“长时间思考”及其教学落实

摘 要：“长时间思考”具有连贯性和条理性、严谨性和批判性、策略性和关联性，能帮助学生学会数学地思维，通过数学学会思维，并有效地提升学生的思维品质。促进学生“长时间思考”，可以从强化问题设计、夯实交流互动、做好回顾反思等方面着力。

关键词：长时间思考；思维品质；问题设计；交流互动；回顾反思

*本文系江苏省苏州市教育科学“十四五”规划课题“核心内容视角下小学数学育人价值及其实现研究”（编号：2021/LX/02/272/11）的阶段性研究成果。

郑毓信教授在诠释“深度学习”的含义时，提到“应特别重视长时间的思考”，并指出，在数学教学中应当特别强调这样几个方面：联系的观点，变化的思想，总结、反思与再认识。它们都可被看成“长时间思考”的表现。如何正确地认识和理解“长时间思考”，并在数学教学中引导学生开展“长时间思考”呢？

一、“长时间思考”的内涵

著名数学家、菲尔兹奖获得者广中平佑在《创造之门》一书中写道：“我认为思考问题的态度有两种：一种是花费较短时间的即兴思考型，一种是较长时间的长期思考型。所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在分别使用这两种类型的思考态度的人……没有长期思考型训练的人，是不会深刻思考问题的……无论怎样训练即兴性思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。”笔者认为，“长时间思考”的内涵主要体现在以下几个方面。

（一）连贯性和条理性

严密的逻辑性是数学学科本质特征之一，无论是数学问题的解答过程，还是数学知识之间关联的建立过程，都是环环相扣、层层递进的。而“长时间思考”首先体现在解决一个问题或一组问题时持续不断地思考，这其中必然包含思维的连贯性和条理性。比如，口算“25-9”时，我们是这样思考的：先看个位，5-9不够减，向十位借“1”当作个位的10，10和原来个位上的5合起来是15，15-9=6；再看十位，原来是“2”，被借走了“1”还剩“1”；最后，十位上的1个十和个位上算出的6合起来是16。可见，即使是这样一道简单的口算题，解决时也会产生一条清晰的“思维链”，连接着“判断—退位—相减—合成”这一系列的思考步骤。学生能够连贯而有条理地经历这一完整的思考过程，就能正确地完成两位数减一位数的退位减法。其后，再通过练习逐步简化其中的思考步骤，达到“自动化水平”，慢慢地形成相应的运算能力。如果在这个过程中，学生的思维缺乏连贯性，就会顾此失彼、顺序颠倒，最终得出错误的答案。比如，有的学生在计算“15-9”这一步时错算成“4”；有的学生算完个位后忘记十位退位而错算成“26”，等等。思维不连贯或缺乏条理性的学生往往不能较好地掌握“退位减法”，甚至到高年级仍然不能正确、快速地运算。

解决数学问题的每一步之间都是密切关联的，这就要求学生能够连续不断地接着往下想，遵循严格的顺序，讲究逻辑的起点、过程和结果（前因后果）进行“有序思考”。

（二）严谨性和批判性

学生初学小数知识时，常常会认为“小数都比整数小”。类似这样的错误判断在其他一些数学知识的初学过程中也频频发生，如“一个数的因数都比这个数小”“两个数的积一定比这两个数大”等。这也是“即兴型思考”给数学学习带来的障碍之一，即“用案例完全取代类的分析”：学生往往只以一个例子或少数例子得出数学结论。“长时间思考”则与之相反，需要“聪明人下笨功夫”，用不同的例子、从不同的角度不断分析同一个问题，经历从特殊到一般的概括过程。这个思考过程伴随着很强的严谨性和批判性，需考虑所有情形，包括各种特例、非常规情况等。这种思考方式是由数学研究对象的特殊性，以及“数学思维是揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系的”这些本质特征决定的。

（三）策略性和关联性

首先，“长时间思考”体现为元认知调控之下的策略性思考。也就是说，个体能够对自身在当下所从事的思维活动具有清醒的自我意识和自我分析（评估），并能及时作出必要的调整，包括纠正可能的错误，以使思维活动更有效地往正确的方向开展。比如，分析问题时思考“是否充分利用了所有条件”“是否有遗漏的条件”，寻求方法时思考“是否解答过类似的问题”“如果换一种思路想会怎样”，完成解答后思考“答案是否完全符合题意”“这样的解答方法是否最佳”。显然，这样的自我思维监控优于一般思维，体现为一种具有策略性的优化思维形式。

