强化能力训练 优化数学复习效益

福建 廖占荣 卢秀敏

二轮复习在高三复习中起着至关重要的作用，其目的是帮助学生全面地、系统地梳理高中数学的教材内容，使学生能在获得“四基”，提高“四能”的过程中，发展数学学科核心素养，逐步学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界；提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；发展自主学习能力，提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.如何提高二轮复习效率是每一位高三教师必须思考和研究的问题.基于新高考的新评价体系，高三教师有必要强化数学基本能力，优化数学二轮复习效益.

1.强化“图形表征”，让数学鲜活灵动

“借数言形，以形代数”这一重要的思想方法，突出几何直观与代数运算之间的融合，展现数学整体性、多面性的特征.数学中的概念、定理及公式等研究对象，不仅是符号表征、数字表征，还有相应的图形表征、几何表征.如集合的交、并、补及子集运算，通过数轴、韦恩图的帮助，可形象地解析其运算过程及结果；函数的图象可直观地展现函数的最值、单调性、对称性、周期性等基本性质；立体几何问题中的体积、表面积公式是学生在解题时易错易混的一个知识点，在强化图形表征后，可有序建立形——式——数的对应关系，帮助学生形象化地记忆和理解公式.

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答案：B

分析：本题考查圆锥的侧面展开图、母线长的计算，考查学生从立体图形到平面图形的思维转换，重点落实了直观想象、数学抽象核心素养.

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答案：C

命题意图：从高考要求的基本图形入手，结合割补思想、相似关系、平面几何图形与立体几何图形的转化、台体侧面积公式等的考查，难度上有所提升，可进一步考查学生的空间想象能力、推理论证能力.

2.强化“符号表征”，让数学更显简洁

符号表征是对文字表征的一种重要补充，符号的最大特点是简洁性.例如，不等关系中“不大于”与“≤”是同一个含义，但在学生的眼中，显然“≤”更加简洁易懂.再如，椭圆的定义是“平面内，到两个定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)的动点的轨迹.”其符号表示为|PF1|+|PF2|=2a(其中F1,F2分别为平面内的两个定点，P为动点，2a>2c=|F1F2|).文字语言通俗易懂，但是表述数学概念时不易表露知识的内在联系，而符号表征就可将数学研究对象通过形象、简洁的数学符号，明确地指代，对数学原理集中表示和结构描述.

【例2】(2021·新高考Ⅱ卷·8)设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则

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C.f(2)=0 D.f(4)=0

答案：B

快解：因为函数f(2x+1)为奇函数，所以f(2×0+1)=f(1)=0，因为f(1)=f(-1+2)，函数f(x+2)为偶函数，所以f(-1+2)=f(1+2)=f(3)=0，因为f(3)=f(2×1+1)，函数f(2x+1)为奇函数，所以f(2×(-1)+1)=f(-1)=-f(2×1+1)=0.

3.强化“情境解读”，让数学贴近生活

数学是源于生活，用于生活的.新高考下的考试评价体系中，要求设置情境化试题，以考查学生数学阅读能力和发现问题、分析问题、转化问题、解决实际问题的能力.

分析：本题融合生活实践情境和剪纸艺术情境，考查逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养，让学生深刻体会到“数学就在身边触手可及的地方”，而不仅仅是数字游戏或是书本中的数学.教师在讲解本题前，可为每位学生发放一张打印纸，实际操作“对折”实验，再观察折前与折后之间的变与不变的关系，然后进行逻辑推理，最后得出结论.

4.强化“二级结论”，让数学变得简单

数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

答案:a>b>c

“二级结论”常常是高考命题的重要素材，是解答高考题的有力手段.强化“二级结论”的记忆，可以帮助学生寻找正确的解题方向，实现快速解题，甚至“秒杀”某些选择题、填空题，拓展解题思路，更有助于学生高角度把握和理解题目的本质.例如，高考压轴题“函数与导数”的第二问中的证明不等式问题中，经常使用到的函数放缩，如ex≥x+1,lnx≤x-1(x≥1)等.

