小学生举例表现与概念理解的相关性研究

【作者简介】李子豪，二级教师，主要研究方向为数学教育。

【摘 要】为了拓宽概念理解的评价方式，研究小学生的举例表现是否与其对相应概念的理解存在相关性，本文采用问卷测试法对南京市L小学六年级6个班共180名学生进行了正例、反例和概念理解的测试，分析了学生的作答数据，得出学生在举正例方面的表现比举反例要好，学生的举例表现与其对相应概念的理解存在显著的相关性，并且反例对于概念理解具有独特的价值。基于研究结论，建议一线教师在概念教学中鼓励学生自主举例，关注学生的举例表现，把学生的举例表现作为新的概念理解评价方式。

【关键词】正例；反例；概念理解；概念评价

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年）》（以下简称“新课标”）明确指出，数学课程要培养学生的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［1］。无论是数学的眼光、数学的思维还是数学的语言，数学概念都在其中发挥了至关重要的作用，这决定了概念理解是学生数学学习里值得重点关注的一环，并将持续成为数学教育的研究热点。

那么，如何评价学生的概念理解？背诵概念的定义、大量的练习反馈等传统的评价方式过于机械，近些年来兴起的概念图成为一种比较新颖的评价方式。但从教学现状来看，概念理解的评价途径还是相对单一和匮乏的。

举例，广泛存在于人们的交流活动中，数学课堂也不例外。曹才翰、章建跃指出，数学概念除了具备抽象性以外，又是非常具体的，即一个数学概念的背后有许多具体内容为支撑，学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能举出概念的具体例证，才算真正掌握了数学概念。［2］这说明举例已经被部分学者意识到可以作为一种概念理解的评价手段。然而，举例虽然普遍存在于中小学数学教学中，但是已有研究大多是从教师教学的角度分析举例的作用，较少有研究从学生举例的表现来评价学生的概念理解。

为了拓宽概念理解的评价方式，本文将举例分为举正例与举反例，并研究小学生的举例表现是否与其对相应概念的理解存在相关性。其中正例是指具有概念的所有本质属性的例子，反例是指符合某个命题的条件却不符合它的结论的例子。本文以六年级“因数和倍数”内容为例，确定研究问题：

（1）小学生在“因数与倍数”上的举例表现如何？

（2）小学生在“因数与倍数”上的举例表现与其概念理解的水平是否存在相关性？

二、研究设计

1.研究对象

本研究选取了南京市L小学六年级6个班共180名学生进行测试，鉴于数据的有效性，实际参与率为95.6%，即有效测试人数为172人。

2.研究方法

问卷测试法和访谈法。

3.研究工具

为考查学生的举例表现与其概念理解水平的相关性，本研究围绕因数和倍数内容，根据新课标的要求，以苏教版小学数学教科书为基础，编制了3份测试卷，分别为正例测试卷、反例测试卷和概念理解测试卷。其中正例测试卷主要是让学生根据题目要求举出合适的正例；反例测试卷主要让学生判断给定的数学陈述（即数学命题）的正确性，若学生判断该命题是错误的，则要求其至少举出一个反例；概念理解测试卷的内容根据莱什和兰多的概念理解评价模型分为了4个维度，即感知、表征、联结和应用［3］。试题的来源以教辅习题和自编题为主。在编制试题时，笔者首先与资深小学数学教师及高校数学教育专家进行深入交流和探讨，再根据预测试情况对试题进行修正（如试题表述、难度），以确保测试卷具有良好的信效度。最终，三份测试卷的克隆巴赫系数均大于0.7。

4.数据处理

本研究用Excel和SPSS软件进行数据处理和分析。

三、测试结果与分析

1.学生的举例表现

本部分先从两个角度分析学生的正例与反例表现：一方面是学生的总体表现，包括计算各题得分的平均值、得分率及标准差；另一方面则是根据数学知识内容把试卷内部具有相关性的试题合成题组，分析学生在这些题组里的表现情况。

接着，依据测试题在有关数学概念上的相关性，本研究将各试题结合成题组，再次分析学生在这些题组上的表现情况，以便能够从较微观的角度去分析学生举反例的表现与其对于相关概念的理解的关系。

（1）正例表现

图1给出的是学生正例测试总得分在各分段的人數分布情况。

测试发现，在满分为21分的测试中，172名学生的平均得分为18.91分，标准差是3.02，得分率为90.0%，表现较好。事实上，得分在21分的学生共计74人，约占总数的43.0%，即将近一半的学生得到了满分。图1还显示，得分在19分至21分的学生占比达到68.6%，而得分处在12分及以下的学生占比仅为5.2%。

