高考数学“一题两空”试题命制的探究与思考

安徽 张 刚

高考数学填空题一直以来都是高考命题的重要“试验区”，特别是近五年(2017年至2021年)，高考招生录取制度的不断深化改革，也引发高考数学填空题的命题结构、考点内容等方面都处在不断变化和完善当中，“一题两空”试题就是考查命制技术创新的形式之一.本文以近五年(2017年至2021年)高考数学部分填空题为例，探究高考数学“一题两空”试题的命制特征、规律，以便引发广大师生的关注与分析，从而提高高考数学备考的准确性和实效性.

1.“一题两空”试题题型功能及考查分析

“一题两空”试题通过题干给出一个不完整的叙述，让考生根据题干要求填写空缺部分(定量值或者定性条件等)，形成一个正确的命题，填写的内容可以是条件、结论，也可以是数值符号、数量关系等，考查形式灵活多变，重点考查基本概念、公式定理、基本技能、思想方法等.

“一题两空”试题与选择题(包含多选题)同为客观题，题型的特征与功能都非常突出，比如，试题结构形式简洁明了，考查知识点针对性强，题干立意特色鲜明；评分客观、快捷，定量化试题可以采用计算机辅助阅卷系统完成；单个试题知识点总量实行有效控制，适当照顾考查的知识点覆盖面等.

相比选择题，“一题两空”试题既没有备选项，又没有运算结果提示，这样就避免了信息干扰，也更真实地反映考生数学解题能力的客观水平，更显示出这种题型在考查“四基”方面的优势.相对于解答题而言，由于无法显示考生解题的具体过程，没有过程分，一招不慎，满盘皆输，会与不会无法区别，从而也造成考生心理负担较重，得分率相对较低，区分度受到影响.因此，填空题，特别是“一题两空”试题在设置考点数量和考查知识点深度必须适当控制.比如,解题过程不宜超过3步，解题方法力求通法通解与“秒杀大招”的多样化，尽可能发挥“一题两空”的优势，设立解题“中间过渡区”，体现局部结果，弥补部分单空题的不足；还可以增加知识考查的覆盖面，即一个主题下设立多个答题点，考查更多地基本技能和方法，让更多地考生能够“入手较易，分层上岸”；对于难度较大的试题，考生可以实施分步得分，实现考生思维之间的差异，在“送分”的基础上，提高试题考查的深度，从而丰富命题形式，提高试卷区分度，更好地实现高考选拔人才的功能.

2.“一题两空”试题数量分布及评分标准

纵观2017至2021年全国各地高考数学试卷，在试卷整体布局上重在立意，由于没有选项提示，在试题解法上，填空题直接求解的较多，很多问题的解法不如选择题有效、准确，解题速度也大大降低.试题设计充分考查考生思维发生的全过程，同时更加注重解题结果，但无法显示考生推理运算等思维的中间过程，实属遗憾.因此在一张试卷中，填空题的数量特别是“一题两空”试题更要充分考虑考生实际，合理安排顺序，既不能增加考生过重的心理负担，也要能显示合理的区分度，体现高考选拔的功能.

续表

从表中可以看出：各省市使用“一题两空”试题的数量各不一样，同一省份不同年份的高考试卷中使用“一题两空”试题的数量也有区别；从试题位置上来看，同样也是不固定的，根据题目选材，内容等特点灵活设置其位置，命题人一般根据其素材类型和题目难度预设评估，按照难度的先后顺序进行排列，有时与“一题一空”试题交叉出现，有时集中出现，试卷模式打破“八股”模式，年年翻新变化.

虽然，各省市使用“一题两空”试题在不断变化，但从上表中还是可以得出一些有价值的信息提示：比如，①近五年北京卷和浙江卷每年“一题两空”试题的分值设置都是不变的(北京卷每题5分，浙江卷每题6分)；②近五年浙江卷“一题两空”试题的数量保持稳定(4小题)；③特别值得关注的是，北京卷“一题两空”试题的数量在近两年有增加的趋势，甚至在2021年新高考Ⅰ卷和2019年全国卷Ⅱ中出现.因此，今后全国高考数学“一题两空”试题出现，将是新高考试题改革的一种发展趋势，要引起广大师生的高度重视.

另外，从评分标准设计的角度来看，“一题两空”试题丰富了试卷的评分模式，各省份根据“一题两空”试题的难度区分、考查目的、功能定位等，每题5分，可以设置前空2分，后空3分，也可以是两空只对一空得2分，全对得5分.每题6分，可以是两空只对一空得3分，全对得6分，从而更加客观全面地考查学生思维水平，充分体现“按劳分配，多劳多得，注重绩效”的考查原则.

3.“一题两空”试题的题型设计示例

在原有“一题一空”试题的基础上，增加部分“一题两空”试题，是为了更好地丰富试题考查形式，根据不同试题的考查标准就会有不同的试题类型设计，当然任何分类都没有绝对的标准、尺度等.

