晶胞中原子坐标的确定方法

2022-04-21张变霞

高中数理化 2022年6期

关键词：棱长晶胞原点

张变霞

(山东省潍坊新纪元学校)

在2016 年新课标全国Ⅰ卷、2017 年全国Ⅰ卷、2019年全国Ⅱ卷、2021年山东卷中均考查了晶胞中的原子坐标,说明该考点是高考热点之一.本文详细介绍了晶胞中原子坐标的确定方法.

1 晶胞相关概念

1.1 晶胞参数

晶胞的形状和大小可以用6个参数来表示,包括晶胞的3组棱长(a、b、c)和3组棱相互间的夹角(α、β、γ),即晶格特征参数,简称晶胞参数.

1.2 晶胞分类

根据晶胞参数的不同,晶胞分为平行六面体、四方、六方、单斜、正交、三方、三斜等七种.常见的晶胞都是平行六面体.

1.3 原子坐标

关于原子坐标有2种说法.

第1种说法:原子坐标中“1就是1”.

如图1 所示,以立方体的3 个棱延长线构建坐标轴,以晶胞棱长为单位长度“1”(棱长可以不相等,每条棱均视为1),用坐标(x,y,z)表达晶胞中原子的分布,该坐标被称为原子坐标.x,y,z的取值范围为1＞x(y、z)＞－1.通常建立如图1所示的三维坐标系,并据此确定其他原子的坐标.O点的分数坐标规定为(0,0,0)、A的坐标为(1,0,0)、B的坐标为(1,1,0)、C的坐标为(1,1,1).

图1

第2种说法:原子坐标中“1即是0”.该说法见人教版选择性必修2教师教学用书第145页.

x、y、z的取值范围为1＞x(y、z)＞－1.因晶胞不断重复,晶胞的8个顶点的坐标是一样的,它们是同一个原子,当出现原子坐标为“1”时,相当于将晶胞沿某个方向平移1个单位,所以,原子坐标“1即是0”.按照这一说法,图1中O、A、B、C点的原子坐标均为(0,0,0).

通过以上分析,笔者建议在解题中按第1 种说法,即先确定坐标原点,然后依据坐标原点确定原子的坐标.本文例题中都按第1种说法解答。按照本文原子坐标的定义,得到的原子坐标的值大多数为分数,所以,原子坐标又称为原子分数坐标.本文中都称为原子坐标.

2 晶胞投影

1)概念:用一组光线将物体的形状投射到一个平面上,称为“投影”.在该平面上得到的图像,也称为“投影”.

2)分类:正投影和斜投影.正投影即是投射线的中心线垂直于投影的平面.投射中心线不垂直于投射平面的称为斜投影.目前我们遇到的题目中所涉及的都是正投影.

3)沿平面投射所得平面图:

图2

图3

图4

3 立方晶胞中原子坐标的确定方法

3.1 用向量平移法确定晶胞中原子坐标

用解析几何中向量相关知识研究晶体中各个微粒间的位置关系.

以坐标原点(0,0,0)为起点,以晶胞棱长为单位长度,建立基础向量a、b、c,将基础向量向x、y、z3个轴平移,得到所求原子的坐标.

如图5 所示,如果以处于顶点的6号原子为原点,则6 号原子在晶胞中的坐标为(0,0,0).位于体心的10号原子坐标的确定:将位于三维坐标系的向量a、b、c分别平移个单位,10号原子的向量为,可得到其原子坐标为.图5所示立方体中部分原子坐标(以6号原子为原点)如表1所示.

图5

表1

将1个立方体晶胞8等分,得到8个小立方体(如图6),建立图1所示坐标系,则图6中4个小立方体(1、2、3、4)体心原子在晶胞中的坐标分别为

图6

3.2 用“二维坐标投影法”确定原子的坐标

将原子沿着x轴、y轴或z轴投影到一个面上,得到所在面的二维坐标投影图.通过分析晶胞中原子的二维坐标投影图与对称性,找到原子位置占棱长(单位长度)的分数,可得到原子的坐标(分数坐标).

4 典例剖析

4.1 金刚石类面心立方晶胞的原子坐标

例1(2016年全国Ⅰ卷,节选)原子坐标参数,表示晶胞内部各原子的相对位置,图7为Ge单晶的晶胞,其中原子坐标参数A(0,0,0);B();.则D原子的坐标参数为______.

图7

解法1将晶胞切成8个相同的小正方体,D为左下角小正方体的体心,因此D原子的坐标是

解法2用“二维坐标投影图法(如图8)”确定该晶胞中D原子的坐标.

