基于单元主题教学的初高中衔接课程设计研究

陈高翔

[摘  要] 文章以平面解析几何为例，以单元主题教学为途径，对初高中衔接课程进行设计研究. 首先，在分析初高中平面解析几何之间差异的基础上，基于布鲁纳“螺旋式课程理论”，提出利用单元主题教学理念进行教学设计;其次，以曲线的方程为例，提出单元主题教学的设计原则;最后，以“曲线的方程”第一课时为例，依据设计原则，进行具体的教学设计.

[关键词] 平面解析几何;单元主题;衔接课程

平面解析几何是17世纪数学重要研究成果之一，作为高中数学学科内容之一，平面解析几何隶属于《普通高中数学课程标准（2017年版）》选择性必修课程主题二“几何与代数”. 其主要研究用代数的方法解决几何问题，通过建立坐标系，用坐标表征点、用方程表征曲线，进而将几何问题转化为代数问题. 在得到代数结论后，回归问题的几何本质，最终解决几何问题.

那么，初中和高中关于平面解析几何的课程存在哪些不同呢？

[⇩] 从课程目标来看

初中学段的课程目标要求学生在理解的基础上，积极探究平面直角坐标系及其应用;初步理解和掌握平面直角坐标系中平面图形的变换及相关性质;逐步培养学生从代数的角度思考几何问题的意识与能力.

高中学段的课程目标要求较高，《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求学生了解曲线的实际背景，感受曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 同时，要求学生经历从具体情境中抽象出曲线的过程，掌握曲线的定义、标准方程、简单性质等. 通过曲线与方程的学习，进一步体会数形结合思想，了解曲线的简单应用及其数学历史文化背景，学会用代数方法研究几何问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等五大核心素养.

[⇩] 从课程内容来看

1. 课程的广度不同

初中平面解析几何涉及了直线、圆、特殊的抛物线，虽然都有所涉及，但是并未从曲线与方程的角度进行研究. 其中，直线和特殊的抛物线只是作为一次函数和二次函数的图像被提出;圆只是作为一种几何图形，研究了它的一些几何性质，并未结合平面直角坐标系进行解析. 高中平面解析几何内容较为综合，主要包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程. 不仅研究了它们的几何形状，而且通过平面直角坐标系用代数的方法研究了相关的几何问题，同时提出了它们的简单应用及其数学历史文化背景.

2. 课程的深度不同

初中平面解析几何主要研究的是“形”，侧重于图形本身，在数形结合、曲线与方程的联系等方面的研究有所欠缺;高中平面解析几何侧重于从代数的角度研究几何图形，要求学生会用代数语言表征几何问题，深入体会数形结合思想. 除了教材内容外，还要求学生自主学习、阅读有关解析几何发展的历史文化资料，发展学生的数学观、文化观.

[⇩] 从学生的发展水平来看

1. 学习方式的不同

初中学段，平面解析几何内容较少，生成性问题的抽象程度较低，学生习惯紧跟教师的节奏，掌握好教师课堂上准备的内容，课后通过简单的模仿和机械训练就可以基本完成学习任务. 高中学段，平面解析几何研究的内容较多，具备较强的逻辑性和抽象性，仅仅依靠课堂上教师对知识和题型的讲解是远远不够的，学生课后必须在理解的基础上接触各种题型积累经验，熟练掌握知识与技能，整体把握平面解析几何的知识结构，才能灵活高效地解决问题.

2. 思维方式的不同

初中学生思维的发展水平较低，学生的感性思维占据主导地位. 初中平面解析几何教学中，学生多数是从生活实例或者具体图形中习得经验，受到一定的启发后教师就直接给出了相关的概念，这个习得概念的过程缺乏理性思考，思维的深度和广度还需加强.

相比初中学生，高中学生思维的发展水平较高，思维方式逐渐从感性向理性转变. 高中平面解析几何教学中，在借助于实例引入、学生有了感性认识的基础上，学生需要经历从特殊到一般、从具体到抽象、从整体看局部的思维过程，对学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算等素养有较高的要求. 高中平面解析几何的教学很好地体现了新课标的理念，即要求学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界.

[⇩] 基于以上差异，我们应该如何做好平面解析几何的衔接教学呢？

著名教育家、认知心理学家布鲁纳在《教育过程》中提出了螺旋式课程. 所谓螺旋式课程就是以与儿童思维方式相符的形式将学科结构置于课程的中心地位，随着年级的提升，不断拓广加深学科的基本结构，使之在课程中呈螺旋式上升的态势. 实际上，高中平面解析几何的主体结构就是呈螺旋式上升的、需要階段达成的：第一阶段，直线与圆的方程;第二阶段，圆锥曲线与方程;第三阶段，坐标系与参数方程. 目前，大多数高中数学教师更习惯按部就班地“教教材”，而不是着眼于整体“用教材教”，对平面解析几何的研究不够系统和深入，教学设计缺乏整体性、主题性、连贯性.