正例测试的典型题组样例如下：

6.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。

（1）两个数都是合数：（  ）和（  ）。

（2）一个质数、一个合数：（   ）和（  ）。

（3）两个数都是奇数：（  ）和（  ）。

（4）一个奇数、一个偶数：（  ）和（  ）。

（5）一个奇数、一个质数：（  ）和（  ）。

（6）一个质数、一个偶数：（  ）和（  ）。

题6的6个子问题作为一组，其上位内容都是两个数的互质关系，但是6个子问题对这两个数各有要求［如题6（1）要求两个数都是合数，题6（6）要求两个数一个是质数一个是偶数］。举出符合要求的正例需要学生掌握概念并且还要注意举出的两个数字互不互质。由表1给出的学生在这6道题上的得分情况可见，题6（4）的得分率最高，为90.1%，平均得分为0.90（满分为1分）。题6（1）和题6（2）的得分率稍低一些，为82.3%，平均得分为0.83（满分为1分）。

题6（1）要求互质的两个数都是合数，这道题其实从侧面要求学生会举出既是奇数又是合数的例子，如果举出的两个合数都是偶数的话，那么偶数都是2的倍数则不互质，所以这道题对于那些认为“合数都是偶数”的学生来说存在一定的难度。分析学生的错误答案可以发现，大多数错误答案里的例子都是两个既是合数又是偶数的数（见图2）。

题6（2）要求互质的两个数是一个质数和一个合数，这道题按理说难度不高，可以写相邻的一些数字（如3和4），但学生的得分率卻较低。分析学生的错误答案可以发现，大多数的错误答案里举出的两个数字是一个合数和一个既是奇数又是合数的数（见图3）。笔者对这部分学生进行访谈，学生普遍认为自己写出的奇数是质数，把质数和奇数这两个概念形成了某种不恰当的联结。仔细分析可以发现，题6（1）和题6（2）的两种错误类型具有共性，即学生把质数和合数与奇数和偶数人为地分隔开了，简单地把合数归为偶数，质数归为奇数，但不管是质数还是合数都与奇数和偶数有交叉性。

（2）反例表现

图4给出的是学生反例测试总得分在各分段的人数分布情况。

测试发现，在满分为36分的测试中，172名学生的平均得分为19.51分，标准差是8.09，得分率为54.2%，不足满分的60%。事实上，得分在21分及以下的学生共计97人，占总数的56.4%，即半数以上的学生未达到满分的60%。图4还显示，得分在18分至24分之间的学生占比最高（30.2%），而最高得分段（31—36分）的学生占比仅为7.0%。

反例测试的典型题组（判断题）样例如下：

1.两个质数的和一定是偶数。（  ）

2.质数的倍数一定是合数。（  ）

5.一个奇数与一个偶数的乘积一定是合数。（  ）

7.任意多个奇数相加的和一定是偶数。（  ）

9.三个合数相乘的积一定是偶数。（  ）

10. 3个奇数相加的和一定是合数。（  ）

由于题1、题2、题5、题7、题9和题10都涵盖多个概念（例如，题1为质数和偶数，题5为奇数、偶数和合数等），且这些题皆与概念之间的运算有关（如题9为合数之间的乘法与奇偶性的关系，题10为奇数相加的和与质数、合数的关系），因此这6道题可归为一个题组。由表2给出的学生在这6道题上的得分情况可见，除题1和题7外，学生的得分都较低，其中题2的得分率最低，仅有23.6%，平均得分为0.71分（满分为3分），题5和题9也类似，这表明大部分学生在这几道题上无法正确判断命题或者无法构造出符合题意的反例。

通过对比，发现在题2上，大部分学生都认为题述命题是正确的，还有部分学生进行了积极的尝试（见图5），可是在尝试的过程中都使用了一个质数去乘2或乘3等。事实上，这道题考查的是“一个数的最小倍数就是它自己”，最小倍数也就是1倍，即质数的1倍还是质数。所以，在这道题上，学生只要用任意一个质数乘1即能成功构造出反例。这说明大部分学生对于“倍数”概念的表征网络并不完善，学生对“倍数”的理解似乎是从2倍开始的，对倍数这个上位概念和“1倍”这个下位概念没有形成有效的联结，从而不能完全理解倍数的概念。

学生在题9上的错误可以分成两类。第一类是学生尝试构造的反例中的三个合数全都是偶数（见图6），根据乘积的奇偶性，只要乘数里有一个是偶数，那么积一定是偶数，所以这样的构造注定是错误的。第二类是学生尝试构造的反例中的三个合数里有部分是奇数，且这里的奇数集中在“9”或“15”（见图7），最后的结果还是偶数。从学生的表现来看，之所以没有写三个既是奇数又是合数的数，一方面可能是没有意识到题目的本质是考查能否写出三个既是奇数又是合数的数，另一方面也有可能是教师上课时过于强调“9”和“15”，从而限制了学生的思维，较难想到其他既是奇数又是合数的数。这题涉及乘积的奇偶性、奇数和合数的交集等知识点的联结，从错误答案可以推测出学生关于这两个知识点的内部表征的联结强度不大，甚至产生了“合数等价于偶数”这样的错误联结。

