不同约束细长流管不失稳的临界流速

2022-04-24史文谱闫家正

烟台大学学报（自然科学与工程版） 2022年2期

史文谱,闫家正,王浩

(烟台大学机电汽车工程学院,山东烟台 264005)

在石油化工、天然气输送、水利工程、造纸和航空航天等领域存在着大量的管道布置,其中常常24 h流淌着高速流体,这些流体的流速一旦达到某个临界值往往会导致管道的失稳,从而引起它们的振动而产生噪声,振动会引起管道的疲劳损坏和周边设备工作条件的恶化,噪声增加了环境污染,所以这是一个长期存在但不容忽视的问题[1-2]。结构失稳的原因有很多种,比如杆件的轴向压力和轴向分布力等,实际上高速流动着的液体或气体也会导致流管的失稳,这种失稳的定义是当因为某种其他原因使得管道有所弯曲时,由于其中高速流动着的流体流动方向的改变导致了一旦外部扰动因素消除,但流管不再能恢复原来直线状态的现象,可以说这是一种流固耦合的必然结果。实际上这种现象在现实生活和工程实际中是普遍存在的。目前分析杆件或管件失稳的方法已有很多,如微分方程法、加权残数法[3]、脉冲函数法[4]、传递矩阵法[5]、刚度法[6]和能量法[7-8]等。纵观参考的文献来看,详细考虑流管不同约束条件下的流固失稳的论文未见有发表,本文利用单元体受力分析,在假设不可压缩理想流体模型的前提下推出了流管失稳状态时的力学模型并进行了分析求解,探讨了4种典型约束条件下最小临界流速问题,且进行了数值计算,本文结果对于工程中流管的设计、选型和应用具有一定的理论参考意义。

1 问题模型及分析

图1是一段左端铰支右端铰支的流管(其他约束流管不再绘出),其内直径为d,外直径为D,管长L，材料杨氏模量为E,截面惯性矩为I,流管中流体的体积密度为γ,流速为V,在下文分析中,为简化起见,假设考虑的流体是理想不可压缩的。

图1 两端铰支流管

假定流管已经发生某种弯曲变形,从流管中任意取出一个微分单元体dx(图2)。

图2 流管微元受力分析

对上述流管单元进行受力分析有

(1)

根据剪切力Q(x)和截面内力矩M(x)的微分关系以及曲率和弯矩的定义[3]有

(2)

将式(2)代入式(1)中有

(3)

假如流管是等截面均质材料,则式(3)可简化为

或

(4)

解方程(4)得

w(x)=c1cos(kx)+c2sin(kx)+c3x+c4,

(5)

其中,cj(j=1,2,3,4)是待定系数。

下面针对几种约束情况,讨论式(5)中待定系数(cj,j=1,2,3,4)的确定问题。

(1)两端铰支情形,问题的边界条件可表示为

(6)

其中,w″(x)是挠度函数w(x)关于x的二阶导数。

将式(5)代入式(6)有

为了保证挠度解w(x)不总是为零,只有满足

sin(kL)=0,

即,kL=nπ,n=1,2,…。

取n=1得最小临界速度Vmin为

(7)

(2)两端固支情形,问题的边界条件可表示为

(8)

其中,w′(x)是挠度函数w(x)关于x的一阶导数。

将式(5)代入式(8)中有

(9)

为了保证方程组(9)有非零解,须满足

即

(10)

求解方程(10)得

(11)

(3)一端固支一端铰支情形,边界条件可写为

(12)

将式(5)代入式(12)中有

(13)

为了保证方程组(13)有非零解,需满足

tg(kL)=kL,

其对应的最小临界速度为

(14)

(4)一端固定一端自由的情形,边界条件可写为

(15)

将式(5)代入式(15)中有

(16)

2 算例与分析

考虑如下6种材质管材,分别是聚四氟乙烯、PVC(聚氯乙烯)、ABS(丙烯腈-丁二烯-苯乙烯共聚物)、尼龙1010、尼龙66和PA6(尼龙6);它们的杨氏模量分别为E1=1.4 GPa、E2=3.5 GPa、E3=0.2 GPa、E4=1.07 GPa、E5=8.3 GPa和E6=2.32 GPa;3种约束(两端铰支、两端固定和一端固定一端铰支),管材的内径和外径一样,分别为d=0.1 m和D=0.12 m,管长为L=2 m;流体以水为例,密度为γ=1000 kg/m3。采用Matlab7.0计算结果如表1。

从计算结果看,上述6种材质管材在同一约束条件下的不失稳最小临界流速从高到低排序依次为尼龙66管、PVC管、PA6(尼龙6)管、聚四氟乙烯管、尼龙1010和ABS管。尼龙66管最不容易失稳,ABS管最容易失稳,这显然是与实际情况相吻合的,因为杨氏模量大的管不容易失稳。此外,对于同样材质的管来说,两端固定约束的流管明显比其他两种约束情况下的流管最小临界不失稳流速要大。另外,从式(7)、(11)和(14)可以看出,管的截面惯性矩越大,相应的最小临界流速也越大;流体密度越大,对应的最小临界失稳流速越小。