重视教材 用好手中“宝”

山东 武守维

古人云：问渠那得清如许，唯有源头活水来.无论哪年的高考真题都不外乎取材于课外，得益于课内，重视对教材的挖掘，以不变应万变，相信在考场中一定会得心应手.下面以一道课本习题为例感悟教材是知识的栖息，是思维的放生园！

试题呈现：

(2019年人教A版选择性必修第三册复习参考题7第10题)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.

选题原因：

主要源于对数列的考查方式和方法的思考，2019年之前全国卷对数列解答题的考查不怎么热爱，但2019年之后有所增加，考查形式主要有：单纯数列的考查，数列和其他知识点(概率、函数、不等式等)交叉考查，构建数列模型考查等；新课标非常重视建模的考查，这道题可以说是概率模型，也可以说是数列模型，也可以说是概率数列模型，这类模型应引起教师及学生的思考和重视.

解法一(利用概率计算公式)：设n次传球后球在甲手中的概率为pn，n=1,2,3，…,

当n=1时，甲传给乙或丙，所以p1=0,

pn+1=P(An+1)

【新视角】从创新的角度看，知识的交融是一个较容易实现的方式；新颖的背景又是创新的一个着力点，我想这应该是命题专家比较青睐的地方.新教材对于建立模型解决问题是非常推崇的，这也是我们应该研究的地方.

【变式】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在乙手中的概率.

解法一(利用概率计算公式)：设n次传球后球在乙手中的概率为pn，n=1,2,3,…,

pn+1=P(An+1)

【推广】m(m≥2且m∈N*)个人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外(m-1)个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率.

解法一(利用概率计算公式)：设n次传球后球在甲手中的概率为pn，n=1,2,3,…,

当n=1时，甲传给乙或丙，所以p1=0，

pn+1=P(An+1)

【链接高考】(2019·全国卷Ⅰ理·21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；

(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

解析：(1)X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=(1-α)β，

P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，

P(X=1)=α(1-β)，

所以X的分布列为

X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2)(ⅰ)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,3,…7)，故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1)，

即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0，所以数列{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是首项为p1,公比为4的等比数列．

(ⅱ)由(ⅰ)可得

考点分析：

概率分布列，概率的意义，等比数列的定义(证明)，等比数列求和，解方程等.

题目背景：

以概率为背景构建数列，通过数列的求解，解决概率问题.

学生视角:

题目太长，心烦意乱，容易放弃；背景新颖，数列和概率结合，并且概率压轴，心理落差太大，导致崩溃.

教师视角:

题目不复杂，只要心平气和、按部就班地去做，应该能做出来，就是学生可能会有很多不理解的地方，比如空降的递推关系怎么来的，为什么求p4，pi等一系列疑问无法解答.

专家视角:

从“治疗疾病”的问题情境出发，不仅体现了“为人民服务”的初心，而且是与学生息息相关的真情境；强调了数学与生物、化学、语文等学科的综合应用；学生需要通过阅读与理解，把实际问题进行高度抽象，建立概率模型，落实了数学抽象和数学建模的核心素养，而把概率和数列放在一起考，又突出了对学生创新能力的考查.

笔者体会：