其次，“长时间思考”还体现为一种具有关联性的“再认识”思维形式。在结束了一个阶段的学习以后，对所学习的内容与全部的学习过程作出总结和“再认识”，从而不断优化认识。这是“长时间思考”的另一重要意义。不断的优化是数学学习的本质。数学的研究总是谋求用统一的理论概括零碎的事实，这样既便于简化研究，又能洞察到事物或现象的本质。在这个“再认识”的过程中，个体超越各部分内容并从总体上开展进一步分析，特别是充分揭示各相关知识之间的联系，进行更高层次的抽象概括，并形成知识结构。

综上可见，“长时间思考”是一种更为理性而可控的、高层次的思维方式。而且，它具有超越数学学科的普遍意义，适用于任何学习与研究活动。

二、“长时间思考”的价值

对于学生而言，“长时间思考”的最大价值在于：学会数学地思维，通过数学学会思维，不断提升思维品质。

（一）学会数学地思维

数学教学要引导学生通过观察与实验、比较与分类、分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎、类比与猜想等数学活动，发展数学思维能力，学会用数学的眼光观察世界。“长时间思考”能够有效地帮助学生深入理解数学知识，掌握数学技能，积累数学活动经验，感悟数学思想与方法，学会数学地思维。

（二）通过数学学会思维

学会思维，不是指想得更快，而是要从自然状态的思考走向愿意思考、善于思考。它具体表现为：（1）能认识并体验数学思考的基本方法，如归纳、类比、猜想与论证等；（2）能根据已有的事实进行数学推测和解释，养成“推理有据”“论述有理”的习惯；（3）能理解他人的思考方式和推理过程，并能与他人沟通；（4）能反思自己的思考过程，通过解决问题的活动，发展探索精神和创新意识。

（三）提升思维品质

“长时间思考”所具有的连贯性和条理性、严谨性和批判性、策略性和关联性，实质上就能有效地促进思维品质的提升。虽然这一过程“不容易”，但通过潜移默化、日积月累，就会逐渐成为一种自觉的思维习惯和思维方式，学生的思维也将因此走向深入和深刻。

三、促进“长时间思考”的教学策略

促进学生“长时间思考”，要从“思考如何发生”“思考如何持续”“思考如何深入”和“思考如何延伸”这几个方面入手，设计教学过程中的“思考点”，串接学生数学学习的“思考链”。

（一）强化问题设计

思考随时都在发生，但只有真正的数学问题才能引发数学学习中的“长时间思考”。怎样的数学问题才称得上“真正的数学问题”？章建跃博士认为，“真正的数学问题”应该满足一些基本条件，如反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，不纠缠于细枝末节，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂，等等。

例如，《角的初步认识》一课，教师设计了这样的问题：如何画出一个和已知角同样大小的角？这个问题看似只是在引导学生开展动手操作，其实隐含着带动学生“长时间思考”的“思考链”：学生首先要通过观察形成已知角的大小的初步表象，然后要选择手边的一些工具（学具）将这个角的大小表示出来，接着要借用这种“表示”画出一个大小相同的角，画完后还要想办法将自己画出的角与已知角进行比对。在这样的过程中，学生经历了观察、判断、想象、比较和反思等活动，“看角—比角—画角—再比角”的操作活动体现出严密的思维逻辑。

（二）夯实交流互动

1.适时而恰当的引导

教师的组织和引导是学生思考得以持续和深入的关键。“长时间思考”，就需要更多地关注“结果是怎么来的？”“是否还有其他方法？”“从这个结果出发还能联想到什么？”这些问题。适时而恰当的引导下的交流互动，则是有效解决这些问题的“法宝”。

例如，教学“积的变化规律”，学生对于“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几”这个猜想深信不疑——学生具备一定的运算经验，因而对这一运算规律有着强烈的直觉判断。这时，教师引导学生讨论：这条规律真的成立吗？你能用举例或画图的方法验证吗？学生或举出具体的计算的例子，或结合实际情境中的问题加以说明，或画图示意。这个“既知其然，也知其所以然”的交流过程，引导学生“反刍”思维过程：（1）强调全面的分析，如要求更多的实例、更多的理由，加强比较等；（2）更好地认识和处理特殊与一般之间的关系；（3）学会“客观地研究”，从而切实避免主观情感的影响。得出“积的变化规律”后，教师继续引导学生讨论：由这条规律，你还能想到什么？学生的思维空间再一次被打开，产生了更多的猜想：一个乘数不变，另一个乘数除以几，积也除以几；两个乘数都乘上一个数，积就乘上它们乘的这两个数；一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数，积不变……

