高中数学圆锥曲线难点问题研究

秦贞良

摘  要：高中数学一直是高中生的主要学习难点之一，学生面临高考压力，影响了学生的学习兴趣，难以推动学生形成基础素养。圆锥曲线部分包含的知识点是高中的基础知识，但是由于圆锥曲线属于几何知识，需要学生具备抽象思维，学生在理解圆锥曲线知识时会出现较多的疑问，难以真正吃透知识点。作为数学教师应当对学生、教材进行分析，寻找圆锥曲线教学中的难点问题，在此基础上设计合适的教学活动，充分调动学生的学习兴趣，解决学习难点。

关键词：高中数学；圆锥曲线；难点问题

一、最值与定值的难点

针对圆锥曲线，其最值和定值一直是讲授的重点，也是教师必须解决的问题。在学习过程中，最值以及定值需要学生对整个题型进行分析、归纳，以得出精准的结论，学生需要对整个推理过程进行记录，并拥有清晰的思维能力，才能得出最终的计算结果，求取最精准的定值以及最值。但是很多学生在解题时都缺少耐心，容易半途而废，并且该类问题需要使用到较多其他的知识点，而高中数学知识点较多，学生难以形成系统性的知识体系，从而给最值与定值难点的解决带来影响。几何法要求学生能够掌握与圆锥曲线有关的公式、概念，利用数形结合的方式对问题内容进行思考，考察学生数值知识、图形知识的转化能力。例如在解决圆锥曲线点和某一条直线之间距离这一类最值题目时，可以选择几何法，做一条切线，且要求切线和直线保持平行的状态，直线之间的距离则是该类题目所求取的最终最值，所作切线的切点即最值点。该种方法又被称之为切线法，获得切线方程需要学生使用导数知识来进行计算。代数法在应用时需要将所获得的结论转化成为目标函数，使用函数知识和不等式知识解决最值问题，需要较好的运算能力，掌握难度较大。针对定值定点问题进行解决时有两个方法：第一，按照从特殊到一般的顺序进行运算推理，先找到特殊值，在寻找完毕之后再找到定值定点，最后证明求解和变量之间不存在关系。第二，利用运算的方式将变量因素消掉，之后得出定值定点，需要学生使用正向思维进行思考。例如在对学生进行“最值问题”教学时，有这样一道数学题：直线x+y+2=0分别与x轴、y轴相较于A、B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，求△ABP面积的取值范围。在引导学生对该题进行解答时，数学教师可以先让学生设解，设圆（x-2）2+y2=1的圆心为C，半径为r，点P到直线x+y+2=0的距离为d，这时可得出圆心C为（2，0），r=，所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2，由此得出dmax=2+r=3，dmin=2-r=。最后，学生经上述分析后得出AB=2，也就算出△ABP的面积最大值是AB·dmax=6，△ABP的面积最小值为·AB·dmin=2，也就表明△ABP面积的取值范围是［2，6］。

定值问题通常是在运动变化过程中寻找不变的量，主要思想是通过参数来表达要解决的问题，并证明要解决的问题与参数。在这类问题中，最重要的是淘汰方向的选择。在解决与定值有关的问题时，通常考虑两种方式：（1）根据问题的含义找出特殊情况并计算出所需值。然后，知道最终答案，证明估计值和变量的独立性。比如计算一个四边形的面积，通常假设这个四边形是一个特殊的四边形，比如长方形，然后计算面积。（2）运用参数对需要解决的问题进行表示，计算得到的值，最后通过简化和变形，证明结果的值与变量无关。例如已知曲线C方程是：+=1，A是曲线C上的一个点，其坐标是1，-12=0，则可知xE==①，将式①中的k替换成-k，可得：xF=②。因此，kEF==-k（xF+xE）+。将①、②代入到kEF==-k（xF+xE）+中，可得KEF=，因此，EF斜率是一个常数。定值问题主要是在运动与变化过程中找出不变量，其基本思路主要是运用参数对需要解决的问题进行表示，并证明需解决的问题和参数毫无关系。

