基于简化素养 解决简算不“简”的问题——从一道小学数学学科能力检测题谈起

宋元春

（广东省顺德市德胜学校小学部）

数学意义上的简化可看作“数学神奇”的一个主要方面，它会通过运用转化、变换、推理、分析、统筹、预测等方法，让人们把生活中一些复杂的问题或现象变得更加简单。正是由于“简化”的数学方法具有实用性和广泛性，使得它能够处理包括空间和运动、几率和概率、统计学和社会科学、艺术和文学、逻辑学和哲学、伦理学和战争、音乐和建筑、食物和医药、伦琴射线和晶体、遗传和继承等领域中的很多问题。

下面是2018年某地小学数学学科能力检测中的一道题：请你用合理的方法计算350×18和600÷25。

测试结果显示，只有少部分学生运用了“合理”的方法进行计算，大部分学生采用了列算式的方法计算。题目中没提出简便计算要求，学生就不用简便方法计算，怎么办？

显然，这道题除了采用列算式的方法外，还可以采用简便计算的方法，即：

1．350×18=350×（2×9）=350×2×9=700×9=6300

2．600÷25=（600×4）÷（25×4）=2400÷100=24

不可否认，运用列算式的方法确实能正确计算出上述两道题目的结果，而且“合理”指的是合乎道理或事理，对于不同的学生而言，“合理”的意义不尽相同。所以，用列算式方法解决以上两道题目，毫无疑问是正确的。

但同时，上述两道题目又具有明显的简算特征，即先转换成与整十、整百、整千相关联的数再进行计算，这样明显可以更加简便。问题恰恰在于此，在题目没有明确简算要求的情况下，大部分学生并没有选择简便算法，而是选择了更为通用的列算式方法。这是为什么呢？对这一问题进一步思考，我们可以提出两个问题：一是学生是否形成了简算的意识？二是学生是否掌握了简算的方法？

结合这两个问题，我在实践中探索了如何在数学课堂中培养学生简化素养的策略。

一、注重培养简化意识

北京师范大学彭聃龄教授在《普通心理学》一书中认为，心理学界对“意识”概念的理解分广义和狭义两种。广义的是指大脑对客观世界的反应，这表现了心理学脱胎于哲学的一种特殊的学术现象，而狭义的则是指人们对外界和自身的觉察与关注程度，现代心理学中对意识的论述则主要是指狭义的意识概念。

简化意识是指学生对简化的觉察与关注程度。觉察，指发现、察觉或觉知；关注，指关心、重视。在数学教学中，教师要通过具体数学知识内容的教学，引领学生感悟数学的简化特性，体会简化在解决实际问题中的简单、方便、好用，使学生对数学简化特性形成深刻的认知，建立积极的情感与态度。

小学数学中有很多这样的例子，如计算1+2+3+……+100，按照常规算法，需花费不少时间。但如果采用高斯的方法进行首尾相加，则只需套用101×50就可以了；再如，计算，按照常规算法，需先将这些分数通分，转换成同分母分数再计算，如果转换思维，采用图1的图式简算思路，则直接用就可解决。又如，计算形状不规则平面图形的面积时，我们只需把它转换成一些基本的平面图形，如长方形、平行四边形、三角形、梯形等就可以化繁为简进行计算。

图1 图式简算

另外，转化思想在数学学习中的广泛使用也能让学生充分体验到数学简化的价值。如在图形的测量中，平行四边形的面积计算可以转化成长方形的面积计算、三角形的面积计算可以转化成平行四边形的面积计算、梯形的面积计算可以转化成三角形的面积计算、圆的面积计算可以转化成长方形的面积计算等。在数的运算中，异分母分数加减法可以转化成同分母分数加减法，分数除法可以转化成分数乘法，除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法等。如同搭建房子需从下往上逐层建设一般，数学体系也是基于数学对象的“抽象—推理—建模—抽象……”过程而不断完善与扩展。

