高考数学圆锥曲线解题技巧研究

摘 要：圆锥曲线是高考数学的必考知识点，相关习题难度较大.学生解题时如未掌握相关技巧，不仅计算量繁琐，而且容易出错.教学中为提高学生解答圆锥曲线习题的效率，应做好常见解题技巧的总结，并结合具体例题为学生展示解题技巧的相关应用，启发学生更好地解题.

关键词：高考数学;圆锥曲线;解题技巧;几何

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0018-03

收稿日期：2022-01-05

作者简介：姬彩生（1986.9-），女，江苏省徐州人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

众所周知，高考中时间紧迫，要想取得理想成绩，提高圆锥曲线解题效率尤为关键.为避免学生在解题中少走弯路，教学中既要启发学生认真审题，又要做好相关解题技巧的灌输，使学生真正消化吸收，在解题中灵活应用.

1 借助相关结论解题

解答圆锥曲线习题时利用相关的结论既能保证解题的正确性，又能节省解题时间，因此，教学中应注重为学生讲解有关圆锥曲线的相关结论，要求学生根据所学进行推导.同时，为学生展示结论在解题中的应用，给其留下深刻的印象，提高其利用相关结论的解题意识.

结论 过原点的直线和椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B两点，P为椭圆上一动点，直线PA，PB的斜率kPA，kPB均存在，则可得出kPA·kPB=-b2a2=e2-1.

该结论可要求学生自己进行证明.

例1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右顶点分别为A，B，直线l过点B且垂直于x轴，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP和直线l交于点M，若OM⊥PB（O为坐标原点），则椭圆的离心率为（  ）.

A.12  B.22  C.33  D.53

解析 根据题意，设直线AP的斜率为k1，因为A（-a，0），则其方程为y=k1（x+a）.

令x=a，则y=2k1a.

则点M的坐标为（a，2k1a）.

則kOM=2k1aa=2k1.

因为OM⊥PB，所以kPB=-12k1.

根据结论可得k1·（-12k1）=e2-1.

所以e2=12.

解得e=22，故选B项.

2 借助几何知识解题

解答部分圆锥曲线习题时运用几何知识可简化解题过程，因此，教学中与学生一起总结与圆锥曲线相关的几何知识，如线段的平行、垂直，三角形的相似等，并为学生展示几何知识的应用，使其体会借助几何知识解题的便利，为其更好地运用于解题中做好铺垫.

例2 如图1，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，点P在椭圆上，且线段PF和圆（x-c3）2+y2=b29相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率为（  ）.

A.53  B.23  C.22  D.12

解析 根据题意可知圆的圆心坐标M为（c3，0），设椭圆的左焦点为F1，

则MF1=c+c3=4c3.

则FM=2c-4c3=2c3.

则|FM||FF1|=13.

而PQ=2QF，则|QF||FP|=13.

连接PF1，QM，则PF1∥QM.

由圆的方程可知圆的半径r=b3.

所以PF1=b.

由椭圆定义可知PF=2a-b.

又因为点Q为直线PF和圆的切点，

则QM⊥PF.

所以∠F1PF=90°.

即PF2+PF21=FF21.

即（2a-b）2+b2=4c2.

又因为c2=a2-b2，不难得出

c2=5a29，即e2=59.

则e=53，故选A.

3 借助坐标运算解题

坐标运算是解答圆锥曲线习题的重要思路之一.教学中为使学生掌握运用坐标运算解题的技巧，应做好相关例题的优选与精讲，以更好地拓展学生的解题思维，使其具体情况具体分析，选择最优的解题方法.

例3

平行四边形ABCD的四个顶点均在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上，直线AB，AD的斜率分别为12，1，则该双曲线的渐近线方程为（  ）.

A.x±2y=0   B.2x±y=0

C.x±y=0D.x±3y=0

解析 因为双曲线方程x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的图象中心对称，因此，平行四边形ABCD的顶点B，D关于原点对称.

设A（x0，y0），B（x1，y1），

则D（-x1，-y1）.

又因为平行四边形ABCD的四个顶点均在该双曲线上，所以

x20a2-y20b2=1，①

x21a2-y21b2=1.②

①-②，得

（x0-x1）（x0+x1）a2-（y0-y1）（y0+y1）b2=0.

整理，得b2a2=（y0-y1）（y0+y1）（x0-x1）（x0+x1）.

又因为AB，AD的斜率分别为12，1，

即b2a2-kAB·kAD=0.

则b2a2=12.

所以ba=22.

所以双曲线渐近线方程为x±2y=0.

故选A.

4 借助参数方程解题

使用参数方程解答圆锥曲线习题可很好地提高解题效率.教学中应为学生讲解直线以及圆锥曲线参数方程，使其明确不同参数表示的含义，更好地把握参数方程本质，尤其为学生示范参数方程在解题中的应用，使其把握相关的应用细节.

例4 过抛物线方程y2=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为π6的直线交抛物线于A，B两点，若1|AF|-1|BF|=1，则实数p的值为（  ）.

A.12   B.1   C.3   D.2

解析 根据题意可设直线的参数方程为x=p2+32t，y=12t（t为参数）.

将其和抛物线方程联立整理，得

t2-43pt-4p2=0.

設A，B对应的参数为t1，t2，

则t1+t2=43p，t1t2=-4p2<0.

所以1|AF|-1|BF|=1t1-1t2

=|t2|-|t1||t1t2|=

|t1+t2||t1t2|

=43p4p2

=3p=1.

所以p=3，故选C.

高考中圆锥曲线习题类型灵活多变，解题思路也不尽相同.为提高学生解答不同题型的能力，在传授解题技巧的同时，认真讲解解题技巧的具体应用，使学生深入理解，把握相关解题技巧的细节，使其遇到相关题型，能够快速、高效、正确求解.

参考文献：

[1]

王素荣.论高中数学圆锥曲线解题技巧[J].数理化解题研究，2020（34）：35-36.

[2] 张蓓媛.高中数学圆锥曲线解题技巧之我见[J].数学大世界，2020（08）：80.

[3] 汤凤.高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究[J].考试周刊，2020（37）：75-76.

[4] 张兴力.高中数学圆锥曲线解题技巧研究[J].数学学习与研究，2020（05）：140.

[5] 赵淑贤.高中数学圆锥曲线解题思考与探究[J].数学学习与研究，2019（15）：136.

[责任编辑：李 璟]