图8

图8-甲为4个体心原子沿z轴方向投影的二维坐标投影图,从D的投影点D1可以得出D的原子坐标为);图8-乙为4个体心原子沿y轴方向投影的二维坐标投影图,从D的投影点D2可以得出D的原子坐标为().所以,D原子的坐标是

点评

通过二维坐标投影,能将三维空间图像转化为二维平面图像,有利于我们直观地确定原子的坐标;原子坐标是原子相对于原点的位置,所以通常先确定原点,再确定其他原子的坐标.

4.2 较多原子组成的复杂晶胞原子坐标

例2(2019年全国Ⅱ卷,节选)一种四方结构的超导化合物的晶胞如图9-甲所示,晶胞中Sm 和As原子的投影位置如图9-乙所示.以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置,称作原子分数坐标,例如图9-甲中原子1的坐标为则原子2和3的坐标分别为________、________.

图9

解析

根据图9-甲中1号位置的原子坐标确定,坐标原点可以是图10中的A原子,原子1位于体心,x、y、z轴上的单位长度分别为a、b、c,原子2位于底面面心,坐标为;原子3位于棱中心,坐标为

点评

本题的解题思路为:由题给条件先确定原点,然后确定其他原子的坐标.已知体心原子坐标,据此可确定坐标原点可以是图10中的A原子,也可以是图10中的B原子.

例3(2021 年山东新高考,节选)XeF2晶体属四方晶系,晶胞参数如图11所示,晶胞棱边夹角均为90°,该晶胞中有_______个XeF2分子.以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置,称为原子的分数坐标,如A点原子的分数坐标为().已知Xe—F键长为rpm,则B点原子的分数坐标为_________.

图11

解析

图12

点评

在确定原子坐标时,晶胞的棱长都设为“1”,B点距离原点的长度为B所在棱长的,所以B在z轴的分数坐标为;本题中也是已知体心原子坐标,据此可确定坐标原点可以是图12 中的C原子,也可以是图12中的D原子.

4.3 六方最密堆积晶胞原子坐标

六方最密堆积晶胞结构如图13 所示.六方晶胞中,DABO为正四面体,正四面体的高为h/2.

图13

例4金属镁晶体中原子的堆积方式为六方最密堆积(如图14-甲),晶胞可用图14-乙表示.设晶胞中A点原子的坐标为(0,0,0),C点原子的坐标为(2a,0,0),D点原子的坐标为(0,0,b),则B点原子的坐标为________.

图14

解析

晶胞中B与连线原子形成正四面体,紧密相邻,由各原子坐标参数,可知C处于x轴,D处于z轴,底面4 个相邻的原子形成菱形,锐角为60°,B到上下底面的距离相等,为B到坐标系平面xAy距离,是B的坐标参数z的值,晶胞的高为b,故z＝,B在底面投影B′处于正△ACF的中心,作B′E垂直AC,如图15所示.在△ACF中,AB′＝2a×cos30°×AE长度为B′到坐标系平面yAz的距离,即为B的坐标参数x的值,则x＝AB′×cos30°＝＝a,B′E长度为B′到坐标系平面xAz距离,即为B的坐标参数y的值,则y＝AB′×sin30°＝＝,所以,B的坐标为

图15

点评

本题中固定了原点,晶胞中其他原子的坐标就是相对于原点的三维坐标.B处于晶胞内部的原子坐标,用“二维坐标投影法”确定其原子坐标,明确B的投影位置,找出投影到坐标系平面的距离是解题关键.

4.4 晶胞中原子位置的变换

可用2种方法解决晶胞中原子位置的变换.

1)相对位置固定法:无论晶胞如何变化,晶胞中原子的相对位置不变,属于一个晶胞的原子数目也不变,抓不变量可以确定粒子的新的位置.

2)原子坐标平移法.

例5(2017年新课标Ⅰ卷,节选)钾和碘的相关化合物在化工、医药、材料等领域有着广泛的应用.KIO3晶体是一种性能良好的非线性光学材料,具有钙钛矿型的立体结构,晶胞中K、I、O分别处于顶角、体心、面心位置,如图16所示.在KIO3晶胞结构的另一种表示中,I处于各顶角位置,则K 处于_________位置,O处于________位置.

图16

解法1图中I、O、K 分别位于体心、面心、顶点,运用均摊法可得,1个晶胞中分别含有1个I、3个O、1个K.在KIO3晶胞结构的另一种表示中,1个晶胞中分别含有原子数目不变,且晶胞中原子的相对位置不变.所以,I处于各顶角位置,个数为,晶胞中含有的K 也为1个,只能位于体心,剩余的位置只能是棱心,为O 的位置.