从这个意义上说，数学即可视为简化的产物，数学知识本身自带简化属性。法国思想家狄德罗说：“在（数学中）美的各个属性之中，首先要推崇的大概就是简单性了。结果的意思及其意义马上就会被读者掌握，而这一点本身可能就使得人们觉得这个结果多么漂亮。”这就要求教师在平时教学中不能仅仅停留在对知识技能的理解与掌握上，还应以此为基础及时渗透数学思想方法，引导学生感悟数学简化特性的方便与好用，引领学生用数学简化的眼光理解问题、用数学简化的方法解决问题，真正让数学简化意识融入学生的思想，让数学简化方法融入学生的认知，让数学简化魅力融入学生的情感，使学生对数学简化的觉察与关注成为一种习惯。

二、牢固掌握简化方法

如果说简化意识的培育是学生简化素养形成的前提，那么简化方法的掌握就是学生简化素养形成的保障。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可知，培养学生简化素养，引领学生掌握简化方法，形成良好运算能力，需帮助学生做好以下两个方面的学习。

（一）理解和掌握小学数学运算法则和运算律

完成运算，得出结果的方法、程序或途径，通常叫做运算方法或计算方法。把运算方法所要求的操作程序和要点用相对准确、规范且比较容易理解的文本语言表述出来，或者将当前运算归结为学生早先已经掌握的相关运算，就是运算法则。关于小学数学的运算法则，东北师范大学史宁中教授指出：“在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则，包括有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先乘除后加减。”由于这两个法则在整个小学阶段整数、小数和分数运算中都是适用的，通常大部分学生掌握得都比较好，在此不再赘述。

运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。小学阶段的运算律，主要包括交换律（加法及乘法）、结合律（加法及乘法）与分配律（乘法对加法或乘法对减法）。

1．交换律

交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对于特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。可见，交换律的核心在于“可交换”。“可交换”一词被使用于如下3个相关的概念中。一是在集合S上的一元和二元运算*中被称之为“可交换”的：若x*y=y*x（∀x，y∈S），一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。二是若称x在*下和y“可交换”，即表示：x*y=y*x。三是一元和二元函数f：A×A→B被称之为“可交换”的，若f（x，y）=f（y，x）（∀x，y∈A）。交换律在数学研究、数学证明中的广泛应用，证明了其在整个数学体系中的基础地位。如在群论和集合论中，若其中的运算域满足交换律，则这样的代数结构被称做是“可交换”的。如上所述，“可交换”及“广泛应用”可视为交换律的基本特征。

2．结合律

在数学中，结合律是二元运算下可以具备的一个性质，指在一个包含有2个以上的可结合“算子”的表示式，只要“算子”的位置没有改变，其运算的顺序就不会对运算结果有影响。即重新排列表示式中的括号并不会改变其值。其定义是：形式上，一个在集合S上的二元运算*被称之为“可结合”的，若其满足（x*y）*z=x*（y*z）（∀x，y，z∈S）。运算的顺序并不会影响到表示式的值，且可证明这在含有“任意”多个运算的表示式之下也依然是成立的。

由此发现，交换律和运算律的相同之处是：运算顺序发生改变但结果不变。而这恰恰也是它们的本质属性，即“可交换”与“可结合”的前提条件是“运算值不变”。同时，交换律和结合律也有明显的不同，即交换律中“算子”（加数或因数）的位置可以改变但结合律中“算子”（加数或因数）的位置不允许发生改变。

3．分配律

分配律是离散信号卷积和运算最常用的几个基本运算规则之一，离散序列卷和运算满足分配律，即两个序列先行相加运算再与第3个序列做卷积和运算，其结果等于这两个序列分别与第3个序列先做卷积和运算，然后二者再相加，即：

给定集合S上的两个二元运算×和+，若对任意S中的a，b，c有c×（a+b）=（c×a）+（c×b），则称运算×对运算+满足左分配律。若对任意S中的a，b，c有（a+b）×c=（a×c）+（b×c），则称运算×对运算+满足右分配律。

