巧用向量法 解答数学题

莫冬莹

摘 要：向量是高中数学的重要知识点，常作为一种解题方法用于解决相关数学问题.实践表明，运用向量法解决数学问题，可迅速找到解题的切入点，提高解题效率.

关键词：高中数学;向量法;数学题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0006-03

运用向量法解决高中数学习题常会应用到向量的坐标运算，以寻找相关参数之间的逻辑关系.实践表明，运用向量的坐标运算可将复杂的问题转化成简单的计算问题，大大降低解题的难度，因此，教学活动中要注重与学生一起总结向量与对应几何之间的关系以及向量坐标运算的相关法则.

1 用于求最值问题

最值问题是高中数学的一类重要题型，解该类问题主要有两种思路：运用基本不等式和运用函数单调性，因此运用向量法解高中数学问题时，可通过向量的坐标运算将问题转化为函数问题，而后运用函数的性质进行解答.

例1 设a，b，c为平面向量，|a|=|b|=2，若（2c-a）·（c-b）=0，则c·b的最大值为.

解析 根据题意可设b=（2，0），a=（2cosα，2sinα），α∈[0，2π]，c=（x，y），则c·b=2x，将问题转化为求x的最大值问题.

因为2c-a=（2x-2cosα，2y-2sinα），c-b=（x-2，y），

所以（2c-a）·（c-b）=（2x-2cosα）（x-2）+（2y-2sinα）y=0.

整理，得y2-ysinα+x2-x（cosα+2）+2cosα=0.

关于y的方程有解，则Δ=sin2α-4x2+4x（cosα+2）-8cosα≥0.

令t=cosα∈[-1，1]，则4x2-4x（t+2）+t2+8t-1≤0.

所以t+2-5-4t2≤x≤t+2+5-4t2.

令m=5-4t∈[1，3]，则

t+2+5-4t2=-（m-2）2+178≤178.

所以x≤178，则2x≤174.

2 用于求范围问题

求解参数范围是高中数学的一类重要题型，其中借助向量坐标的简单运算可将其转化为三角函数问题，借助三角函数的有界性问题便可迎刃而解.

例2 已知ABCD为正方形，点P在以C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，若AP=λAB+μAD（其中λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为.

解析 设正方向ABCD的边长为1，以A为坐标原点，AB所在直线，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）.则直线BD的方程为x+y=1.

由已知条件，得圆C的半径r=d=22.

则圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=12.

设点P的坐标为（1+22cosθ，1+22sinθ），AB=（1，0），AD=（0，1），AP=（1+22cosθ，1+22sinθ）.

又因为AP=λAB+μAD，即

（1+22cosθ，1+22sinθ）=λ（1，0）+μ（0，1）.

则λ=1+22cosθ，μ=1+22sinθ.

则λ+μ=2+22（cosθ+sinθ）=2+sin（θ+π4）.

而sin（θ+π4）∈[-1，1]，则λ+μ∈[1，3].

3 用于求轨迹问题

轨迹问题往往涉及到点、线的变化，对学生想象以及分析问题的能力要求较高，运用向量法可将看似复杂的问题转化成简单的坐标运算，大大提高解题的正确率.高中数学教学中应注重引导学生运用向量法求解轨迹问题，尤其结合具体习题为学生展示如何建系，如何設点，给其带来良好的解题启发，使学生能够透过现象看本质.

例3 设正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球为球O，M为B1C1的中点，点P在球面上运动，且总有DP⊥BM，则点P轨迹的周长为.

解析 根据题意，得正方体外接球半径R=3.

设点N为BB1的中点，连接CN，DN，DO，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），D（0，0，0），N（2，2，1），B（2，2，0），M（1，2，2），O（1，1，1）.则CN=（2，0，1），BM=（-1，0，2），DC=（0，2，0）.

则CN·BM=0，BM·DC=0.

则CN⊥BM，DC⊥BM.

又因为CD∩CN=C，所以BM⊥平面DCN.

所以点P的轨迹为平面DCN与外接球的交线，则点O到平面DCN的距离d=|DO·BM|BM=55.

截面圆的半径r=R2-d2=705，点P轨迹的周长C=2πr=270π5.

4 用于求离心率问题

求解离心率是高中数学圆锥曲线中的热门问题.部分问题与向量知识结合起来，难度相对较大.解题的过程中应结合题干创设的情境运用向量法进行解答，结合实际情况将向量关系转化为几何关系、坐标运算等.

例4 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，点P，Q均位于第一象限，且2QP=PF2，QF1·QF2=0，则双曲线C的离心率为.

解析 设Q（m，bam）（m>0），P（s，t），F1（-c，0），F2（c，0），则QP=（s-m，t-bam），PF2=（c-s，-t）.

因为2QP=PF2，所以s=m+12c1+12，t=bma1+12.

因为点P在双曲线C上，代入双曲线方程C，整理，得c2+4mc=9a2.

即m=9a2-c24c.

因為QF1·QF2=0，则bmam-c·bmam+c=-1.

整理，得c2-m2=b2m2a2.

所以c2=m2·c2a2.

所以m=a.即4ac=9a2-c2.

即e2+4e-9=0，

解得e=-2+13，e=-2-13（舍去）.

所以e=-2+13.

5 用于求解析几何问题解析几何是比较常见的一种题型，与普通的平面几何试题相比难度有明显提升，因为解析几何题目中通常同坐标轴一起出现，还具有数量与方向两个特征，所以会涉及平面向量的知识.在处理解析几何类试题时，可

采用向量语言来说明解析几何的特征，同时也可借助向量对解析几何的性质进行计算，使其解题思维得以开拓，优化认知结构.

例5 已知点M（-2，0），N（2，0），点P满足：直线PM的斜率是k1，直线PN的斜率为k2，且k1×k2=-34.

（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程;

（2）过点F（1，0）的直线l同曲线C相交于A，B两点，那么在x轴上是否存在点Q，使得QA×QB是一个定值？如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

解析 （1）根据题意可以得到k1=yx+2（x≠-2），k2=yx-2（x≠2）.

根据k1×k2=-34可知yx+2×yx-2=-34.

则轨迹C的方程是x24+y23=1（x≠±2）.

（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得QA×QB是一个定值.

当直线l的斜率存在时，可设其方程是y=k（x-1）（k≠0），将3x2+4y2=12与y=k（x-1）联立起来，可以得到（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0.

令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8k23+4k2，x1×x2=4k2-123+4k2.

根据QA=（x1-m，y1），QB=（x2-m，y2），

所以（x1-m）（x2-m）+y1y2

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）x1x2-（m+k2）·（x1+x2）+m2+k2

=-（5+8m）k2-123+4k2+m2.

将m看成常数，要使上述式子为定值，需满足5+8m=16，即m=118，这时QA×QB=-13564.

当直线l的斜率不存在时，可以得到A（1，32），B（1，-32），Q（118，0）.

由此得出QA=（-38，32），QB=（-38，-32），QA×QB=-13564.

综上，存在点Q（118，0），使得QA×QB为定值.

向量法在高中数学解题中有着广泛的应用.为使学生更好地掌握这一重要的解题方法，应做好向量基础知识的讲解，使学生切实打牢基础.同时，做好经典例题的讲解以及相关习题的训练，提高学生运用向量法学习意识的同时，掌握相关的解题经验与技巧.

参考文献：

[1]

吴丽端.向量法在高中数学解题中的应用策略[J].数理化解题研究，2021（22）：49-50.

[2] 魏琦.高中数学向量解题基本思想与技巧分析[J].数学学习与研究，2020（07）：139.

[责任编辑：李 璟]