一类具有Neumann边界条件的曲率方程解的估计

马 燕， 韩 菲

(新疆师范大学 数学科学学院，乌鲁木齐830017)

1 引 言

偏微分方程中Neumann边值问题是最重要的边值问题之一，研究其解的存在性的关键是给出解的先验估计[1-2].

设u是n上的光滑函数，则u的图的平均曲率为

对于超曲面以及其拟线性方程已被很多学者研究.而对于平均曲率方程的研究更为广泛[3-6].

平均曲率方程的一般形式为

1976年Gerhardt利用分部积分法给出了平均曲率方程的预定夹角问题的梯度估计[3].2016年Ma-Xu[4-6]综合利用Spruck[7]，Lieberman[8]，Wang[9]等人的技巧研究了带Neumann边界的平均曲率方程，即

并且给出了其解的梯度估计.

当u(·，t)的图像沿着xn+1轴的方向以平均曲率的速度移动，描述的方程为

(1)

本文研究具有如下形式的一类抛物方程

其中f(x，u，Du)是定义在[0，1]×n上的光滑函数.

2 主要结果

定理1设Ω=[0，1]，f是定义在Ω×n上的光滑函数，u(x，t)是如下方程的解

(2)

其中，设存在正常数L1，使得f(x，z，p)满足

fz(x，z，p)≥-κ，κ≥0， 在Ω×[0，T]×n内，

(3)

(4)

|ux(·，t)|≤C，

其中C=C(T，κ，|f|C0([0，1]×n)，|Dxf|C0([0，1])).

推论2设Ω=[0，1]，f是定义在Ω×n上的光滑函数，抛物方程

有光滑解u=u(x，t).

首先通过详细的计算得到关于方程解u及ut的估计，其次证明定理1.

2.1 ut估计与u的C0估计

由(2)式，有

整理(2)式得

方程两端关于t求导得

(5)

而

(6)

将(5)式代入(6)式得

根据强极值原理，e-κtut的非负极大值和非正极小值均在边界达到，除非e-κtut在Ω内恒为常数.所以假设e-κtut的非负极大值在(x0，t0)处达到，那么(x0，t0)仅有以下三种情况：

(i)t0=0；

(ii)t0>0且e-κtut在Ω×[0，t0]恒为常数(等于ut(x，0))；

(iii)t0>0且x0=1或x0=0.

下面依次讨论这三种情况：

对于(i)t0=0，即e-κtut在(x0，0)处达到非负极大值，故

e-κtut(x，t)≤e0ut(x0，0)=ut(x0，0).

从而

ut(x，t)≤eκtut(x0，0).

推出

因此由(i)可得

同理可得

因此|ut|≤C.

对于(ii)由e-κtut，κ≥0，可得e-κt∈(0，1]，因此|ut|≤C.

对于(iii)若t0>0且x0=1或x0=0，则根据Hopf引理得utv<0.然而根据方程的边值条件知utv=0.故该情况不成立.

综上分析得ut有界.

对于u的C0估计，利用微分中值定理得

因此，存在一个常数C，使得

|u(x，t)-u0(x)|≤Cteκt，

2.2 定理1的证明

本节将运用文献[10-11]中的技巧得到u的C1估计.

证考虑辅助函数

Φ=log(e-λt(ux)2)+g(x)，

其中g(x)=x2-x.

设Φ(x，t)在(x0，t0)处达到非负极大值，其中x0∈[0，1].

下面分三种情况进行讨论：

情形3 (x0，t0)∈(0，1)×(0，T].由极值原理得

(7)

其中g″=2，则

(8)

推出

(9)

将(9)代入(8)得

其中

假设ux足够大，否则u的C1估计已证，则

(10)

(11)

由(10)式和(11)式得

由(3)式和(4)式得

记λ=2κ+12，由于ux足够大，则v与ux等价，因此由上式可得

推出v(x0，t0)≤C.

综上分析，得到了u的C1估计，完成了定理1的证明.

3 结 论

本文研究了一类带Neumann边界条件的曲率方程，通过微分的方法讨论引入的辅助函数，利用极值原理得到了这类方程解的梯度估计，给出了其解的存在性.一般的，解的各阶导数估计都与方程中所给函数f有关，当解的梯度作为方程中所给函数f的参变量时，解的先验估计都需要对此给出约束条件，本文讨论的正是这类曲率方程.

致谢本文撰写非常感谢麻希南教授的论文，受麻教授论文的启示，写下本篇文章.