为了比较学生在正例测试卷的表现和在反例测试卷的表现有没有显著差异，笔者分别算出每位学生在两张测试卷的得分率，然后对学生在两张测试卷的得分率进行配对样本t检验。结果显示，学生在正例测试卷的得分率（0.900±0.144）相比在反例测试卷的得分率（0.542±0.225）增加了0.359（95%CI：0.330—0.387），差异具有统计学意义，t（171）=25.103，p＜0.001。

2.学生的举例表现与概念理解水平的相关性

（1）不同的正例表现

本研究首先对学生的正例总分与概念理解总分进行了相关性分析，结果显示，学生的正例总分与概念理解总分的皮尔逊相关系数为0.664，p＜0.001，表明学生的正例成绩与概念理解成绩之间存在显著的高度正相关关系。

依据学生在正例测试卷上的测试表现以及与一线教师的深入交流，本研究把在正例测试卷上得分处于19至21分的学生定义为“正例表现好的学生”，把得分处于0至18分的学生定义为“正例表现不好的学生”。

经过统计可知，正例表现好的学生组在概念理解测试卷的平均得分为58.61，标准差是8.845，正例表现不好的学生组在概念理解测试卷的平均得分为36.65，标准差是15.813。为了研究不同正例表现的学生是否在概念理解的水平上存在显著性差异，对这两组的学生在概念理解测试卷的总分进行独立样本t检验，结果显示t（69）=9.546，p＜0.001，这说明不同正例表现的学生在概念理解的水平上具有显著性差异。

（2）不同的反例表现

本研究对学生的反例总分与概念理解总分也进行了相关性分析，结果显示，学生的反例总分与概念理解总分的皮尔逊相关系数为0.721，p＜0.001，表明学生的反例成绩与概念理解成绩之间也存在显著的高度正相关关系。

依据学生在反例测试卷上的表现以及与一线教师的深入交流，本研究把在反例测试卷上得分处于25至36分的学生定义为“反例表现好的学生”，把得分处于18至24分的学生定义为“反例表现中等的学生”，把得分处于0至17分的学生定义为“反例表现不好的学生”。

为了研究不同反例表现的学生是否在概念理解的水平上存在显著性差异，笔者对这三组学生在概念理解测试卷的总分进行Welch方差分析，结果如表3所示。

从Welch方差分析法的结果可知，p＜0.001，说明不同反例表现的学生在概念理解的水平上具有显著性差异。为了明晰究竟是哪些組别之间存在显著性差异，利用Games-Howell进行检验，结果表明：从反例表现不好的学生组到反例表现中等的学生组，概念理解的平均得分增加21.024，差异具有统计学意义（p＜0.001）；从反例表现不好的学生组到反例表现好的学生组，概念理解的平均得分增加23.398，差异具有统计学意义（p＜0.001）。

（3）不同的正反例表现组合

由上述分析可知，学生在正例测试卷中的表现可以分为两种，在反例测试卷中的表现可以分为三种，因此，把学生在正反例测试中的表现进行组合可以分为六组，分别为（正例表现好，反例表现好）、（正例表现好，反例表现中等）、（正例表现好，反例表现不好）、（正例表现不好，反例表现好）、（正例表现不好，反例表现中等）、（正例表现不好，反例表现不好）。

为了研究不同正反例表现组合的学生是否在概念理解的水平上存在显著性差异，笔者对这六组学生在概念理解测试卷的总分进行Welch方差分析，结果如表4所示。

从Welch方差分析法的结果可知，p＜0.001，这说明不同正反例表现组合的学生在概念理解的水平上存在显著性差异。为了明晰究竟是哪些组别之间存在显著性差异，利用Games-Howell进行检验，并用表5进行整理（表中的运算顺序是用那一列的组别的均值减去那一行的组别的均值，*代表显著性水平）。

