深圳市初中生数形结合思想应用能力调查研究

闫月静

【摘要】数与形是数学的核心要素，培养初中生数形结合思想应用能力是初中数学教学的重要目标。本文对初二年级学生数形结合思想应用能力进行调查，找到存在的问题，有针对性地调整教学。调查结果显示，大多数学生对数形结合思想的认识停留在较浅的层面上，这与教师的教学存在较大的相关性。笔者从教师角度提出注重数形结合思想的培养、集体备课、使用信息技术手段、分层次教学的改进策略。

【关键词】数形结合思想;调查研究;初中生

一、引言

2011年，教育部颁布实施的《数学新课程标准》提出“四基”目标：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经驗。其中，“基本思想”是指数学思想，而数形结合思想是初中阶段一种较为重要的数学思想。初中数学教材很多内容都涉及数形结合思想，比如，无理数在数轴上的表示、函数图象的研究、函数与方程的联系、通过数的运算研究几何图形的性质、勾股定理等。新课标颁布以来，深圳市中考每年都对数形结合思想应用能力进行了考查，如表1所示。

二、调查研究

（一）调查对象和方法

本研究对深圳市某S学校初二年级学生数形结合思想应用能力进行调查，该校初二年级共8个班级337名学生，由4名不同的数学教师任课。随机抽取了6个班级251名学生参与调查，其中男生121人，女生130人。主要采取纸质问卷调查的方式，问卷的发放和回收从2021年5月25日开始，到2021年5月28日结束。共获得251份问卷，其中无效问卷4份，有效问卷247份，有效率为98.4%。

（二）调查问卷的编制

根据深圳市初中数学教学的开展情况，总结文献关于数形结合思想的调查经验。对调查问卷从被调查者基本信息、对数学和数学思想的认识、对数形结合思想的认识、数形结合思想的应用能力四个维度进行编制。其中，数形结合思想的应用能力是调查的重点，从以形助数、以数解形两个方面共选取10道数学题进行测试。其中，以形助数方面以函数问题为主，以数解形方面以平面几何问题为主，题目难度系数在0.4左右，区分度在0.35以上。

（三）调查结果与分析

1.对数学和数学思想的认识

调查结果显示，67.6%的学生认为数学是一门有趣或者实用的学科，具有想学好数学的主观意识和内部动力。41.7%的学生认为初中数学学习难度较大，学习上存在一些障碍和困难。知道数形结合的学生有64.8%，但知道数学思想的学生只有35.2%，选取数学教材中的四个章节让学生判断是否蕴含“数形结合思想”，能够全部判断正确的学生只有24.3%。可见，大多数学生对数学思想没有系统深入的了解，即使知道数形结合，也只是对其概念浅层次的认知，只有少数学生知道数形结合是一种数学思想。

2.对数形结合思想的认识

关于学生对数形结合思想的认识，调查结果显示，只有49.0%的学生在思考相关的数学问题时，能够联想到数形结合思想，其中，学会以形助数思考问题的学生达到44.9%，学会以数解形分析问题的学生达到51.4%。说明学生对数形结合思想的认识整体上还不够深入，这与教师的教学有一定的关系。只有72.1%的学生认为教师在课堂上注重数形结合思想的渗透，66.8%的学生认为教师在教学中运用数形结合思想对他们理解知识起到了作用。在进行有关数形结合思想的教学时，教师较少运用信息技术手段，没有让数形结合思想在教学过程中完全渗透。

在调查“理解应用数形结合思想，主要的困难有哪些”的问题时，四个选项“不能有效结合”“基础知识掌握不够”“不能及时联想”“数形转化不够准确”选择的比例分别为41.7%、36.8%、71.7%、34.4%。由此可见，“不能及时联想”是学生应用数形结合思想的最大障碍。而背后深层次的原因是，教师在数学教学过程中没有让学生真正领悟数学问题中隐含的数学思想。教师虽然对数学知识点的讲解很细致透彻，学生相关题目训练的数量也很多，但在遇到条件稍作变化的数学问题时仍然不知所措，不能及时联想，也不会融会贯通地运用数学思想和方法。

3.数形结合思想的应用能力

关于数形结合思想的应用能力测试，整体正确率为62.6%，其中以数解形的问题平均正确率为67.4%，以形助数的问题平均正确率为60.1%。结合“对数形结合思想的认识”调查结果，可见学生在处理几何问题时，通常会借助“数”的手段，处理函数问题时，用“形”的方法相对较少。

