高中数学建模问题教学的细节研究

高彬彬

摘  要：在现行的普通高中课程标准中将数学建模作为高中生必须具备的核心素养之一，在高中数学课程安排中也为数学建模安排了一定的课时，这意味着教师在常规教学的基础上也需要关注和培养学生的数学建模素养。为了能够有效培养学生的数学建模素养，为高中学生设计合适的数学建模问题是十分有必要的，在设计数学建模问题时不是只添加现实情境就可以了，还需要特别关注数学建模问题中的一些细节，包括重视现实情境的价值和合理性、设计合适的问题让学生参与数学模型的评价与改进。

关键词：数学建模；问题设计；核心素养

一、什么是数学建模素养

在普通高中２０１７年版的课程标准中，数学建模是对现实问题进行数学抽象，使用数学语言来表达问题、使用数学方法构建模型来解决问题的素养。数学建模过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

根据课程标准的定义，“数学建模”是一种核心素养，需要教师在数学学科教育教学中对学生进行培养。此外，数学建模素养要在数学建模过程中才能够体现出来，而数学建模过程的具体环节决定了数学建模素养既需要联系现实情境，又属于数学范围，是联系现实与数学的纽带。

在国际组织ＯＥＣＤ开展的ＰＩＳＡ测试中，数学建模过程是测评学生数学素养的基本框架。ＰＩＳＡ的观点是，数学素养是学生为了适应未来的工作与生活需要拥有的，测评的问题围绕着现实问题来展开，因而ＰＩＳＡ的测评意味着数学建模素养高度近似于数学素养。

数学建模过程包含若干个相对独立的环节，对２０１７年版课程标准给出的数学建模过程进行整理，大致可以划分出五个环节，包括“发现并分析问题”“建立数学模型”“确定参数并对数学模型计算与求解”“对结果进行检验并对数学模型进行评价与改进”“解决实际问题”。在ＰＩＳＡ的测评框架中，将最后的环节与起始的环节连接从而体现数学建模过程是一个连续的周期性的过程，这意味着数学建模过程应当是一个周而复始的过程。

二、什么样的问题能够反映高中学生的数学建模素养

高中阶段数学教学和义务教育阶段数学教学存在很大的不同，这种不同是多方面因素影响综合产生的，学生年龄的客观规律占据了很大程度。高中学生在年龄上更加成熟，行事更加稳妥，这表示学生在这个阶段所具有的思维更加严密和富有逻辑，这种思维的成熟是很适合发展数学思维的，学生能够更容易地用数据客观地解释事物，能够在头脑中思考复杂的逻辑关系，能够在面对问题是进行合理的抽象与推理，同时随着学生自身年龄的逐渐成熟，学生急于表现自身。与单纯的被动接受式的学习知识相比，这个阶段的学生更需要的是能够创造自身和展示自身的良好平台。在数学学科中，数学建模是高中学生需要具备的核心素养，同时也能够成为一个非常适合这些要求的工具，它作为数学的内容让学生综合运用自身的数学知识，而又作为现实问题让学生了解现实解决实际问题，成为成长所需要的重要经验。因而在高中阶段，合适的数学建模问题不但能很好地展现高中学生自身的数学建模素养，也能够作为很好地培养学生的有利平台。

由于数学建模素养是高中学生需要发展的数学学科核心素养之一，在国内的许多文献都或多或少涉及了数学建模，也有不少专家学者专门的从事数学建模相关的研究，对数学建模都有很多独到的观点和看法，但是对数学建模问题的设计标准却少有涉及，换言之，什么样的问题是数学建模问题，以及什么样的问题能够表现学生的数学建模素养还缺少比较明确的基本标准。考虑到数学建模素养是学生在经历数学建模过程所表现出的素养，在这一逻辑下，学生只有完整的经历数学建模过程全部的环节，他们的整体表现就可以认为是数学建模素养的体现。

徐斌艳教授建立的数学建模素养测评是考虑到了数学建模过程是按顺序展开的，因而侧重观察学生能够达到数学建模过程的具体的哪一个环节，完成的环节越多认为数学建模素养越高。以缝制足球问题为例，只提供了一个详细的现实情境，让学生在现实情境下自由发挥自身的数学建模素养来解决现实问题，然后检查学生的作答会达到数学建模过程的哪一个环节。

