错出来的精彩

亲爱的读者朋友，请看一道去年某小学毕业测试卷的“压轴题”（如图1）。建议您阅读全文前，先用几分钟时间“下水”试一试。

您的答案是多少？是不是4284元？

今年总复习时，我让学生练习这道题，班级正确率高达90%，挺令人满意的结果。但班内公认的“数学大咖”王睿没得分，原本“正确”的解答被他划去了，让人颇为意外和不解。凭他的实力，不应该有困难的。因此，评讲这道题时，我特意让他来说说想法。

王睿站起来就说：“这是一道错题，根本没法做。”

“错题？”我和其他学生都有点懵。

他举起他的答卷指给我看。我这才注意到，他的答卷上其实保留了一个示意图（如图2）。见我还是没明白，他一边指着弧线的拼接处，一边自信地说：“这儿的‘弯度变了，这四块阴影拼出来的根本就不是一个圆！”他这么一说，我终于明白了示意图的意思，心想：“完了完了，摊上事了！”

台下的学生依然一头雾水。

王睿更来劲了，没等我发话，就直接踏上讲台，连讲带写地开始了他的陈述：“你们的做法是不是把四块阴影往中间一挤、一拼，然后求出这个半径为3米的圆的周长，再加上8条3米的半径，就以为求出了阴影的周长？”

“是啊！”多数人都是这么想的，也有少数学生说是先算出一个90°扇形的周长，再乘4，求出阴影部分的总周长，进而求出需要的钱数。

“你们的方法，都犯了一个同样的错误，那就是四块阴影往中间一压，得到的并不是一个标准的圆，而是一个不方不圆的图形。”王睿看着大家不解的眼神，迅速用投影展示了他的示意图。接着，拿笔在两段弧线的拼接处反复勾画，强调那儿的“曲度”发生了改变。

教室里一片安静。

但真正紧张的还是我——我选了一道“错题”让学生做！去年那么多学生做了这道题，那么多老师讲评了这道题！怎么收场？

是表扬王睿“真厉害”，还是说“错题就不管了”？是努力抠抠字眼维护命题老师和我的权威，还是把题改得严谨一些再做一次？

好像都不合适。

平时工作中，这样的“差错”并不少见，比如看错、算错。每当发生这种情况，往往是教师的一句“搞错了”后，学生就用大度的笑声化解尴尬。但今天是我和命题老师都“想错”了，还能回避吗？

华应龙老师说过：“人生自古谁无错？错若化开，成长自来。”我们应主动接纳“差错”，并努力将这些“差错”转化为学习资源，进而“化错养正”。

冷静下来的我，决定试着请学生来“化”这个“错”。

“同学们，这真不是老师故意设置的陷阱！去年六年级的学生和老师，包括命题的老师都掉进去了，说明这道题值得我们好好讨论。而且能发现它有问题，说明你们很厉害啊！”我的坦诚，获得了学生的认可。于是，我把话语权彻底交给了学生：“关于这道题，我们最应讨论哪些方面？”一番交流，大家认为“老师为什么会出错？”和“遇上这样的错题该怎么办？”这两个问题应好好讨论。虽然我心里没底，还是点头同意了。经过几分钟的独立思考和组内交流，开始了全班分享。

首先，交流问题“老师为什么会出错”。同为“数学大咖”的李思远边画示意图（如图3）边说：“老师，我知道命题老师为什么会出这样的错了，他应该是受了这道题的影响。”

李思远一手指着他画的示意图，一手举起试卷，接着说道：“命题老师应该是觉得这道题中的圆也可以像长方形一样，往中间一压就会组成一个新的圆。但环岛是一个圆，铺了两条小路后，圆周就只剩下4条曲线了。曲线的弯曲度并不会因为铺路而改变，对应的半径还是原来的4米，而不是现在看到的3米，也就是说，以图中的直角顶点为圆心，以3米为半径画出的弧线不是这样的。因此，这四块阴影是拼不成一个圆的，我们也不能用3米为半径来计算曲线的长。”

李思远的思路很清晰，但多数学生还是迷茫地看着他。

发现台下的学生还是不明白，他在黑板上又画了一个示意图（如图4），边指边说：“这段曲线对应的半径是虚线标出的这两段，而不是实线表示的这两段，而这样的四段曲线拼出来的，就是王睿刚才画的那个有点畸形的圆。”

教室里响起了掌声，看来，大部分学生明白了“拼不成”的原因。

我及时小结：“看来，经验是我们解决新问题的好帮手，但有时候也会帮倒忙。对待新问题，我们需要思考得更细一些。如果时间充足的话，也可以动手验证验证，动手又动脑，才能有创造！”学生纷纷点头。看来，大家都体会到了“错题”的价值。