基于以上分析，平面解析几何教学应立足整体结构，加强知识的横向联系和纵向联系，螺旋式构建学生的认知结构. 为此，我们可以利用模块教学理念，设计单元主题教学帮助教学目标的达成. 单元主题教学是模块教学理念的具体实现，它围绕一个主题，让学生在不断解决问题的过程中把握知识本质，习得其内在的数学原理及思想方法. 单元主题教学并没有固定的模式，通常可以设计以下环节开展教学：案例引入—问题驱动—师生探究—归纳提升—拓展应用. 单元主题教学实施的要点在于：引导学生从数学的角度整体把握问题，找到解决问题的关键，启发学生体会其中的数学思想方法，围绕主题不断拓广加深知识结构，强调学生对知识的主动建构.

我们以“曲线的方程”为例，具体谈谈如何进行单元主题教学.

1. 研课标、定地位、明内容

教师需要研读课标，明确该单元主题的定位和内容. 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》规定的课程内容中，平面解析几何单元隶属于选择性必修课程主题二“几何与代数”，而“曲线的方程”是平面解析几何单元中的重要内容，要求学生能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程. 在建立方程的基础上，能够利用数形结合思想解决一些简单的实际问题. 在建立曲线方程的过程中，重点提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等素养.

2. 突出主题特点，开展阶段教学

单元主题教学的重点在于，紧紧围绕主题，分阶段建构，螺旋上升. 对“曲线的方程”这一主题来说，应该分三个课时，包含以下几个阶段：

第一课时：第一阶段，回顾初中有关直线的内容，提出问题;第二阶段，问题驱动，探究如何建立直线方程及其所具备的数学本质;第三阶段，概括提升，利用曲线方程的数学本质建立圆的方程.

第二课时：第四阶段，拓展应用，把握曲线方程的本质，探索圆锥曲线的标准方程.

第三课时：第五阶段，研究性学习坐标系与参数方程.

3. 合理利用教学软件辅助教学

按照《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，应充分发挥信息技术的作用，通过教学软件展示曲线轨迹. 在本课中，我们借助于GeoGebra软件向学生直观呈现直线、圆、圆锥曲线的图像以及它们所对应的方程. 通过改变方程中的参数，直接观察图像发生的变化，帮助学生体会图像与方程的内在联系，内化曲线方程的数学本质.

接下来，我们以“曲线的方程”的第一课时为例，具体设计教学过程.

“曲线的方程（一）”

单元主题教学设计

【教学目标】

（1）学生能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程.

（2）要求学生从代数的角度研究几何图形，会用代数语言表征几何问题，深入体会数形结合思想.

（3）通过对本节曲线方程的研究，掌握求曲线方程的一般步骤，学会运用其解决一些简单的实际问题.

【教学重点】

理解曲线与方程的关系，掌握求曲线方程的一般步骤.

【教学难点】

探求建立曲线方程的一般步骤.

【教学辅助软件】

GeoGebra软件.

【教学过程】

引入：

师：请同学们回忆一下，在初中，我们学习过一次函数，它的图像是什么呢？

生：一次函数的图像是一条直线.

师：请同学们画出函数y=x+3的图像，并判断点A（0，3）和B（1，4）是否在这个函数的图像上.

学生画图作答.

师：y=x+3是一个代数方程，而直线AB是一个几何图形，也就是说，代数方程可以用几何图形表示，几何图形也可以用代数方程表示.

学生在教师的引导下理解代数方程与几何图形的对应关系. （由特殊到一般，为引入直线方程奠定基础）

探究1：什么是直线方程

师：平面直角坐标系中的任意一条直线，都是由点组成的集合，但是，如果已知任意一点的坐标，我们该如何判断它是不是在给定的直线上呢？例如，已知通过点（2，0）且垂直于x轴的直线m.

师：既然直线是点的集合，那么我们就可以利用集合的观点来解决这一问题.直线m上的点的横坐标有什么特点？横坐标是2的点也一定在直线m上吗？直线m可以用方程x=2来表示吗？

学生回答教师提出的问题.

师：其实，对于平面直角坐标系中的任意一点，只要看它的横坐标是否为x=2，就能判断出这个点是否在直线m上.

师：由上面的分析，我们可以把x=2叫做直线m的方程，直线m上的点的坐标都满足这个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在直线m上.

定义：一般地，在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上任意点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在直线上，那么这个方程就叫做直线的方程.

探究2：如何建立直线方程

师：通过之前的学习我们已经知道，“解析几何之父”笛卡尔创立了直角坐标系，我们借助于直角坐标系，建立了代数和几何的联系.通过探究1的完成，我们认识到了直线的方程就是直线上任意一点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y满足的方程，所以求直线的方程，就是求直线上任意一点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y满足的等量关系.

提问：在之前的学习中，我们知道直线可以由一个点和方向来确定，这个方向就是我们之前学习的什么？

生：直线的斜率.

师：很好. 下面我们来思考这样一个问题：已知直线l过点A（-1，2），且斜率為2，求直线l的方程.

