例谈利用空间向量计算空间中距离的方法

李喜春

摘 要：本文将对空间中的距离进行定义及分类，介绍利用空间向量计算空间中距离的方法，并借助例题展示各类方法的使用.

关键词：空间向量;空间中的距离;计算方法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0027-03

1 空间中距离的定义及分类

1.1 当两个几何要素处于完全分离的形态，就可以定义它们之间的距离.距离是用于度量两个分离的几何要素之间最短线段的长度.

1.2 定义部分

（1）点到点的距离，是指两点之间线段的长度.

（2）点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度.

（3）两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度.

（4）点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度.

（5）相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度.

（6）两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度.

（7）异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度.

1.3 分类情况

（1）点到点的距离;

（2）点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离;

（3）点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离;

（4）异面直线之间的距离.

2 使用空间向量计算空间中的距离

2.1 点到点的距离

思维方法 由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离.操作步骤 （1）确定点A为起点，点B为终点，得出向量AB;

（2）计算AB;

（3）距离d=AB.

例1 如图1，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N为D1B上靠近D1的三等分点，求点C到点N的距离.

解析 以点D为坐标原点，以DA方向为x轴正方向，DC方向为y轴正方向，DD1方向为z轴正方向建立空间直角坐标系. 点C的坐标为0，3，0，点N的坐标为1，1，2，则CN=1，-2，2.

则CN=12+-22+22=3.

所以点C到点N的距离等于3.

方法小结 以两点构造向量，并以向量的模表达点到点的距离.

2.2 点到直线的距离

思维方法1 如图2，过点P向直线l作垂线，垂足为点Q，计算PQ即为点P到直线l的距离.

操作步骤 （1）在直线上作点Q，使得PQ⊥l;（2）作出PQ;（3）计算PQ;（4）距离d=PQ.

思维方法2 如图3，作直线上的一个方向向量AB，计算AP在方向向量AB上的投影，再通过勾股定理计算出PQ的长度，即为点P到直线l的距离.

操作步骤 （1）在直线上取定两点A，B，得出向量AB，AP;

（2）计算AP在AB上的投影AP·ABAB;（3）计算PQ;（4）距离d=PQ.

例2 如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.

解析 以点D为坐标原点，以DA方向为x轴正方向，DC方向为y轴正方向，DD1方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.

则点A2，0，0，E0，2，1，F1，0，2.

则FE=-1，2，-1，FA=1，0，-2.

则FA在FE上的投影为FA·FEFE=16.

所以d=|FA|2-162=296=1746.

所以点A到直线EF的距离等于1746.

方法小结 通过向量的投影以及勾股定理的使用，即可计算点到直线的距离.

2.3 点到平面的距离

思维方法 如图5，在平面内取点A得出向量AP，计算平面的一个法向量n，再計算AP在n上的投影的绝对值，即为点到平面的距离.

操作步骤 （1）在平面内取点A得出向量AP;（2）利用平面内两条相交直线的方向向量，计算出平面的一个法向量n;（3）计算AP在n上的投影AP·nn;（4）d=AP·nn.

例3 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，求点D到平面PBC的距离.

分析 通过平面PBC内的两条相交直线所在的向量，求出该平面的一个法向量n，再构造点D与平面PBC内一点的连线所在的向量m，最后计算m在n上的投影.则投影的绝对值即为点D到平面PBC的距离.

解析 以点D为坐标原点，以DA方向为x轴正方向，DC方向为y轴正方向，DP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.

则DC=0，1，0，BC=-1，0，0，BP=-1，-1，1.

设平面PBC的法向量为n=x，y，z.

则x=0，-y+z=0.

令y=z=1，则n=0，1，1.

则距离为DC·nn=12=22.

方法小结 通过法向量和投影的使用，计算点到平面的距离.

2.4 异面直线之间的距离

思维方法 如图6，设l1，l2是异面直线，n是l1和l2的公垂线段AB的方向向量，又C，D分别是l1和l2上的任意两点，则CD在n上的投影的绝对值即为l1到l2之间的距离.

操作步骤 （1）在直线l1上取点A，C，在直线l2上取点B，D;（2）通过AC和BD计算公垂线段的方向向量n;（3）计算CD在n上的投影CD·nn;（4）d=CD·nn.

例4 如图7，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F，G分别为AB，BC，PC的中点，求异面直线DG到EF的距离.

分析 通过DG和EF所在的向量构造公垂线段的方向向量n，然后计算DG上一点与EF上一点连线所在的向量m，计算m在n上的投影，则该投影的绝对值即为异面直线DG到EF的距离.

解析 ，以点D为坐标原点，以DA方向为x轴正方向，DC方向为y轴正方向，DP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，则D0，0，0，

G0，12，12，E1，12，0，F12，1，0.

则DG=0，12，12，EF=-12，12，0，DE=1，12，0.

计算出DG和EF公垂线段的一个方向向量n=1，1，-1，计算DE在n上的投影为DE·nn=32.

则异面直线DG到EF的距离为32.

方法总结 先对空间中的距离进行定义及分类，明确空间中距离的类型，并逐一介绍空间向量在计算距离时的方法，在使用中主要涉及到向量投影、勾股定理、方向向量和法向量的使用.

参考文献：

[1] 中学数学课程教材研究开发中心.

普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[责任编辑：李 璟]