此外，在求面积的最值中，利用余弦定理，也可以得出相关解题方案：cosA--，整理得：b2+c2-4=bc（注意目标是求面积S=bcsinA=bc，需要的是bc）利用均值不等式b2+c2-4=bc≥2bc-4，即bc≤4，S≤（当且仅当bc=4时取等号）。

而通过正弦定理+诱导公式+降幂公式+辅助角公式+Asin（ω+x+φ）的值域问题，也可以得出以下解题方案：根据正弦定理有---，即b=sinB，S=bcsinA=·sinB·sinC=sinBsinC，因为sinB=sin（A+C）=cosC+sinC，所以sinBsinC=sinCcosC+sin2C=sin2C-·cos2C+=sin2C-+，当2C-=，即C=时取得最大值，所以面积S=sinBsinC≤。

二、求取参数范围的难点

求取参数范围时也需要经历较为复杂的过程，需要学生能够灵活使用知识，形成综合性的解题方法。很多学生在遇到求取参数范围问题时寻找不到解决的角度，不理解函数或者不等关系的得来方式，从而难以及时确定参数范围。在考试中学生遇到这类问题普遍会选择放弃，从其他得分容易的题目入手来获得分数，随着时间的推移，学生的知识运用能力无法得到锻炼，也难以更加深入地理解圆锥曲线知识。解决求取参数范围问题的方式较多，如不等式、方程以及数形结合等都可以作为问题解决的手段，教师应当加强题目训练，让学生可以理解不同解决方法的使用方式，做到结合具体题目选择相应解决方法，提高解决效率。例如在很多题目中都会带有不等关系条件，这是解决参数范围的关键所在，不同图形的不等关系是不同的，如椭圆、双曲线以及抛物线之间会存在不同的不等关系，则根据不等关系可以获得点坐标的具体取值范围。如果题目给出了直线以及圆锥曲线之间的位置关系条件，在取值时可以根据两者之间存在的公共点进行联立消元，最终得出一个一元二次方程，利用△>0的关系解决问题。最为常见的解决方法为几何图形联系，对题目中的要素进行分析，寻找题目要素和几何图形之间存在的内在联系，以此联系为基础构建不等式。平面向量也可是解决该类问题的方式，可以使用线性规划知识获得取值范围，但是教师在教学时应当让学生重点关注数学题目中所提到的变量范围。

在射影平面内，两个不同中心的射影线束，其对应直线的交点的轨迹是一条圆锥曲线。两个不同底的射影点列，其对应点的连线的包络是一条圆锥曲线。

所谓的射影线束是指，给定两个中心O、O′，从O和O′各自引出4条直线a、b、c、d和a′、b′、c′、d′。如果这4条直线的交比对应相等，即（ab，cd）=（a′b′，c′d′），那么称这两个线束互为射影线束。射影线束的对应直线（上例中的a和a′，b和b′，c和c′，d和d′）的交点一定位于某圆锥曲线上。

同理，所谓的射影点列是指，给定两条底o、o′，在o和o′上各自取4个点A、B、C、D和A′、B′、C′、D′。如果这4个点的交比对应相等，即（AB，CD）=（A′B′，C′D′），那么称这两个点列互为射影点列。射影点列的对应点（上例中的A和A′，B和B′，C和C′，D和D′）的连线一定与某圆锥曲线相切。

另外，在直线位置与圆锥曲线的关系中，主要通过判别式分析直线位置与圆锥曲线的关系问题，△>0，直线与二次曲线的关系为相交；△=0，直线与圆锥截面相切；△<0，直线和圆锥曲线是分开的。注意：设直线方程时必然要斟酌斜率不存在的情况，可单独提早列出。

比如数学教师在率领学生解某数学题：已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+5=0，在抛物线上有一动点P到y轴的间距为d1，到直线l的间距为d2，则d1+d2的最小值是多少？

数学教师可以先让学生对问题进行探索，从中发现隐藏条件：抛物线的焦点为F（1，0），点P到y轴的距离d1=PF-1。这时候学生可想到d1+d2=d2+PF-1，也就表明d2+PF的最小值为点F到直线l的间距。最终得出d2+PF的最小值为3，学生因而轻松得出d1+d2的最小值为3-1=2。