这种数学建模素养测评问题虽然在形式上不同，但在设计上也都是围绕着数学建模过程来展开的，因此，若要能够表现出学生的数学建模素养，那么所需要的数学建模问题在设计上就不应该脱离数学建模过程，更确切地说，数学建模问题的设计需要围绕数学建模过程的具体环节来展开。

三、设计高中数学建模问题的细节

（一）重视现实情境的价值和合理性

在数学建模问题中，现实情境是很重要的。然而，将一道数学问题随意地添加一个现实情境之后，这道问题是否就能够成为一个合理的数学建模问题其实是缺少理论支撑的。因而，判断一道问题是否考察的是数学建模素养，如果仅仅是依据有无现实情境，就不太准确。现实情境引起的问题必须要给学生足够的自由发挥的空间。

以现实情境为金字塔的一道数学问题为例，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一。它的形狀可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积。则其侧面三角形底边上的高于底面正方形的变成的比值为（ ）。

在解决这道问题时，由于给出了抽象的结果，学生不需要对现实情境再进行抽象，换句话说，题目已经给定了现实情境对应的数学模型而不是让学生来探索和建立数学模型，现实情境的价值仅仅是为了引出正四棱锥，这同时也意味着只要内容与正四棱锥相近，现实情境可以随意地更换而不需要学生去过多地思考情境本身是否还会存在一些细节和问题，学生只需要用正四棱锥的知识来解题就能获得满分，学生也不需要对结论的含义进行讨论与分析，更不需要对模型进行修改与创新。从数学建模具体的环节来看，将这道题作为数学建模问题来反映学生的数学建模素养是很缺少说服力的。

数学建模问题的现实情境需要给足学生发挥的空间，至少要加入一些必要的环节，让学生自己完成抽象的环节从而建立出数学模型，从而自然地进入到数学建模过程中去。如鞋号问题的现实情境是给出鞋号和脚长的若干组数据，由学生自己来寻找规律，这需要学生抽象出数据之间的关系和变化。但同时要关注现实情境的复杂程度，现实情境越复杂，学生需要调用的抽象程度越高，问题的难度自然也越大。现实情境复杂的情况下，需要考虑的因素就会增加，学生在获取数据以及使用数据等就会出现困难和分歧。

（二）充分考量学生的结论

数学模型是对现实情境的高度模拟，而这也意味着任何一个数学模型都不够“准确”，只是在一定条件下比较能够拟合数据，因而对一道数学建模问题来说，“找到最准确的数学模型”这样的表述其实不够准确，也很难培养学生的发散性思维和创新性思维。在接触到一个现实情境时，学生会充分展现自身的数学建模素养，根据有限的数据和条件建立出尽可能符合现实情境的数学模型，只是模拟程度的不同造成了结论的偏差。在这样的情况下，不能簡单依据结论是否符合标准答案而判断学生有无数学建模素养。在设计数学建模问题时，应该充分考虑到现实情境可能会对应的多种数学模型，对学生的作答给予充分的考虑，准确评价学生所处的水平。

以现实情境为苹果数量和销售单价关系的一道数学建模问题为例，例题以苹果的量为ｘ，以苹果的单价为ｙ，在给出两组ｘ与ｙ数据的情况下，得到的模型是苹果的量与苹果的单价呈现递减的一次函数。然而在给出多组数据的情况下，就很难保证苹果的量与苹果的单价继续呈现出一次函数的关系。因为按照一次函数的关系，继续增加苹果的量达到某个值是可以让苹果的单价为零，当超越这个值继续增加苹果的量甚至让苹果的单价为负，显然模型不再适用现实情境了。在这样的基础上，限制自变量的取值而建立出的模型则要比单纯的一次函数更为合适。若继续增加若干组数据，ｘ与ｙ的关系可能会呈现出曲线变化，则之前的模型是不够满足这种情况的，需要继续对模型进行修改以符合数据变化。

