让信息技术成为学生学习的认知工具*——以“解析几何”教学为例

王 凯

解析几何是高中数学中与“数形结合”联系最紧密的内容之一，“在建立几何直观的基础上，利用代数方法予以表达”是其基本理念。在以往的解析几何教学中，无论是新授课还是习题课，教师经常会使用信息技术软件演示动画效果，借助直观呈现来帮助学生更好地理解概念和思考问题，从这个层面上来说，技术的引入仅仅是为了验证问题。在信息化的环境下，学习解析几何，应尝试用技术去设计实验、验证猜想，用技术的力量促进学生对数学知识的理解走向更高层面。

2019年人教版高中数学（A版）教材强调通过信息技术软件探究图形之间的关系［1］，把信息技术作为学生的一种认知工具，在教学过程中帮助学生的学和教师的教。［2］“几何画板”是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的软件，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，是一款用于辅助教授代数、欧氏几何、微积分等数学知识的动态几何软件。

本文以人教A版教材选择性必修中的“解析几何”内容为素材，以“几何画板”为工具，谈谈如何构建信息技术与数学教学深度融合的课堂，让信息技术成为学生学习的认知工具。

一、解题后显形

笔者以2019年人教A版选择性必修一第二章“直线和圆的方程”中“圆与圆的位置关系”的例6为例题，引入本节课。

（图1）

以上解题方法需要学生具备较强的抽象思维能力，但由于缺少对几何图形的直观观察和理解，所以很多学生不确定通过计算得出的答案是否准确。此时教师可以借助几何画板，展示点M的轨迹方程。如图2，笔者用绘图软件作点A（-2，0）、B（2，0），设置参数k，作线段BD并度量出其长度r2。以点B为圆心，BD长为半径作圆B；以点A为圆心，k·BD长r1为半径作圆A。圆B与圆A交于点M，改变BD的长度，就可以得到点M的轨迹。

此过程使点M的运动轨迹直观地呈现在学生面前，让不可见的“代数关系”变成了可见的“几何图形”。上述教学中，笔者先用解析的方法进行代数推理，再用信息技术工具进行数学实验，让学生通过数和形的角度去理解这种比值构圆的过程。高中数学中有很多概念具有较强的抽象性，所以在概念教学的过程中，教师可以借助信息技术让学生直观地感知概念，这对学生正确理解、掌握数学概念有很大的帮助。

二、用变形引导探究

通过以上过程，学生对信息技术在解决几何问题中的应用有了一定的认识。此时教师可以对上述问题进行拓展，增加变量，引导学生使用信息技术再现几何图形的运动过程，强化学生对信息技术的理解和运用。

（图3）

以上探究过程以课本的例题为源，改变情境，借助技术探究结果，看似和之前处理问题的方式一致，但在化简的过程中分类较多，对学生解析和操作能力的要求也较高。在此过程中，学生能够自主利用信息技术解决问题、思考数学现象、发展数学思维，为接下来系统学习圆锥曲线提供了认知基础和心理准备。我们的教学应该追求这样一种境界——让数学知识发生发展的过程合理，也要让学生在学习过程中认知的过程、思维的过程合理。［3］

三、理解代数关系

通过信息技术再现几何图形的运动轨迹，化抽象的代数关系为直观的几何图形，提高了学生利用信息技术分析和解决问题的能力。但在考试过程中，学生往往只能利用抽象思维推理出题目中的代数关系，因此教学最后的落脚点还是要落在代数关系的计算上。而信息技术则作为一种认知工具，能够加强学生对此代数关系的理解，提高其解决问题的能力。

按照之前的思路，解决这两个问题时，教师可借助几何画板在绘制图形的过程中，引导学生观察方程中参数的变化对方程所表示的曲线形状、大小的影响，通过演绎推理，最终完成任务。

从最初的问题出发，学生在构图软件中再现了平面中一动点M到两定点A和B距离之比、之积、之和、之差（的绝对值）为定常数的点轨迹，加深了对代数关系的理解。信息技术的介入能使学生的逻辑推理方向更加明确，找到解决问题的关键点。信息技术在这里不仅仅是学具，更是学生认知的孵化器，让学生“学会学习”［4］，培育学生的创造性思维。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出：“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。［5］”以上教学设计更加侧重利用信息技术工具培养学生独立自主学习的意识，突出了数学知识的连贯性，旨在培养学生的学习兴趣，提升学生的学习能力。在这一教学过程中，学生的学习由被动转为主动，经历了探索和求新的过程，培养了创造性思维。

作为教师，要努力为学生搭建基于信息技术的数学实验平台，比如几何画板、网络画板、GeoGebra和图形计算器等，结合这些信息技术各自的特点，在教学的过程中组合使用，以活跃学生的思维、拓宽其视野、培育其创新精神。