三、存在与对称性问题

存在与对称性问题的题型较为新颖，学生对该类题型的训练频率较低，缺乏良好的适应性，也难以从题目训练中归纳出合适的解决方法。存在与对称性问题所考察的是学生的逻辑能力、推算能力，要求学生能够利用假设的方式解决问题，和以上两种题目类型相比难度大幅度增加。该类问题和圆锥曲线位置关系知识点有着较为紧密的联系，需要学生拥有较为扎实的知识基础。解决存在性问题时应当使用假设的方式，在设定假设后进行合理推算，获取存在依据或存在矛盾，从而肯定假设或者推翻假设。

对称性在几何形状中占有重要地位，几何形状对称性的研究在中数学中也是多元化的，常见的是平面形状的非对称和中心对称以及空间形状的中心对称。例如线段、正方形和圆形都是轴对称和中心对称的，几何中的对称概念很容易理解，而对称的结构和应用是比较深奥的，引人深思。公式的对称主要是指公式中不同运算符号的可易性，运算秩序的可交换，如（a+b）2=a2+2ab+b2，这里a、b可以互换，公式仍然成立。

数学的对称性还表现在各种数学概念和定理的结构上。广义上，奇偶数（奇偶校验点），素数和复数（分解），+和-、×和÷（可操作性），函数和反函数（函数），初始陈述、逆向陈述、否定陈述和图形的逆非对称性是直观的。中学数学几何中的对称图形是典型的视觉对称。平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称和空间图形的平面对称都是很好的例子。例如圆是中心对称的，所有通过对称中心的线都是对称轴：球体被认为是中心对称的紧凑几何，所有通过对称中心的平面都是对称平面。

在三角函数图中，y=sinx的图关于初始位置对称，y=cosx的图关于y轴对称。它们就像波浪在两个方向上无休止地奔跑。y=tanx和y=cotx的图像关于原点对称。正弦函数的图形y=asin（ωx+φ）是正弦曲线的演变，其中包含了一组和谐有序的模型，而且赏心悦目。通过观察和比较图像，可以从形式的角度更好地理解不同三角函数的内在关系，也为解释一般函数的变换规律提供了依据。

此外，函数y=f（x）的图像与反函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称，解析几何中的椭圆形关于x轴、y轴、原点均对称。

在有理数范围内分解因式a3+b3+c3-3abc，分析如下：

如果a3+b3+c3-3abc可以分解，那么这2个因子应该是线性和平方或三个线性。由于这三个初级公式中的任意两个相乘得到一个平方公式，因此可以假设如果原始公式可以分解，必须是初级和二次公式相乘的形式，例如这里第一个括号是一次性的，它应该是什么样子？从原始公式可以看出。b、c必须是对称的，即第一个括号必须是a+b+c。就归约而言，第二个括号应该有“+a2”，并且a、b、c是对称的，那么同时应该有“+b2”“+c2”，那么a2+b2+c2出现在第二个括号中，但是从归约角度来看3abc没有“-”字符，所以第二个括号中，前3个元素之后，肯定有负元素，假设这个“负元素”是正方形元素，写作“-ab”。那么，由于a、b、c的对称性，还必须有“-bc”和“-ac”才能得到（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。

数学知识过于理论化、抽象化，如果没有配合合适的教学模式或者方法，则难以带动学生进入到实际学习过程中，从而出现了教学效率低下的问题，不符合课程改革的理念。当前在课程改革教学中数学是改革的重点科目，这对后续人才培养有着重大的影响，因此需要在学生的学习情况基础上对教学设计进行优化。圆锥曲线的学习难度大，主要难点为最值与定值知识、求取参数范围、存在与对称性知识，教师应当针对不同的难点问题选择合适的教学方法和教学策略。

参考文献：

［1］刘亮. 圆锥曲线特殊优化策略的探究［J］. 数理天地（高中版），2022（16）：10-11.

［2］朱建生. 基于信息化视野下圆锥曲线教学策略探究［J］. 数学通讯，2022（11）：14+30.

［3］焦学刚. 优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略［J］. 数学学习与研究，2022（11）：47-49.

［4］孙艳婷，李云飞. 高中生对圆锥曲线的学习现状及问题分析［J］. 数理天地（高中版），2022（07）：87-89.

（责任编辑：淳  洁）