基于发展数学运算核心素养的解题教学探讨

广东 陈应全

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)中指出了数学学科的六大核心素养，其中数学运算核心素养作为六大核心素养之一，它主要表现：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.数学运算贯穿于整个数学学习过程，是各个阶段数学学习必须具备的一项基本技能和核心素养.数学运算的准确性、简洁性直接影响到学生数学成绩的高低.因此，如何有效地发展学生数学运算核心素养是作为一线教师非常值得探讨的重要课题.

解题教学是高中数学课堂的重要课型之一，教师通过引导学生经历分析问题和解决问题的过程，达到巩固数学知识、培养思维能力、渗透数学思想方法的目的.在此过程中，发展学生数学运算核心素养自然也成为解题教学的潜在收获.可是，这当中收获有多大呢？事实上，不少老师在解题教学中仍然习惯采用“教师示范+学生模仿”的模式，注重解题模式的识别，淡化对学生的引导和启发等，使得解题教学未能达到预期的教学效果.可见，教师教学观念落后，解题教学策略使用不当，对发展学生数学运算核心素养的收效甚微.下面笔者结合典型案例探讨基于发展学生数学运算核心素养的解题教学，以期抛砖引玉.

1 教学探讨

1.1 确认运算对象,奠定运算基础

《课程标准》中数学运算核心素养水平二指出：能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.可见，确定运算对象是探究运算思路的前提.在解题教学中，教师要有针对性地选取在关联情境中如何确定运算对象的例题，并引导学生分析题意并确认运算对象，为学生提出数学运算问题奠定基础.

【例1】已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

可见，在较复杂的关联情境中确认合适的运算对象，使得表面看起来非常困难的问题都会迎刃而解.因此，在解题教学中，教师可以通过结合运算情境引导学生理解运算对象所在的知识体系，多角度尝试，实现运算对象的多元表征，让学生领悟选取不同的运算对象使得其解题过程的繁简程度是迥然不同的，旨在培养学生在关联情境中确定合适运算对象的意识，掌握确定运算对象的基本策略，这对发展学生数学运算核心素养的作用是巨大的.

1.2 明辨运算思维，把握数学本质

《课程标准》对数学运算核心素养水平一指出：在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，能够运算验证简单的数学结论.因此，在解题教学中，教师不能只看运算结果而忽略数学运算过程，必须要让学生明辨数学运算思维的合理性，旨在把握数学内容的本质.

这是2019年人教版A普通高中教科书数学必修第一册第229页的一道习题.在教学中，笔者发现不少学生有如下的做法:

所以cosC=-cos(A+B)

=-(cosAcosB-sinAsinB)

【例3】已知1≤a+b≤3，-1≤a-b≤2，则z=3a-b的取值范围是________.

对于本题，很多学生有如下做法：

所以-2≤3a-b≤7.

以上解法看似无懈可击，其实忽略了一个重要的隐含条件：a,b之间存在相互制约的关系，导致求得的范围过大.事实上，由于a,b间存在制约关系，可以将a+b,a-b看成一个整体并找出3a-b与a+b，a-b的关系，从而求得3a-b的范围为[-1,7].

从以上两个例子可以看出，学生运算思维方式存在偏差，往往会出现算不明、理不清的情况导致解答过程有误.因此，在解题教学中，我们务必要将数学运算的道理讲清楚，让学生明辨自己的思维方式是否有不恰当之处，帮助学生养成独立思考的习惯，从而达到发展学生数学核心素养的目的.

1.3 厘清运算路径，优化运算思路

《课程标准》对数学运算核心素养的水平二要求：能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.可见，运算对象的确定与运算方法的选择是运算素养中的重要环节.数学运算素养的高低主要体现不在于运算本身，而是在运算对象的确定与运算路径的设计.章建跃教授在《中学数学课改的十个论题》中提出：“理解数学、理解学生、理解教学是进行新课改有效教学的三个大基石”.因此，在解题教学中，教师要对教学设计中例题涉及的通性通法了如指掌，更要明确每种运算路径的思维关键点以及复杂运算出现的关键节点，要以此为基础帮助学生厘清运算路径，以期优化运算思路.

章建跃博士曾说过，简单试题更能体现教师的教学基本功，难度不高的试题更有利于开展教学，更有利于教学目标的达成.因此笔者在平面数量积的习题课选用了一道难度适中的题目作为例题.下面是两位学生的解答过程.

学生2：如图，建立平面直角坐标系，

以上两位同学做法都是正确的，通过集体讨论一致认为学生2的做法对逻辑推理、数学运算核心素养要求较低，是一种更加优越的运算思路.笔者就此做了总结：求解平面向量数量积通法有两种，分别是基底法和坐标法.基底法(学生1)一般要求作为基底的两个向量模与夹角都要明确，进而把相关向量表示出来后，再进行数量积运算.坐标法(学生2)，建系时一般遵循对称原则与简单化原则，即让更多点落在坐标轴上以便表示相关的向量坐标，再进行数量积运算；使用坐标法时，合理建系后转化为坐标运算即可，此法对数学运算要求较低；而使用基底法时，用基底表示相关向量往往需要充分利用平行四边形法则、三角形法则以及数乘运算等，对逻辑推理和数学运算要求较高，所以一般优先考虑坐标法.

通过以上例题的讲解，帮助学生厘清了求解向量数量积的运算路径，并补充了如下题目检验教学效果.

( )

A.[-1,1] B.[0,2]

C.[-2,2] D.[-2,0]

答案：D

1.4 把控运算细节，加快素养提升

《课程标准》在数学运算素养水平三中指出：能够在综合情境中，把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向；在交流中能够用程序思想理解和解释问题.在解题教学中，教师不仅要明确每种水平的具体要求，还要站在水平三的高度上指导学生数学运算细节，帮助学生的数学运算水平往更高的等级迈进.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

师：△OPQ的面积变化是由谁影响呢？

生1：直线l的斜率k.

师：△OPQ面积公式是什么?

生2：△OPQ面积公式是底与高乘积除以2.

师：你能分别用k表示出△OPQ的底与高吗？

生3：可以的，用弦长公式将底|PQ|用k表示，用点到直线距离公式将高用k表示.

至此，学生已将△OPQ面积用k表示出来，根据原则，可以认为达到了水平二的要求.那么，如何将学生的数学运算水平再提升一个等级呢？

生4：最大困惑在于上式分子中的根号.

师：可以让它消失吗？如何才可以消失？

1.5 交流运算成果，促进素养养成

史宁中教授认为：学生数学核心素养的形成与发展，本质上是学生“悟”出来的，是学生通过独立思考，以及和他人的讨论、反思逐渐养成的一种习惯.而课堂作为发展学生数学运算核心素养的主阵地.因此，在解题教学中，教师要精心设计教学过程并为学生搭建一个交流运算成果的平台，在每完成一道题后要有师生间、生生间的交流过程，让同学们走过的数学运算历程做好分享并形成良好的学习经验，如运算对象如何确认，运算路径如何获取，运算错误如何规避以及每种运算路径的运算成本等.在交流的过程中，让他们逐步学会借助运算探讨问题，用程序思想理解和解释问题.这样的数学课堂对学生运算核心素养的养成更深刻.

2 结束语