2.深度的对话

戴维·伯姆认为，思维这一现象从其根本上说，是集体性的而非个体性的。聚焦“长时间思考”的深度对话中，学生都能积极参与思考、倾听、表达。

比如，《质数和合数》一课，教师请学生挑选3个自然数并写出它们的所有因数，然后根据学生自主探索的结果，展开对话。教师提问：“自然数根据因数的多少可以分成几类？”学生回答：“可以分成两类，只有2个因数的是一类，有3个或3个以上因数的是一类。”教师追问：“有没有在这两类以外的自然数呢？”学生思考后回答：“还有0和1这两个自然数，0没有因数，1只有1个因数。”教师又引出话题：“2、3、5、7等数，只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）；4、8、9、12、21、36等数，除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。你们说，1是质数吗？是合数吗？为什么？”学生回答：“因为1只有一个因数，所以它既不是质数也不是合数。”另一位学生补充道：“我们讨论因数和倍数时就没有包含0这个自然数，所以0也既不是质数也不是合数。”教师再问：“现在再请你们回答刚才的问题——自然数根据因数的多少可以分成几类，你们会怎样回答呢？”学生回答：“分为四类——0不考虑；1只有1个因数，它既不是质数也不是合数；只有2个因数的是质数；有3个或3个以上因数的是合数。”

正所谓“理越辩越明”，古希腊哲学家苏格拉底创立的“产婆术”，就是在他与学生对话的过程中，通过问答甚至辩论的方式来揭露学生认识中的矛盾，逐步引导学生自己得出正确答案。

（三）做好回顾反思

思维的发展不可能仅仅通过反复的实践与经验的简单积累得以实现，而主要表现为由较低层次上升到更高的层次，这就是反思的价值所在。现实中，很多学生往往乐于解题而疏于反思。促进学生“长时间思考”，就要引导学生针对所解决的问题本身、解决问题的过程、解决问题的结果进行反思：“解决的是什么问题？”“是如何解决问题的？”“是怎样收集信息、处理信息的？”“为什么这样加工信息？”“分析时是从哪里入手的？”“解决问题的思路为什么是这样的？”……通过这样的反思，将解决问题的方法提升为策略，进而更自觉地回望思维方法与过程、学习路径与进程，从而有效地调控自己的学习，发展元认知。而在一个阶段学习之后的反思，能让看似零散的数学知识串联起来，建立起知识之间的联系，形成认知结构，使得学生能从更高的结构视角反观所学知识，提纲挈领，全面把握。这样，不仅有利于旧知的巩固，也有利于新的认识的生发。

例如，《表面涂色的正方体》一课，教师这样引导学生反思：“今天发现的规律和以前学过的知识有什么联系？”“除了规律以外，这节课上你还有哪些收获？”“表面涂色的正方体的问题解决了，你有没有产生新问题呢？”第一个问题，将表面涂色的正方体的规律与学生已经学习的正方体的特征关联，揭示现象背后的本质，实现单元学习内容的整体贯通。第二个问题，将学生的关注点从知识层面转向方法层面，引导学生提炼、概括探索数学规律的一般方法，让学生在探索规律的过程中学会探索规律。第三个问题，引导学生提出新问题，并由此感受到问题的解决会带来新问题的产生。三次不同层次的反思引导，打通了学生的“任督二脉”，学生会在课后兴致勃勃地运用所学知识和方法研究自己提出的“表面涂色的长方体”问题，进一步延伸“长时间思考”。

在思维中学会思维，比思维本身更具意义。布鲁纳曾指出：我们应当尽可能使学生牢固地掌握学科内容；我们还应当尽可能使学生成为自主而自动的思想家。这样的学生，在正式学校教育结束之后，将会独立地向前迈进。数学教学中，应当很好地处理学生思考的快与慢、多与少、热闹与安静以及独立思考与合作学习、积极交流之间的关系，努力引导学生“长时间思考”。

参考文献：

[1]郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[2]郑毓信.长时间的思考：总结、反思与再认识[J].福建教育，2021（5）.

[3]代钦.对日本精英教育的怀旧及其借鉴作用——日本数学家藤田宏教授访谈录[J].数学教育学报，2010（2）.

[4]郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）.

[5]乔治·波利亚.数学的发现（第二卷）[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981.

[6]章建跃.发挥数学的内在力量 为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）.

（仲秋月，江苏省苏州工业园区东延路实验学校，邮编：215021）