一类以导数为背景的高考题的解法研究

李昌成

摘 要：导数是数学高考压轴题，有一类导数题按照常规解法很难求得最值，或最值的临界值.高考参考答案也不易理解，若用洛必達法则辅助解答，问题难度猛然下降.实践研究表明，这类题题型结构及解题步骤相对固化，深入研究可以突破这类题目.

关键词：导数;洛必达法则;解法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0009-03

多年来，数学高考卷无论文科还是理科，无论是地方卷还是全国卷，均以导数作为压轴题.题目通常难度较大，仅仅依靠高中所学的导数知识，解答经常搁浅.很多函数问题均可等价转化后，多次构造新函数，再多次求导，利用洛必达法则求端点临界函数值的“最值”，最后得到参数的范围.下面我们分类展示一些经典高考题.

类型1 分离参数构造函数后，用洛必达法则保障范围的完整性.

例1 （2018年全国高考Ⅱ卷理科21题）已知函数f（x）=ex-ax2.

若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a.

解析 由零点概念知，f（x）只有一个零点就是f（x）=0只有一个解.即ex-ax2=0只有一个解.

因为x∈（0，+SymboleB@），所以a=exx2.

令m（x）=a，n（x）=exx2.

问题等价转化为求两函数只有一个交点时，a的值.

对n（x）=exx2求导，得

n′（x）=exx2-2exxx4=exx3（x-2）.

当x>2时，n′（x）>0，

当0

因此n（x）=exx2在（0，2）上单调递减，在（2，+SymboleB@）上单调递增.

所以n（x）min=e24.（*）

如图1，当x→0时，x2→0，ex→1，

所以n（x）→+SymboleB@.

又limx→+SymboleB@exx2=limx→+SymboleB@ex2x=limx→+SymboleB@ex2=+SymboleB@.

当a

当a=e24，m（x）与n（x）只有一个交点;

当a>e24，m（x）与n（x）有两个交点.

因此a=e24.

评注 这种解法只需要学生对洛必达法则有一定认识就可以掌握，整个流程逻辑严谨、思维连贯、顺理成章.这类题目的结构相对稳定.值得一提的是，很多学生会将（*）以后的解题过程忽略，这是不严谨的，为什么呢？请读者思考.

类型2 分离参数构造函数，多次求导，用洛必达法则求新函数最小值的临界值.

例2 （2017年全国高考Ⅱ卷文科21题） 设函数f（x）=（1-x2）ex.当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围.

解析 当x=0时，a可取任何实数.

当x>0时，f（x）≤ax+1，

整理，得a≥（1-x2）ex-1x.

令h（x）=（1-x2）ex-1x，

对h（x）求导，得

h′（x）=ex（-x3-x2+x-1）+1x2.

再令g（x）=ex（-x3-x2+x-1）+1，

对g（x）求导，得

g′（x）=ex（-x3-4x2-x）.

当x>0时，g′（x）<0，

因此g（x）在（0，+SymboleB@）上单调递减.

所以h（x）的最大值临界值为h（0）.

由洛必达法则，得

limx→0（1-x2）ex-1x=limx→0ex（-x2-2x+1）=1.

所以a的取值范围是[1，+SymboleB@）.

评注  分离参数后，通过多次求导，逐层判断单调性，最后借助洛必达法则求得端点值得到参数取值范围，思路简洁.本题高考给出的答案高深莫测，逻辑上让中学生难以接受，尤其是分类讨论的标准不易理解.有兴趣的同仁可以查阅对比研究.

类型3  分离参数构造函数，多次求导，用洛必达法则求最大值临界值.

例3  （2016年全国高考Ⅱ卷文科20题）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.若当x∈（1，+SymboleB@）时，f（x）>0，求a的取值范围.

解析 f（x）>0，即（x+1）lnx-a（x-1）>0.

由于x∈（1，+SymboleB@），所以a<（x+1）lnxx-1.

设h（x）=（x+1）lnxx-1，

则h′（x）=-2xlnx+x2-1x（x-1）2.

再设φ（x）=-2xlnx+x2-1，

则φ′（x）=-2lnx-2+2x，

φ″（x）=-2x+2.

由于x>1，所以φ″（x）>0，

于是φ′（x）在（1，+SymboleB@）上单调递增，

所以φ′（x）>φ′（1）=0，

进而φ（x）在（1，+SymboleB@）上单调递增，

所以φ（x）>φ（1）=0，

因此h′（x）>0，

进而h（x）在（1，+SymboleB@）上单调递增，

所以h（x）>h（1）.

由洛必达法则，得

limx→1（x+1）lnxx-1=2.

所以a的取值范围是（-SymboleB@，2].

类型4 分类讨论，分离参数构造函数，用洛必达法则求最大值和最小值的临界值.

例4  （2017年全国高考Ⅲ卷理科第21题）已知函数f（x）=x-1-alnx.若f（x）≥0，求a的值.

解析 当x=1时，a∈R.

当x>1时，lnx>0，

f（x）≥0等价转化为a≤x-1lnx.

设λ（x）=x-1lnx，

则λ′（x）=lnx-x-1xln2x.

再设h（x）=lnx-x-1x

=lnx+1x-1

则h′（x）=1x-1x2=x-1x2>0.

于是h（x）在（1，+SymboleB@）上单调递增.

所以h（x）>h（1）=0，

因此λ′（x）>0.

所以λ（x）在（1，+SymboleB@）上单调递增，

于是λ（x）>λ（1）.

由洛必达法则，得limx→1x-1lnx=limx→111x=1.

所以a≤1.

同理，当0

综上，a=1.

评注  本题与前面几例比较，有两个特征：一是受lnx的正负影响，不能直接分离参数，需要討论，但由于问题的“对称性”仅需完整解答一次即可;二是表面上是求值问题，但实际上还是求范围问题.

类型5 分离参数，“递进式”求导，用洛必达法则求最大值的临界值.

例5 （2010年全国高考Ⅱ卷理科第21题）已知函数f（x）=ex-1-x-ax2.若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

解析 当x=0时，a∈R.

当x>0时，f（x）≥0等价转化为a≤ex-1-xx2.

令h（x）=ex-1-xx2，

则h′（x）=（x-2）ex+x+2x3.

令m（x）=（x-2）ex+x+2，

则m′（x）=（x-1）ex+1.

则m″（x）=xex.

因为x>0，所以m″（x）=xex>0.

于是m′（x）在（0，+SymboleB@）上单调递增.

所以m′（x）>m（0）=0.

所以m（x）在（0，+SymboleB@）上单调递增.

所以m（x）>m（0）=0，

进而h′（x）>0.

所以h（x）=ex-1-xx2在（0，+SymboleB@）上单调递增.

而limx→0ex-1-xx2

=limx→0ex-12x

=limx→0ex2=12，

所以a≤12.

评注 本题求导的目的性很明确，就是要让m″（x）=xex出现，事实上每次求导ex的系数增加1，我们可以简称“递进式”求导.但是没有发现此规律的同学可能半途而废.

正如波利亚所说“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长”.这类给定范围下的求参数范围的导数压轴题，只要被分离部分易于判断其正负，就能分离参数，构造函数，多次反复求导，我们可以借助洛必达法则模式化做答，不再为思路发愁，不再为所需最值或最值的临界值迷茫.但是，像“2020年新高考Ⅰ卷第21题：已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范围.”这类不易分离参数的题目，不适合用这种解法处理.

参考文献：

[1]

许峰，范自强.高等数学（上册）[M].北京：人民邮电出版社，2016.

[2] 任志鸿.十年高考[M].北京：知识出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]