5.强化“概念辨析”，让数学走得更广

数学概念是产生数学思想方法的源泉，是构建、优化解题思路的原动力.解题时，应借鉴概念的抽象过程，构建处理类似问题的解题方法；类比起基础性应用，衍生处理类似问题的方法；多角度思考构建并优化解题思路.如等差数列与等比数列的证明、椭圆与双曲线的离心率问题、正弦定理与余弦定理的应用、空间中的平行与垂直关系等.

【例5】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则

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A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

答案：B

分析：本题以古典概型为情境，考查“相互独立事件”的概念，从学生的解题情况看，甲、乙、丙、丁四个事件的概率是比较容易求解的，但是对于四个事件之间的相互独立关系分析，就存在问题了.由此可见学生对事件是否独立的判定依据是不确定的，本质上就是对“相互独立”的概念的不确定.

一轮复习备考中，辨析事件之间的三个基本概念：“相互独立”“互斥”“对立”，

①设A,B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)·P(B)，则称事件A与事件B为相互独立事件；

②若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B为互斥事件，且P(A∪B)=P(A)+P(B)；

③若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，且P(A)+P(B)=1.

6.强化“通性通法”，让数学有迹可循

解题教学是数学复习中的日常教学活动，但是“一听就懂，懂而不会”的现象不在少数，因此，在解题教学过程中，除了复习新授课所讲的方法外，还要对解题方法总结其思考方向、思维过程，进而形成固定的通性通法.如函数的单调性判定方法，基本不等式的“一正、二定、三相等”，恒成立问题找最值等.学生在审题之后，能快速地根据题设条件，构建数学模型，确定解题方向.

【例6】已知0

答案：ba

分析：分组比较这四个数：①对于ab和aa，借助指数函数y=ax的单调性可比较大小；②对于ba和bb，借助指数函数y=bx的单调性可比较大小；③对于aa和ba，借助幂函数y=xa的单调性可比较大小；④对于ab和ba，就可以借助中间量aa传递大小关系.

通性通法：比较幂值大小的三种类型及处理方法

①底数相同，指数不同——利用指数函数的单调性来判断；

②底数不同，指数相同——利用幂函数的单调性来判断；

③底数不同，指数也不同——寻找中间量作桥梁来比较.

7.强化“数感敏锐”，让数学解题方向明确

数感是一个人对数的感觉、感知、感悟，是学习数学的基本能力，是学生必备的学科素养.数感贯穿于整个高中阶段的每一个知识环节、知识单元、知识体系，其价值、内涵、意义值得实践探究与创新发现.

答案：-2

【例8】已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(2 020)=6，则f′(-2 020)=________.

答案：8

分析：本题条件中的数字“2 020”与“-2 020”显然是一对相反数，与之关联的数学知识为函数的奇偶性中f(x)与f(-x)的关系，故本题研究对象f′(x)=4ax3-bsinx+7中隐藏着一个奇函数g(x)=4ax3-bsinx，则f′(x)=g(x)+7,f′(-x)=g(-x)+7,所以f′(x)+f′(-x)=14为定值.故所求为8.

8.强化“问题诊断”，让数学更加严密

“学而不思则罔”，高三数学二轮复习就需要查缺补漏，及早发现问题，因而教师指导学生在解题之后进行相应的问题诊断，并纠正错误，就显得比埋头刷题更加有效.如在每次的小题限时训练或阶段考试之后，可让学生自我反思.

考试类型限时训练题号1234……22得分失误分可补偿分考点集合复数三角数列函数

通过自我数据统计，学生可进一步自我问题诊断，方便下一步的针对性复习和巩固.

【例9】已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.试讨论f(x)的单调性.

问题诊断：①未考虑函数的定义域；②参数分类不完整；③解题不够规范.

正解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，

当a=0时，令f′(x)=0，可得x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减.

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减.

9.结束语