例谈直观想象核心素养的培养

山东 崔 文

随着《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)和《中国高考评价体系》两个纲领性文件的发布，新高考命题逐渐强化能力立意与素养导向.《课程标准》提出六大核心素养，其中直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.史宁中教授认为“很多数学问题是看出来的，而不是做出来的”，可见直观想象核心素养对数学学习的重要性.直观想象核心素养得到提升的表现：学生能够借助几何直观理解问题，利用数形结合的思想解答问题.本文对课堂教学中如何提升学生的直观想象核心素养进行思考，期待产生共鸣.

一、透过几何直观研究题目规律

借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，这是直观想象核心素养的基本要求.要通过几何体的结构特征，来确定点、线、面的位置关系，以及能够求出长度、夹角、距离、面积、体积等几何量，或者探究轨迹问题等.

【例1】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

( )

分析：解题时通常要根据题目中的描述画出几何图形，但是球与它的内接三棱锥几何作图相对复杂，并且图形中过多的点与线不利于对几何问题的分析.不妨先对三棱锥的结构特征进行分析，辨清数量关系，再深入研究组合体的结构特征.

解析：画出三棱锥如图，

点评：本题是对学生的平面几何思维和立体几何思维的综合考查，是对解三角形和立体几何两大模块的整合，综合性较强.

分析：根据已知条件，问题的本质是找到平面BCC1B1上的球心D1所对应的圆面，然后分析出截得的圆面在矩形BCC1B1上的弧长，即为球面与侧面BCC1B1的交线长.

点评：解答本题的关键是要分析出D1E⊥侧面BCC1B1，从而锁定截面圆的圆心，逆向利用“球心和小圆圆心的连线垂直于圆面”这个非常重要的性质解答，对几何直观能力要求较高.

在日常教学中培养几何思维，最关键的是养成作图、观图、识图、用图的习惯，注意立体向平面的转化，动态向静态的转化，组合体向简单几何体的转化，感性思维向理性思维的转化.要掌握一些常见的数学思想方法，如例1中用到模型化的方法，构造正方体模型解题，化难为易；例2用到平面化的方法，把立体几何问题转化为平面几何问题.特别注意，有时需要整合各章知识，如例1用到解三角形的知识，考查了勾股定理和余弦定理.知识交汇是高考命题的趋势，考查学生综合分析问题和解决问题的能力.

二、利用几何直观表达数学问题

利用图形描述、分析数学问题，这是直观想象核心素养较高层次的要求.我们可以借助几何图形来表达一些代数问题，赋予其几何意义，然后通过对几何问题的研究使得原来的问题得以解决.这种解题思维在复数、向量、函数等问题中都有广泛的应用.

分析：利用复数的向量表示，即从几何意义的角度考虑，问题会变得很简单.

解析：如图所示，

点评：复数的模可以确定构造的三角形的形状，为解题提供思路.观察图形的形状对解题帮助很大.

【例4】已知向量a,b的夹角60°，|a|=2， |b|=1，则|a+2b|=________.

点评：平行四边形法则和三角形法则使得向量的问题转化为解三角形的问题，实现问题的几何化.

【例5】若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则

( )

A.eb

B.ea

C.0

D.0

分析：画出函数的图象，对点(a，b)的位置进行分情况讨论，即可得到选项.

解析：函数的图象如图，分析可知，若点(a，b)在函数的图象的上方，没有切线；若点(a，b)在函数的图象上，只有一条切线；若点(a，b)在x轴上或者x轴下方，只有一条切线；故点(a，b)在函数的图象下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0

点评：本题采用位置分析的方法，基于对点(a，b)位置进行完全归纳，最后得到点(a，b)位置的不等关系.

很多数学问题本身具备二维性，比如前面举例的复数具有几何意义，向量可用有向线段表示，函数可用图象表示等.这就为问题的解决提供思维发散的空间，基于图形分析问题使得解答更加简洁.再如解不等式|x-1|+|x-3|>6，或解不等式|x+1|-|x-3|>3，可以运用数形结合解出解集，实现代数问题向几何问题的转化.

三、把代数问题建构为几何模型

建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，这是直观想象核心素养的高阶思维要求.难点在于合理转化，代数问题与几何问题思维相互关联，互为补充，以代数问题为蓝本创建几何图形，以几何图形为依托进行代数分析，使得题目得到解答.

点评：本题对图象变换和函数图象的作图有较高要求，需要平时加强训练.

【例7】关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数;

③f(x)在[-π,π]内有4个零点;

④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的序号是

( )

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

分析：函数f(x)=sin|x|+|sinx|是由基本初等函数y=sinx复合而成的函数，其图象不能简单画出，但是我们根据函数y=sinx的对称性，可以把函数y=sin|x|，y=|sinx|图象叠加，得到函数f(x)=sin|x|+|sinx|的图象.

点评：要注意到正弦的波峰、波谷叠加时，图象处于平衡位置.

以上两题为函数问题，其思维的产生需要扎实的能力，丰富的数学解题经验，数形结合思想和化归与转化思想的融合.构建数学问题的直观模型，能够使得很多复杂的问题思维量降低，解题过程优化，进而快速得出答案.

四、直观想象核心素养培养的教学建议

1.利用信息技术辅助教学，提升数形结合的能力.对平面几何、立体几何、函数、向量、圆锥曲线等的教学要多用几何画板或者GeoGebra辅助，建构图形或者图象，研究位置关系，或者探究定点、定值、定长、定角等问题，拓展学生思维.也可以采用折纸、实物演示等方法，让学生进行观察、分析、总结，养成良好的思维习惯.

2.积累数学活动经验，助力深度思维的发生.很多问题有固定的解题模式，如构造模型法、图象变换法、利用几何意义等，典型的问题要对其认真探究，深入本质，归纳题型，在大脑里形成完整的数学解题模型.