用同样的角度来看鞋号问题，一些学生可能会通过数据的规律来对数据进行延展，发现鞋号是以自然数递增而增加的，而脚长是否满足了同样的规律，他们会意识到直线型的数学模型能够解决当前的数学问题而不符合客观事实，造成了结论上的与众不同。

为了培养学生的数学建模素养而设计数学建模问题时，使用有意设计过的数据让学生建立的数学模型趋近于唯一化，在评价学生的数学建模素养确实有很大的便利性。而数学建模独特之处在于它与现实紧密相连，只是为了便于评价学生的数学建模素养而严格依照标准答案判断很容易与现实产生矛盾之处，也有违培养学生创造性思维这一教学初衷。对与众不同而富有开创性的作答，教师也需要给予同样的关注，这意味着工作量的增加，但只要运用得当，是有益于准确评价学生并能正确指导学生使其成长和发展的。

（三）设计合适的问题让学生参与数学模型的评价与改进

数学模型的评价与改进是数学建模过程中最后的环节，在实际的数学建模活动中这个环节可以在学生与教师的交互中得到落实，却很难通过合理的问题凸显。从逻辑上看，学生在建立数学模型时一定会在头脑中反复构思，学生通过作答所给出的数学模型基本就是根据自身的数学建模素养所能建立的最好的模型，在这个基础之上再对模型评价与改进显然很困难的。常规的数学建模问题大多数止步于对计算结果的解释环节。考虑到数学模型的正确性是很局限的，随着数据的增加和人们认识的深入，不断修改数学模型使其更加的完善并贴近现实是一直都在发生着的事情。

因此在提供现实情境的同时，不妨试图直接提供给学生一个存在一定缺陷的数学模型，由学生自己来发现其中存在的问题，做出评价与改进。数学模型的计算与结论解释等环节的设计既可以使用给定的数学模型也可以使用学生建立出的数学模型，从而保证数学建模过程环节的顺序与完整。这种设计的初衷是为了培养从未参与过数学建模过程与活动的学生的数学建模素养，考虑到这部分的学生可能会由于无法顺利建立数学模型而不能继续参与数学建模的其余环节，为了帮助学生适应数学建模过程，为他们提供一个数学模型来展开是不错的开始。其次，学生在建立数学模型时，学会运用与模仿其他的数学模型来解决问题也是高中数学建模素养要求的一部分。最后，在现实的各个领域，即便是新领域，后人的研究与发展都是建立在前人的基础之上，继承、模仿与改进本来就是科学发展的基本途径之一。

四、在课堂教学的同时关注学生数学建模素养的培养

鉴于数学建模过程是多环节融合成的复杂活动，数学建模素养与其他数学核心素养相辅相成，将数学建模的思维模式和解题模式融入数学课堂也有利于提高学生整体的数学核心素养，在数学课堂中插入数学建模问题对学生的综合发展是有好处的。在这样的背景下，数学建模问题设计需要以课堂教学的具体情况相结合，并且问题的来源既可以是数学学科内的，也可以是跨学科的，只有充分了解学生的实际，深入到学生的学习与生活中，才能更准确地了解学生的心理和思维，把握学生的见识，当然这同时也往往需要付出很多的时间和努力。

考虑到国内班级授课的条件下，班级往往是人数较多，学生表现出的数学建模素养也高低不齐，在这样的实际情况下不能忽视学生个体之间的差异，学生彼此之间可能会在各个环节产生各种各样的问题。为了能够准确地帮助学生来解决这些问题，需要教师自身储备足够的数学建模相关知识，从而准确找到关键点。此外，对学生核心素养的培养不简单地等同于对学生知识的教授，这可能需要教师对传统的课堂教学进行适当的调整，并给予学生充足的耐心，使学生的数学建模素养水平得到切实提升。

参考文献：

［１］中华人民共和国教育部． 普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）［Ｓ］． 北京：人民教育出版社，２０２０：５－６．

［２］美国数学及其应用联合会，美国工业与应用数学学会． 数学建模教学与评估指南［Ｍ］． 上海：上海大学出版社，２０１７：３８－１１０．

［３］郑越兮，高倩． 高中数学建模与应用的探讨［Ｊ］． 智力，２０２２（２３）：６７－７０．

（责任编辑：莫唯然）