学生思考、探究.

教师总结：求直线的方程，就是求直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y满足的等量关系. 设P（x，y）是直线l上不同于A（-1，2）的任意一点，如何建立横坐标x与纵坐标y满足的等量关系呢？我们注意到，当点P（x，y）在直线l上运动时，A，P两点连线的斜率始终都是直线l的斜率，我们要找的等量关系也就蕴含于此.由直线AP的斜率等于2，得到k==2，即y-2=2（x+1）. 通过验证，这个方程对A（-1，2）是成立的，所以直线l的方程就是y-2=2（x+1）.

师：那么对于一般的情况，即经过点M（x，y）且斜率为k的直线的方程是什么？

学生自主得到结论：y-y=k（x-x）.

师：特殊地，经过点（0，b）且斜率为k的直线的方程是y=kx+b. 点（0，b）是直线y=kx+b与y轴的交点，交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距，这个方程叫做直线的斜截式方程.

师：对于直线的点斜式方程，同学们想一想，它能表示斜率不存在的直线吗？

生：不能.

师：直线的点斜式方程适用于斜率存在的直线. 同学们再想一想，什么样的直线的斜率不存在？

生：与x轴垂直的直线.

师：请同学们写出经过点M（x，y）且与x轴垂直的直线的方程.

学生自主得到结论.

师：结合探究1的例子以及直线方程的定义，不难得到经过点M（x，y）且与x轴垂直的直线的方程为x=x.

师：通过刚才的学习，我们掌握了什么是直线的方程以及直线的点斜式方程和斜截式方程，还有没有其他的方式建立直线的方程呢？比如直线过点A（x，y），B（x，y），如何建立直线AB的方程呢？这个问题留给同学们课后探究.

探究3：把握本质，探求圆的标准方程

师：请同学们回忆一下，初中时我们学习过二次函数，比如y=x2，它的图像是什么？

生：一条曲线，叫做抛物线（记作曲线C）.

师：请同学们想一想，直线是一种特殊的曲线，既然直线是点的集合，那么曲线是否也是点的集合？请同学们思考，点（1，1），（2，4），（2，5）是否在曲线C上？曲线C上的点的坐标满足什么等量关系？

学生自主探究得出结论：点（1，1），（2，4）在曲线C上，点（2，5）不在;曲线C上的任意一点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y都满足y=x2.

师：同学们有什么感悟？事实上，直线也是一种曲线，我们可以将有关直线方程的结论扩展为曲线方程的结论，即曲线的方程就是曲线上任意一点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y满足的方程，所以求曲线的方程，就是求曲线上任意一点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y满足的等量关系.

师：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 圆也是一种曲线，基于以上分析，我们能否建立圆的方程？

生：可以.

师：在前面的学习中我们认识到，借助于平面直角坐标系，我们才能建立曲线的方程表征曲线. 所以，第一步就是建立平面直角坐标系，确定好圆心的坐标.我们先考虑以O（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程. 同学们想一想，类比探究2中建立直线方程的步骤，如何建立☉O的方程呢？

学生自主探究……

教师总结：第一步，如图3所示，以圆心O为原点建立平面直角坐标系;第二步，设P（x，y）是圆上任意一点;第三步，建立等量关系，由圆的定义可知，OP=r;第四步，由点的距离公式得=r;第五步，化简=r得x2+y2=r2，这就是所求圆的方程.

[r][O][x][y][图3][P]

师：事实上，我们刚才建立的求圆的方程的步骤，就是用轨迹法求曲线方程的步骤.下面我们一起来总结用轨迹法求曲线方程的步骤：第一步，建系（建立适当的平面直角坐标系）;第二步，设点（设曲线上任意一点的坐标）;第三步，限制条件（找出曲线上任意一点的坐标满足的等量关系）;第四步，代入点的坐标（坐标化）;第五步，化简（将曲线方程化到最简，体现美观、对称）;第六步，证明（證明以方程的解为坐标的点都在曲线上，不作要求）.

师：刚才我们建立了以原点为圆心，r为半径的圆的方程，请同学们自主探究以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程.

学生自主探究……

教师总结：以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2. 这个方程叫做圆的标准方程.我们注意到：圆可以由圆心和半径两大独立的几何条件确定，由圆的标准方程可以直接看出圆心和半径（利用GeoGebra软件给学生展示不同圆心、不同半径的圆的标准方程，如图4、图5所示）.

师：本节课，我们师生一道，探究了什么是直线的方程，如何建立直线和圆的方程.在探究的过程中，我们总结了什么是曲线的方程以及怎样用轨迹法求曲线方程的步骤.相信大家经过本节课的学习，对平面解析几何有了更加深刻的认识，愿同学们在今后的学习中，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界！

研究性作业

（1）已知直线过A（x，y），B（x，y），如何建立直线AB的方程？

（2）请同学们查阅课本，了解椭圆的定义，尝试利用轨迹法建立椭圆的标准方程.