关于韦达定理法中直线方程的设法探究

苗媛媛

摘 要：直线与圆锥曲线是高中数学中最重要的模块之一，历年的高考题都会出现它的身影，但是从实际教学过程中发现，在解决直线与圆锥曲线相交问题时很多同学不会观察，解题思路不清晰，计算能力弱等方面的原因导致丢分.本文针对高中数学中直线与圆锥曲线相交时运用韦达定理中直线方程的设法进行探究，希望可以提高相应的教学效果.

关键词：高中数学;韦达定理;直线与圆锥曲线相交;直线设法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0030-03

平面解析几何的本质，是通过用代数方法来解决平面几何问题.高中数学中，直线与圆锥曲线的相交问题是解析几何模块中的难点，也是新高考中对学生高中数学核心素养的考查，深受师生的关注.在处理直线与圆锥曲线问题时，通常有三种方法：韦达定理法、点差法和几何法.在解析几何教学过程中，教师需要注意在多种解题方法中培养学生自主总结运算技巧和优化总结方法的能力.

1 韦达定理法中直线方程设法介绍

直线是平面几何中最基本的几何图形之一，直线方程有多种不同的形式.在解决直线与圆锥曲线的相交问题时，我们通过设直线方程，将直线与圆锥曲线联立得到一个关于x或y的一元二次方程，然后由韦达定理得两者之间关系，然后将已知和所求都转化为坐标关系进行求解弦长、面积、向量等问题.这种方法，称之为韦达定理法.其中，选取直线方程的形式至关重要，直线方程选取不当会直接导致计算过程繁琐，甚至结果出错.因此，在使用直线方程时，要注意不同直线方程中的限制条件：如点斜式方程的限制条件是直线必须存在斜率;截距式方程的限制条件是两截距都存在且不为零;两点式的限制条件是直线不与坐标轴垂直等.但是在研究直线与圆锥曲线的位置关系时通常会看到直线方程的另外一种形式，即直线的斜率不为零时，可设直线方程为x-x0=m（y-y0）（m≠0）.这样不仅可以避免讨论直线斜率是否存在，而且有时还可以大大地简化计算量.

我们首先来研究一下直线方程x-x0=m（y-y0）（m≠0）的特征：（1）该直线表示过定点（x0，y0）的直线，且直线的斜率为1m（m≠0）;（2）该直线方程能表示与x轴垂直的直线，此时x=x0（m=0），但不能表示与y轴垂直的直线;（3）当定点位于x轴上时，即定点为（n，0）时，方程可表示为x-n=m（y-0），即x=my+n（m≠0），此时n为横截距.

2 例举不同的直线方程设法在圆锥曲线教学中的应用

对于直线方程x-x0=m（y-y0）（m≠0），多数同学刚接触时还是比较陌生，如何选取合适的直线方程形式，下面我们通过例题来研究直线x-x0=m（y-y0）（m≠0）在解决直线与圆锥曲线相关问题中的应用.

例1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点.过椭圆的右焦点F作直线l与椭圆相交于A，B两点.求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程.

解法1 由题知，椭圆方程为x24+y2=1.

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.因为直线l与椭圆交于A，B两点且构成三角形，所以直线l的斜率不为零.

设直線AB：x=my+3，

联立直线AB与椭圆方程，得

x=my+3，x2+4y2=4，消去x，得

（m2+4）y2+23my-1=0.

其中Δ=（23m）2+4（m2+4）>0恒成立.

由韦达定理，得

y1+y2=-23mm2+4，y1·y2=-1m2+4.

此时S△OAB=12·OF·y1-y2

=32（y1+y2）2-4y1y2

=23·m2+1m2+4.

令t=m2+1≥1，

所以

m2=t2-1.

所以S△OAB=23tt2+3=23t+3t≤1（当且仅当m=±2时取“=”）.

综上，当直线方程为x±2y-3=0时，三角形的面积取得最大值1.