四、研究结论与建议

1.研究结论

（1）学生在举正例方面的表现比举反例好

就本研究选定的内容“因数与倍数”而言，从配对样本t检验的结果可以知道，学生在正例测试卷的得分率和在反例测试卷的得分率具有显著差异。就具体内容而言，学生在反例判断及构造的表现上总体不佳，较多时候在判断正确性上都无法达成，更别说之后的反例构造了，这说明学生较容易受到一些定式的干扰。再者，对于能够做出假命题判断的学生，在随后的反例构造中也出现了不少的问题（如题2、题9等），这在一定程度上源于对相关知识内容的不熟悉，也源于缺乏对反例构造方法的了解，这些都导致了学生在一些测试题上的得分率很低。事实上，无论是反例的判断还是反例的构造，学生都需要检索自己已有的认知结构，再借助已有的表征网络去思考。如果学生的知识内部表征之间不能形成有效的、强度较大的联结，学生就不太容易构造出反例；如果学生过往在知识的内部表征之间形成了错误的联结，那么相应的错误率也会更高。

值得注意的是，虽然正例的总体表现较好，但是一些学生的作答情况也反映出一些问题，比如列举的正例过于单一，都是平时教学中经常强调的一些数字，又比如当题目中的要求含有对交叉概念的考查但又不是特别明显时［如题6（1）其实要求学生举出既是奇数又是合数的数］，学生不一定能及时调用概念，还有可能暴露出对概念的一些错误理解。所以，当举例的条件由单一变为复合时，正例的构造难度也会相应有所提升，更加能考查学生是否理解了相关概念。

（2）学生的举例表现与其对相应概念的理解具有很大的关联性

首先，由皮尔逊相关分析的结果可知，学生在正例测试卷和反例测试卷中的成绩都分别与其在概念理解测试卷中的成绩存在显著的高度正相关。其次，不同正例表现、不同反例表现和不同正反例表现组合的学生在概念理解的水平上均分别存在显著差异。由这些结果可知，学生的举例表现与其对相应概念的理解具有很大的关联性。事实上，样例学习理论认为概念是以样例的形式来表征，而原型学习理论认为概念是由大量样例的综合形式即原型来表征，这里的原型可以是单个样例也可以是多种样例的综合形式。［4］两种概念学习理论均强调了例子在学习者头脑中表征概念的作用，正如郑毓信介绍的现代数学学习心理学的观点——例子在数学概念的心理表征中发挥着重要作用［5］。此外，由赫伯特和卡朋特的数学理解模型可以知道，外部表征和内部表征之间具有某种联系，可以从学生形成的外部表征推测其内部表征的情况［6］。所以，举例作为一种外部表征，可以成为一种评价学生概念理解的方法，并且从形式上可以丰富学生对相应概念的理解。

从上述分析我们还可以看到，仅在正例表现好的学生在概念理解的水平上没有正反例表现都好的学生的水平高。这说明在数学教学中应该关注反例对于概念理解的独特价值，关注学生对反例的理解与掌握。

2.教学建议

（1）教师可以在课中和课后通过让学生举例来评价学生的概念理解。从本研究分析结果可以看出，学生的举例行为与其对数学概念的理解具有很大的关联性，无论是举正例还是举反例，都可作为常规测试题的一种评价补充。学生所举的例子一定程度上可以反映他是如何思考的，是如何看待一个数学知识的。这些例子可以是一线教师了解学情的一个重要参考，可以作为评价学生概念理解的一个重要手段，以改进传统的机械评价方式。不仅如此，教师在教学中可以多展示学生的例子，让学生之间互相评价、交流，一方面可以了解学生对概念的理解情况，另一方面可以把展示的例子作为课堂的探究素材，激发学生的学习兴趣，形成数学课堂中的“争鸣”，传递给学生更多的有用信息，在师生交流和生生交流中促进学生的数学学习，提升教师的教学能力，真正实现教学相长。

（2）教师可以异化概念的本质特征进行变式训练。从本研究的分析结果可以发现，学生对概念本身的理解有时不足以支撑学生举出合适的例子，对概念的理解仅仅能满足举例的基本要求，而逆向思维的强弱和能否多角度地运用、组合知识才是举例的关键，这一点也正是日常数学教学的重点和难点。数学教师可以有针对性地异化概念的某个本质特征进行变式训练，如梯形的本质特征有四边形和只有一组对边平行，教师可以设置问题“至少有一组对边平行的四边形是梯形”让学生判断，通过学生所举的反例从反面加深学生对梯形本质特征的理解。长此以往，学生能习惯性地从反面思考问题，从反面运用知识，从而提升逆向思维。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022：5-6.

［2］曹才翰，章建跃. 数学教育心理学［M］. 3版.北京：北京师范大学出版社，2020：110-111.

［3］鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程［M］. 上海：上海教育出版社，2009：133.

［4］邵志芳. 认知心理学：理论、实验和应用［M］. 3版.上海：上海教育出版社，2019：261.

［5］郑毓信. 善于举例［J］. 人民教育，2008（18）：42-44.

［6］格劳斯. 数学教与学研究手册［M］.陈昌平，王继延，陈美廉，等译. 上海：上海教育出版社，1999：133.

（责任编辑：潘安）