借助系统论和集合论的内容来开阔视野，使我们对乘法分配律的理解更加深刻，即乘法分配律可看作为3个“序列（数）”之间的“卷和运算（乘法和加法）”，它不仅满足乘法对加法的左（右）分配律，同时乘法对减法的左（右）分配律也是成立的。需要指出的是，除法对加法及减法只满足右分配律，其对加、减法的左分配律是不成立的。

（二）寻求合理简洁解决问题的运算途径

学生在掌握运算法则和运算律的前提下，如何寻求合理简洁的运算途径来解决问题？灵活运用所学知识（即运算法则和运算律）就是实现巧算与简算的关键。灵活性是重要的数学思维品质之一，是指善于根据客观实际情况的变化而及时改变原来的工作计划或解决问题的思路与方案。思维的灵活性表现为：不囿于过时的方案，而善于根据实际情况的变化灵活地改变原有方案，采用新的方法、途径去解决问题。具体从以下三个角度来进行分析。

1．建立良好的简算结构

美国著名教育家布鲁纳曾指出：“掌握一个学科的结构是理解该学科的一种方式，使许多其他相关的事物有意义。简而言之，学习结构就是学习事物相关性……举一个数学例子，代数是在方程式中排列已知和未知内容的一种方式，从而使未知变成已知。”这涉及三个基本法则：交换律、分配律和结合律。学生一旦掌握了这三个基本法则所体现的理念，他就能认识到“新”方程式其实并不难理解。

培养灵活简算能力、形成简化素养，教师先要引导学生建立应用运算律进行简便计算的基本结构，即交换律、结合律、乘法分配律、减法的性质、除法的性质、除法的右分配律、商不变的性质等。然后，要使学生对简算结构的“标准正例”（与简算结构形式上完全相同）或“非标准正例”（与简算结构相比形式上有变化，但实质相同）能做出清晰的认知，进而准确判断计算中能否简算，该利用何种结构简算。例如，计算25×39×4，这属于交换律的“标准正例”，所以可直接利用运算律进行简算，即25×39×4=25×4×39=100×39=3900；再如，计算350×18，这不属于交换律的“标准正例”，无法直接简算，但是如果把18拆分成2×9，即350×18=350×（2×9）；此时，便可参照简算结构中的结合律进行简算，即350×18=350×（2×9）=350×2×9=700×9=6300。

2．基于结构进行状态转换

按照以往教学经验，参照前面引用的两个例题（350×18及600÷25）可知，学生在面对简算的“非标准正例”时，相较于“标准正例”要困难得多，这就需要培养学生具备“状态转换”的能力。

现代认知心理学认为，问题解决就是在问题空间中搜寻解决路径，即“算子”（与前文中的“算子”意义不同），也就是问题由“初始状态”向“目标状态”转变的过程。找寻“算子”的时间越短、问题解决的“中间状态”越少，即可视为问题解决的能力越强。结合简算教学，这一理论也很有指导意义，如计算600÷25，首先要对问题深刻理解，即这是一道整数除法的计算题，不属于简算的“标准正例”，无法直接简算；其次，要进行“状态转换”，即是否可以通过数的拆解或组合形成某种简算结构，进而尝试变化为（600×4）÷（25×4）=600÷25，符合“标准正例”（商不变的性质），可以简算；最后，要实施简便计算，使问题得以解决，即600÷25=（600×4）÷（25×4）=2400÷100=24。

由此可以看出，培养学生“数的凑整”意识对于简算是格外重要的。我们要意识到，在小学数学数的运算中，整十、整百、整千、整万的数总能使计算变得更加简单。因此，教师要在平时的运算教学中，适时渗透“数的凑整”意识。例如，72与28的和是100，250与4的积是1000，1．25与8的积是10,1．37与0．37的差是1，101可以看成100+1，98可以看成100-2，等等；要引导学生通过“状态转换”，尽可能地把数或式转换成整十、整百、整千、整万的数，进而实施简便计算，提升简化素养。