解法1使用的直线方程是x-x0=m（y-y0）（m≠0），对于本题容易发现直线的斜率不为零，且与椭圆联立后是消x留y，最后再利用椭圆中三角形面积公式求得最终结果.实际批改过程中，虽然有知识积累，大多数同学们还是在使用直线的纵截距方程，下将此方法解答过程详解呈现出来，与解法1进行比较.

解法2 ①当斜率不存在时，不妨设A（3，12），B（3，-12）.

所以AB=1，S△OAB=12×3×1=32.

②当斜率k存在时，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设直线AB方程为：y=k（x-3），联立直线AB与椭圆方程，得y=k（x-3），x2+4y2=4.

化简，得

（1+4k2）x2-83k2x+12k2-4=0.

其中Δ=（83k2）2-4（1+4k2）（12k2-4）>0.

由韦达定理，得

x1+x2=83k21+4k2，x1·x2=12k2-41+4k2.

所以AB=1+k2·（x1+x2）2-4x1·x2

=41+k2·1+k2（1+4k2）2.

点O到直线AB的距离d=3k1+k2.

所以S△OAB=12·AB·d

=23·k·1+k2（1+4k2）2  =23k4+k216k4+8k2+1.

令t=1k2（t>0），则

S△OAB=23·1+tt2+8t+16

=23·t+1（t+1）2+6（t+1）+9

=23·1（t+1）+6+9t+1.

又t+1>1，故t+1+9t+1≥2（t+1）·9t+1=6，当且仅当t+1=9t+1取“=”，也即k=±22时取“=”.此时△OAB的面积取得最大值1，直线l的方程为x±2y-3=0.

3 思考解答过程，总结不同直线方程设法的选取优势

虽然两种方法均可以将本题解决，但是用时和计算量上存在较大差异.虽然看起来解法2的设法更常规，带来的是求三角形面积中参数k增多，运算处理繁琐.而解法1抓住直线过x轴上的点，这样不仅简单，而且在假设直线方程时就可以把所有与椭圆相交的直线全部包括进去，做到了“设线”的完备性.同时，在下面表示三角形面积过程中使得运算都相当简洁.因此，对于解析几何中的各种基本方程要弄清内涵、挖掘本质、灵活运用.通过比较这两种方法，我们能够发现选择设哪种直线方程主要取决于以下几个方面：

（1）要設的直线斜率若存在就考虑直线的纵截距方程，若斜率不为零就考虑直线的横截距方程;

（2）与圆锥曲线相交的直线方程所过定点是否在x轴，若是，则设为x=my+n的形式;

（3）在最终目标求弦长、面积、向量问题时是需要消x还是y.

高考数学中，直线与圆锥曲线的位置关系是经久不衰的热门考点，而这其中最大的难点在于：不知从何做起;计算量繁琐“永无止尽”.要突破这两点就要胆大心细、脚踏实地去细细品味例题，总结出自己的思路与思想.在使用韦达定理法设直线方程时，学生习惯于使用直线的斜率截距式方程.但直线方程y-y0=k（x-x0）不能表示与x轴垂直的直线，故在答题时，往往需要对斜率进行讨论.但若设直线方程为x-x0=m（y-y0）（m≠0），则能有效地避免计算上的繁琐.并且此方法在解决直线与圆锥曲线的相交问题中更能表现出超强的优越性.不同程度的学生因为计算能力，知识综合能力，熟练程度的不同，对不同方法的理解也不一样，我们应该在教学初期让学生有自己对于题目的感受，充分发挥学生的主体作用.

参考文献：

[1]

闻杰.不可忽视直线方程x=my+a的特殊功能[J].中学数学月刊，2000（07）：29-30.

[2] 刘天程.小中见大——记一节高三解析几何复习课的生成[J].福建中学数学，2013（09）：17-19.

[责任编辑：李 璟]