3.1 考查方向和内容

从近五年高考数学试卷“一题两空”试题考查的方向和内容来看，可以分为概念理解型、公式计算型、图表分析型等，一般是通过数学实例或实际生活问题为背景，考查学生对数学概念公式，原理性质的理解与运用是否正确，“一题两空”试题可以在高考数学考查的主干知识背景下对考生一个或多个知识点进行考查，突出核心知识的覆盖面.比如,函数与导数、数列、三角函数、平面向量、立体几何、圆锥曲线与方程、概率与统计等都是“一题两空”试题考查的重点内容，避免考查的知识点单一，覆盖面小.当然，“一题两空”试题考查的方向与内容也可能更加灵活多样，总体可以看出，“一题两空”试题的设计就是为了更好地实现对考生数学思维水平的有效考查和区分.从近五年全国各地的高考数学“一题两空”试题的考查来看,试题基本立足于重点知识板块的基础考查，难度中下等居多，主要检测考生是否具备一定水平的理解和计算能力，是否具备数学的基本原理、性质.“一题两空”试题一般都是前后考查知识点类似，思维方向水平一致，相互联系考查，从而实现题干条件的全部利用，实现考查方向和内容的最大化.“一题两空”试题可以更真实地反映考生的理解水平和思维层次水平.

3.1.1 概念理解型

【例1】(2021·北京卷·2)已知抛物线C:y2=4x，C焦点为F，点M在C上，且|MF|=6,则点M的横坐标是；作MN⊥x轴于N,则S△FMN=.

分析：本题属于概念理解型问题，重点考查抛物线的定义及其几何性质等基本概念，计算量比较小，难度不大，突出数学基本概念的掌握情况，体现出“会即对”的特征.

本题主要根据抛物线的标准方程可得出C的焦点坐标，并利用抛物线的定义建立方程，最后利用两点间的距离公式及三角形面积公式求得△FMN的面积.

3.1.2 公式计算型

【例2】(2021·浙江卷·13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1=；a2+a3+a4=.

分析：本题属于公式计算型问题，学生只要能够牢记并熟练运用相关公式，就可以解决问题.

3.1.3 图表分析型

【例3】(2019·全国卷Ⅱ理·16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.

图1

图2

分析：本题属于图表分析型问题，这类问题要求考生有一定的文字阅读基础，能够根据题目所给的图形图表条件，结合自身已有的知识加以理解，特别是阅读题中文字量较多，信息量较大，图表关系又复杂的新情境问题，试题考查形式也更加灵活多样，既考查学生通过阅读提取有效数据信息的能力，又考查学生迁移新情境的创新解题能力.如果“一题一空”设计就容易造成题干太大，缺乏应有的“题干担当”，同时题干信息的利用率也较低.本题主要以数学金石文化为背景，以新概念“半正多面体”为载体，考查学生的空间想象、推理论证能力.第一问可以按题目所给图形数出来，第二问则需在正方体中简单还原出实体模型的位置，利用对称性以及平面几何知识解决．

图3

类题再现：(2017·北京卷理·14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1,2,3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是；

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是.

参考答案：Q1;p2

3.2 设计结构和层次

从近五年高考数学试卷“一题两空”试题设计的结构和层次来看，可以分为并列型、递进型、综合型等填空题，一般是通过实例考查学生对数学概念公式，原理性质的理解与综合运用是否正确，“一题两空”试题可以在一个主干知识条件下考查学生多个知识点的交汇，使主干知识的考查更加突出，避免考查的知识点浅尝辄止，流于表面形式.同样，推理计算、逻辑思维水平，数学思想方法的检测也可以通过“一题两空”试题实现有效区分和考查.“一题两空”试题,既有简单的数据计算，也有一定程度的推理，推理型填空题主要通过推理能力的训练与考查，检测学生是否具备一定层次水平的推理能力，是否具备掌握相关数学基本原理、性质.“一题两空”试题一般都是前基础后延伸，前特殊后一般，前后关联，从而步步推进，通过所给的“材料作文”，进行现场定时完成，“一题两空”试题可以更真实地反映考生的阅读理解水平以及思维层次水平的划分.

3.2.1 并列型

【例4】(2020·浙江卷·13)已知tanθ=2，则cos2θ=

分析：本题属于并列型问题，2个问题属于同一题干，但解决时并没有因果关系，可以独立完成，互不影响，试题难度也是同一水平.主要考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，落实数学运算核心素养.

因为tanθ=2，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ

类题再现：(2017·浙江卷·12)已知a，b∈R，(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)，则a2+b2=，ab=.

参考答案：5；2

3.2.2 递进型

分析：本题属于递进型问题，主要考查平面向量的线性运算，落实直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.其中，第2空的解决要深入挖掘题目所给的隐含条件，有时还会依赖第1空的解题思路或结果来处理.

由题意得AD∥BC，∠BAD=120,由得因此取MN的中点E，连接DE,则

3.2.3 综合型

【例6】(2019·北京卷理·13)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a=；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是.

分析：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，以及导函数中含参数的恒成立问题，本题属于综合性考查学生的基本概念.虽然两个问题没有因果关系，可以独立求解，但是难度上却依次递增，且综合性强.

因为函数f(x)为R上的奇函数，借助奇函数的性质可知，所以f(0)=0，即e0+ae0=0，解得a=-1；由f(x)=ex+ae-x是R上的增函数知f′(x)=ex-ae-x≥0，通过分离参变量可得，即a≤e2x对∀x∈R恒成立，因为e2x>0，所以a≤0.

参考答案：(1,4)；(1,3]∪(4，+∞)

4.结语