3．适时提供反例进行比较

把握事物的本质，仅仅从正例（“标准正例”与“非标准正例”）入手肯定是不够的，还需要适时提供一些反例，引导学生进行比较，以达到对事物的内涵及外延更深层次的理解。在小学数学“数的运算”内容中，往往会看到一些形似简算结构实质却无法简算的计算题。例如，750÷25×4，出于“数的凑整意识”，很多学生可能马上想到25×4=100，所以进行简算：750÷25×4=750÷（25×4），显然这种思路是错误的。

如何克服这种思维的局限性？提供正、反例进行比较，在此可视为一种有效的尝试，即出示750÷25÷4与750÷25×4，引导学生进行比较。通过分析不难得出，750÷25÷4符合简算结构（即除法的性质）可以简算，即750÷25÷4=750÷（25×4）。而750÷25×4不符合简算结构，只能按照运算顺序进行计算。

这也启示我们，思维的灵活、计算的快捷固然是对“数的运算”的追求，但对简算的实质理解从某种程度上来说更为重要，即“可不可以这样做”“为什么可以这样做”比“怎样做”更重要，它关乎着运算的方向与运算结果的对错。

三、注重简化素养的渗透方式

在小学数学教学中解决简算不“简”的问题，教师除了要注重培养简化意识，帮助学生牢固掌握简化方法之外，还应注重简化素养的渗透方式。

（一）注重化归思想的渗透

培养学生的数学思维，应被看成数学教育的根本目标之一，其途径在于以思想方法的分析促进知识技能的教学。我认为，在数的简算教学中应突出化归的思想方法，即事物基于规则，由某种状态转变成另一状态。课堂教学中，要注意引导学生将算式由“变化结构”转变成“标准结构”，将问题由“初始状态”不断逼近“目标状态”，进而找到方法去解决问题。例如，48×25可以转化成12×4×25、6×8×25及40×25+8×25，101×56可以转化成100×56+56，等等。从这个意义上说，培养学生的简算能力，实质上就是培养学生的问题转换能力。

（二）注重优化意识的渗透

在“数的运算”教学中，运算方法的多样化和优化一直是颇受关注的话题。多样化，即倡导学生对知识的主观建构，尊重学生对知识的主观理解；优化，即尊重知识的客观意义，还原知识的真实面目。在具体教学中，我们应努力做到二者的必要平衡与统一，即鼓励算法的多样化，但也要做好必要的优化。例如，计算98+375，我们可有多种计算方法：90+8+375、95+3+375、100-2+375、98+300+75、98+372+3、98+2+373等。这些计算方法都是正确的（即符合数的分解与组成规则），但显然100-2+375与98+2+373两种算法更能体现数学的简化特性，即把复杂的问题变得简单，把简单的问题变得更简单。所以，多样化之后的比较和优化就很有必要。

（三）注重元认知能力的渗透

根据美国心理学家弗拉维尔的观点，元认知就是对认知的认知，具体地说，是个人对自己认知过程的认识和调节这些过程的能力以及对思维和学习活动的认知和控制。简而言之，元认知就是对自己认知过程和认知结果的监控与调节。

结合简算教学，培养学生的元认知能力就显得十分重要，这是因为，在解决较复杂的数学运算问题过程中，学生往往不能很快找出合理、简洁的运算路径，而需要不断往返地进行猜想、尝试、调整。对于具有一定元认知能力的学生而言，其在此过程显然游刃有余、得心应手，可以快速在不同思维环节灵活转换，从而更快、更好地解决问题。

对于教师而言，我们不应仅仅停留在“求得问题的解答”这一层面，而应引导学生进一步思考：解决问题时我们用了什么方法？这种方法合理吗？是否还有更简洁的方法？促使学生对认知过程和认知结果实施评估和监控，在解决问题的同时提升元认知能力。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁。”可见，数学的简化特性不仅给人们的工作和生活带来了方便，也对社会和科学各领域快速发展起到了一定的助推作用。因此，引领学生在学习数学过程中感悟数学简化之美、体会数学简化的价值、培育良好的数学简化素养，非常重要。