=96(个)数。所以共有60+96=156(个)数,正确。C选项,先把4个相加能被3整除的4个数从小到大列举出来,即先选:(0,1,2,3),(0,1,3,5),(0,2,3,4),(0,3,4,5),(1,2,4, 5),它们排列出来的数一定可以被3整除,所以共有4C3·A3+A1=96(个)数,错误。D选项,首位为1的有A3=60(个)数,前两位为20的有A2=12(个)数,前两位为21的有A2=12(个)数,因而第85个数字是前两位为23的最小数,即为2301,错误。

29.C 提示:如图1,分以下几种情况:棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有3x2=6(对);棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有3x2=6(对);底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有6x2=12(对);底面边与底面边之间所构成的异面直线有3x2=6(对);侧面对角线与6x2= 侧面对角线之间所构成的异面直线有6(对)。所以共有6+6+12+6+6=36(对)。

30.B

二、填空题

31.10 32.14433.1 26034.192 35.44 36.1 37.4138.315 39.36 40.1 920 41.1 42.22

43.20 提示:根据题意,分两种情况;若A与C之间为B,即B在A,C中间且3人相邻,共有A2=2(种)排法,将3人看成一个整体,与D,E两人全排列,共有A3=6(种)排法,则此时有2x6=12(种)排法;若A与C之间不是B,先从D,E中选取1人,安排在A,C之间,有C2=2(种)排法,此时B在A的另一侧,将4人看成一个整体,考虑之前的顺序,有A2=2(种)排法,将这个整体与剩下的1人全排列,有A2=2(种)排法,此时有2x2x2=8(种)排法。所以总共有12+8=20(种)排法符合题意。

44.454 45.-8

46.930提示:若甲、乙都入选,则从其余6人中选出2人,有C6=15(种)方法。男生甲不适合担任学习委员,女生乙不适合担任劳动委员,则有A1—2A3+A2=14(种)方法,故共有15x14=210(种)方法。若甲不入选,乙入选,则从其余6人中选出3人,有C8=20(种)方法,女生乙不适合担任劳动委员,则有C3A3=18(种)方法,故共有20x18=360(种)方法。若甲、乙都不入选,则从其余6人中选出4人,有C6=15(种)方法,再全排,有A1=24(种)方法,故共有15x24=360(种)方法。综上所述,共有210+360+360=930(种)方法。

47.2"1/3x2+2/3x(—1)提示:每次传球有2种方法,所以n次传球之后,共有2”种可能的传球方法。设n次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为an种。

三、解答題

48.(1)偶数在末尾,五位偶数共有C3C3A1A2=576(个)。

(2)五位数中,偶数排在一起的有C3C3A1A2=576(个)。

(3)2个偶数不相邻且3个奇数也不相邻的五位数有C3C3A2A3=144(个)。

49.(1)门票连号有5种,分给其余4位老师有A1种分法。

明明、慧慧分得的门票连号,一共有5xA{xA2=240(种)分法;

(2)就甲、乙2名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:

第一类,甲、乙2名同学中实际参与演讲比赛的恰有1人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C2·C·A1=960;

第二类,甲、乙2名同学中实际参与演讲比赛的恰有2人,满足题意的不同的演讲顺序种数为C2·C·A2·A2=180。

因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140。

50.(1)由题意知,第二项的二项式系数为C,第三项的二项式系数为C,故C+C=36,即n+n—72=0,解得n=8或n=—9(舍去)。

(2)的通项公式为T,+1=(/2-)(2)C6(π)-(2/2)=(-1)2Cx2

令8—5r=3,求得r=1。

故展开式中含x2的项为T2=—2C6x/2=—16x2。又由n=8,知第5项的二项式系数最大,此时T3=1120。

51.(1)根据题意,若恰在第5次测试后就找出了所有次品,即第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,则前4次有一件正品出现,所以共有A·(CC3)A1=576(种)不同的测试方法。

(2)根据题意,分三步进行分析:先排第1次测试,只能取正品,有6种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试,有A=12(种)测试方法,最后排余下4件的测试位置,有C3A1=240(种)测试方法。所以共有6x12x240=17 280(种)不同的测试方法。

52.由题意得

53.根据题意可分为如下几类比赛:

(1)小组循环赛,每组有C=6(场),8个小组共有48场;

(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据抽签规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;

(3)四分之一淘汰赛,根据抽签规则,8强中每两个队比赛一场,可以决出4强,共有4场;

(4)半决赛,根据抽签规则,4强中每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;

(5)决赛,2强比赛一场确定冠亚军,4强中的另两队1场决出第三、第四名,共有2场。

综上,共有8xC+8+4+2+2=64(场)比赛。

54.(1)从7人中任选5人来排队共有A=2520(种)不同的排法。

(2)先从A、B两人中任选1人,有C2种不同的方法,再从剩余的5人中任选4人有C5种不同的方法,再将选出的5人进行全排列,共有C2·C·A5=1200(种)不同的排法。

(3)因A、B都在内,所以只需从余下5人中选3人有C种不同结果,A、B不相邻,使用插空法共有C·A3·A2=720(种)不同排法。

(4)第一类:所选5人无A、B,有A=120(种)不同排法;第二类:所选5人有A无B,则A只能站中间三个位置的其中一个位置,有C·C3·A1=360(种)不同排法;第三类:所选5人无A有B,则B有4个位置可供选择,有C5·C}·A1=480(种)不同排法;第四类:所选5人有A、B,若A排中间时,有C3·A1=240(种)不同排法,若A不排中间时,有C·C2·C·A3=360(种)不同排法,此类共有600种不同排法。

综上,共有1560种不同排法。

55.(1)

56.(1)按照最左端分两类,第一类,先排甲,其余的5人全排列,共有A=120(种)方法;第二类,先排乙,最右端不排甲有A=4(种)方法,其余4人全排列,有A1=24(种)方法,共有A·A=96(种)方法。由分类计数原理得共有120+96=216(种)方法。

(2)分步完成,第一步,将A,B捆在一起当作一个元素与除C外的两个元素一起全排列,共有A2·A3=12(种)方法;第二步,将C插入已经排好的排列中,让A,C不相邻,有A1=3(种)方法。由分步计数原理得,共有12x3=36(种)方法。

(3)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰有1个空盒,说明恰有一个盒子中有2个小球,从4个小球中选2个作为一个元素,同另外2个元素在3个位置全排列,有C·A=144(种)不同的方法。

(4)(x+x2)2”的展开式的二项式系数和为22。令x=1,得(3x—1)”的展开式系数和为2”。所以22n—2”—992=0,解得的展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第六项,即T。=Cio(2x)(-1/2)=-8 064。

(责任编辑徐利杰)

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