以第23题为例，关于x的不等式组整数解有2个，则a的取值范围是（  ）。该题的正确率为44.1%，回答正确的学生中有69.7%在思考相关的数学问题时，能够联想到数形结合思想，而回答错误的学生中这一比例只有32.6%。交叉分析结果如表2。

（一）教师教学对学生数形结合思想应用能力的影响

选取三个班级分别标注为a班、b班、c班，其中a班和b班由同一名数学教师任课，c班由另一名数学教师任课。以班级为变量，对“数形结合思想的应用能力”的测试结果进行相关性分析。计算a班和b班测试结果的相关系数的过程如表3所示。其中xi表示a班10道测试题正确率的统计数据，yi表示b班的统计数据。

（二）学生数学成绩与数形结合思想应用能力的关系

将学生按照数学成绩的年级排名分成前50%、后50%两个组别，分别统计数据，计算数学成绩与“对数学和数学思想的认识”“对数形结合思想的认识”“数形结合思想的应用能力”的相关系数分别为0.5003、0.5145、0.4454。不同数学成绩的学生在以上三个方面有较大的差异，说明数学成绩与数形结合思想应用能力有较大的关系，提升学生的数形结合思想应用能力在一定程度上能够提升学生的数学成绩。

四、初二数学教学改进对策

根据以上调查结果及数据分析，为了在后续数学教学中提高效率，培养学生数形结合思想，提出以下教学改进对策。

（一）提升学习兴趣，注重数形结合思想的培养

数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学，空间形式和数量关系是数学所研究的两个基本对象，其中“数”与“形”是构成数学内容的核心要素。教师在教学过程中要回归数学科学的本质，注重学生数形结合思想的培养，尽量避免“满堂灌”的教学方式，通过设计教学交互活动，提升学生学习兴趣，引导和启发学生思考、探究，逐步渗透数形结合思想。对数轴问题、函数问题、几何问题等多训练作图方法，加强学生的作图能力，让学生有意识地学习数形结合思想。

（二）集体备课，发挥团队力量

由于教师的教学年限、业务水平、学科专长和教学经验各有不同，有些教师自身对数形结合思想方法内涵的理解不够透彻，或者教学中对数形结合思想不够重视，采取的教学方法对学生领悟数学结合思想的助力不够。而集体备课能够充分利用学校教研组的力量和智慧，在教材研究、教學计划制订等一些共性问题上进行研讨商定，取长补短，发挥集体智慧，有利于教师对个人备课进行补充和拓展，提升教学水平，提升教学质量。

（三）使用信息技术促进数形结合思想的渗透

随着现代教育技术的发展，出现了越来越多的信息技术工具，能够有效帮助学生理解数形结合思想，比如，几何画板、Excel的图表功能、Matlab软件、图形编辑器等。信息技术工具的使用能够将抽象的数学内容转换为直观可视的图形图像，减少学生学习的障碍。而工具本身就是数形结合思想的体现，让学生体会数形结合思想的实用性。

（四）分层次教学

每个班级都有不同学习层次的学生，给数学教学带来了一定的困扰。如何兼顾各个层次的学生，最大程度培养学生的数形结合思想需要有区别度的教学。比如，采取异质分组的学习方式，让学习好的学生担任组长，帮助教师辅导其他学生;也可以在数学课后作业的布置上，为他们提供部分难度较大的选做任务;对于中等或偏下的学生则适当降低学习深度，简化学习内容，拓展知识面，夯实基础。

五、结语

数形结合思想是初中生要掌握的一种重要数学思想。上文对深圳市初二学生的数形结合思想应用能力进行调查，找到问题，提出四点教学改进策略，后续将在教学中付诸实践，检验教学策略的有效性，争取更多的研究成果，为研究初中生数形结合思想的培养提供借鉴。

[本文系深圳市教育科学规划2020年度课题“初中数学数形结合思想的教学实践研究”（项目编号：ybfz20064 ）研究成果]

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]陈华平.数形结合思想下初中生解题能力的现状及培养策略研究[D].宁波大学，2019.

[3]丁子怡.初中数学中数形结合思想方法的研究与应用[D].上海师范大学，2018.

[4]林夏雨.改变方式，提高质量——对有效开展集体备课的思考[J].新教育，2021（7）：37-39.

责任编辑  陈  洋