“老师，我突然觉得这道题不一定错了呢！”王睿语出惊人，“拼接后肯定不能当成一个标准圆来算，但我们可以不拼啊。我们可以先算出半径是4米的圆的周长，再减去4段“路口”小曲线的长。每段小曲线的长度不好算，但与路宽2米的差距也就一点点，我们可以当作2米，题目中问的是‘至少要多少钱，至少就可以是近似数吧。”

教室里瞬间就炸锅了，“就是，近似！”“只要差得不多就行了！”“这不算是错题！”

这其实也是我意识到这道题有问题时，想到的应对办法之一，现在由学生自己提出来，真好。我做出为难的样子问道：“那这道题究竟是不是错的？”

“我觉得这道题没错，但不是近不近似的原因。”一直没发言的沈思竹说道，“大家现在都理解为是在半径为4米的圆形环岛中铺了两条路，所以剩下的部分拼不成一个圆。但也可能本身就是一个半径为3米的圆形绿地，先分成四个扇形，然后再用这四个扇形铺成的这个环岛，所以，这道题没错啊。”

学生纷纷点头，再次认为这道题没错。

这个答案也完全在我预料中。我微笑着说：“解铃还须系铃人，正解得问出题人。究竟是什么意思，还是问问出题老师吧？”

我的话音刚落，就有学生插嘴道：“不用问，就是错的！第一句话就说了，这是一个‘圆形的环岛。”

这下铁证如山了，“圆中铺路”，这果然是一道“错题”。

“其实，这样的‘错题平时也不少啊。特别是那些判断题，好多毛病哦！我觉得老师应该给我们说理由的机会。比如‘圆的半径都一样长这道题，如果都不是同一个圆，还有比较的必要吗？就像我问你‘正方形的四条边一样长，算对还是错呢？要是我当老师，一定不出这样的题去为难学生，只要他真正明白道理就行了。”李思远思考得果然很远。

听听学生的“真心话”，做一个安静的欣赏者，真好。

见时机已成熟，我问学生：“各位同学，我们花了这么多时间，讨论这道‘错题，到底有没有意义呢？”

“有意义，其实刚才沈思竹都已经帮出题老师改掉了，就改成‘这是4个半径为3米的90°扇形组成的环岛就行了，改后的题还是很有挑战性的。”张智明很肯定地说。

“我也觉得很有意义。如果是在生活中解决真实问题，就算不改题，也是可以通过近似计算来处理的——先算出大圆的周长，再减去4个缺口，每个缺口算作2米。但考试时、学习时可不行，数学必须严谨，当成圆来算，是对题意的理解有误。”沈思竹简直就是我的代言人。

“那考试时遇到这样的问题，我们究竟应该怎么做呢？”我接过话题，对学生进行“灵魂拷问”。

“当然要做啊，万一是我们自己想偏了，岂不是白白丢分。只是，如果觉得题目有问题，我们可以在下面写上我们的疑问，说不准老师还会给附加分呢！”张智明的回答获得一片掌声。我也适时补充道：“是的，出错题、做错题都不可怕，可怕的是轻易放弃，不去反思错因。”

后来的课堂，还谈到了“按原题的表述有没有办法计算出准确的结果？”“当成圆来算与精确结果之间有多大的差距？”“图中标注大圆的直径8米是不是规范？”“题目中的图是不是误导了我们？”等问题。

事情已过去快一个月了，一些细节已开始变得模糊。但每每回味，总会有新的体悟和想法，我对“化错”的感悟也愈加深刻。

平等的课堂最精彩。这是一堂充满意外的课，却无比精彩。究其原因，一定程度上缘于这道“错题”（实则是一道超出小学生知识范围的题，利用勾股定理和三角函数可求解，学生最初的答案应算作错解）。因为是“错题”，学生就有了敢于“冒犯”教师的勇气；因为是“错题”，教师就少了“听我讲”的霸气。“错题”，客观上促成了课堂的平等。

讲理的课堂最精彩。因为教师“讲理”，学生才能充分地“讲理”，最终，让教师和学生看到课堂的精彩。

“化错”的课堂最精彩。我们不仅要鼓励学生勇敢地站起来、勇敢地说出来，更应多一些“化差错为资源”的大气，自觉地“化错为正”，让学生更多一份质疑的勇气。

不论谁的“错”，皆可“化”出精彩。

（沈勇，特级教师，四川大学附属实验小学，邮编：610047）